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高一函数:数学思维与方法点拨

函数能力提升
一、方法点拨(师生互动) : 1、 基础知识打扎实,形成函数知识体系 2、 学会思考、总结做题方法 3、 跳出题海,找到解题的切入点 4、 掌握高中数学思想与方法

二、思维训练: 1 、 为 常 数 , 若 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,
2

f (ax ? b) ? x 2 ? 10 x ? 24 , 则

5a ? b =__________

王新敞
奎屯

新疆

2、已知函数 f(x)=x2+ax+b (a,b?R)的值域为[0,+?),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为__________;

x ?? 3、如图,函数 y ? f ? x ? 的图象为折线 ABC ,设 g ? x ? ? f ? ?f ? ? , 则函数 y ? g ? x ? 的

图象为(



1

? 1 (x ? 1) ? 2 f x)= ? |x-1| 4.已知 a, b 设函数 ( ,若关于 x 的方程[f (x)] + bf ( x)+c=0 有三个不同的 ?1 (x =1) ?
实数根 x1 ,x2 ,x3 ,则 x12 +x2 2 +x32 等于

A. 13

B. 5

C.

3c2 +2 c2

D.

2b 2 +2 b2

5、偶函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=x 2 ,则关于 x 的方

10 ?1? 程 f(x)= ? ? 在 [0, ] 上根的个数是 3 ? 10 ?
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 5 个

x

6.设函数 f ( x) ? ?

x ( x ? R) ,区间 M=[a,b](a<b),集合 N={ y y ? f ( x), x ? M }, 1? x
( C.2 个 D.无数多个 )

则使 M=N 成立的实数对(a,b)有 A.0 个 B.1 个

7 、定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x 0 (a ? x 0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数”, x 0 是它的一个 b?a
4

均 值 点 , 如 y ? x 是 [?1, 1] 上 的 平 均 值 函 数 , 0 就 是 它 的 均 值 点 . 现 有 函 数

f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 是 [?1, 1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是

.

2

8、已知函数 f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) 为偶函数. x2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)记集合 E ? { y y ? f ( x), x ?{?1,1, 2}} ,? ? lg 2 2 ? lg 2lg 5 ? lg 5 ? 的关系; (Ⅲ)当 x ? [ 值.

1 ,判断 ? 与 E 4

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的 m n

8、已知函数 f ( x) 对任意实数 x , y 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,且当 x>0 时, f ( x) ? 0 又 f (1) ? ?2 . (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ?x ? R ,不等式 f (ax ) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

3

【 答 案 】 解 :

( Ⅰ ) ? f ( x)

为 偶 函 数

? f ( x) ?

f ( ? x)

?

( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? x2 x2
………………………………………4 分

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,? a ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x ) ?

x2 ?1 x2
3 4

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

? 3? ? E ? ?0, ? , ……………………………………………………………………………6 分 ? 4?

【答案】 (1)解:取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数.

4

5

高考真题:1 已知函数 f ( x)( x ? R) 满足下列条件:对任意的实数 x1,x2 都有

? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )]
和 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ,其中 ? 是大于 0 的常数. 设实数 a0,a,b 满足 f (a0 ) ? 0 和 b ? a ? ? f (a) (Ⅰ)证明 ? ? 1 ,并且不存在 b0 ? a0 ,使得 f (b0 ) ? 0 ; (Ⅱ)证明 (b ? a0 ) ? (1 ? ? )(a ? a0 ) ;
2 2 2

(Ⅲ)证明 [ f (b)] ? (1 ? ? )[ f (a)] .
2 2 2

22.本小题主要考查函数、不等式等基本知识,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满 分 14 分. 证明: (I)任取 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则由 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )]
2

和 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 |



可知 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ?| x1 ? x2 | ? | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 2 , 从而

? ? 1. 假设有 b0 ? a0 ,使得 f (b0 ) ? 0 ,则由①式知

0 ? ? (a0 ? b0 )2 ? (a0 ? b0 )[ f (a0 ) ? f (b0 )] ? 0 矛盾.
∴不存在 b0 ? a0 ,使得 f (b0 ) ? 0. (II)由 b ? a ? ?f (a) 可知 ③

(b ? a0 ) 2 ? [a ? a0 ? ?f (a)] 2 ? (a ? a0 ) 2 ? 2? (a ? a0 ) f (a) ? ?2 [ f (a)] 2 ④
2

由 f (a0 ) ? 0和 ①式,得 (a ? a0 ) f (a) ? (a ? a0 )[ f (a) ? f (a0 )] ? ? (a ? a0 ) 由 f (a0 ) ? 0 和②式知, [ f (a)] ? [ f (a) ? f (a0 )] ? (a ? a0 )
2 2 2 2 2 2 2




2 2

由⑤、⑥代入④式,得 (b ? a0 ) ? (a ? a0 ) ? 2? (a ? a0 ) ? ? (a ? a0 )

? (1 ? ?2 )( a ? a0 ) 2
(III)由③式可知 [ f (b)] ? [ f (b) ? f (a) ? f (a)]
2 2

? [ f (b) ? f (a)] 2 ? 2 f (a)[ f (b) ? f (a)] ? [ f (a)] 2
6

? (b ? a) 2 ? 2 ? ? ?2 [ f (a)] 2 ?
? ?2 [ f ( a ) 2 ?

b?a

?
2

[ f (b) ? f (a)] ? [ f (a)] 2

(用②式)

?
2

(b ? a)[ f (b) ? f (a)] ? [ f (a)] 2
(用①式)

?

? ? ? (b ? a) 2 ? [ f (a)] 2

? ?2 [ f (a )] 2 ? 2?2 [ f (a )] 2 ? [ f ( a )] 2 ? (1 ? ?2 )[ f (a )] 2
2、 设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a)
1 (Ⅲ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a

( 20 )

解 :( Ⅰ ) ∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x , ∴ 要 使

t 有 意 义 , 必 须

1 ? x ? 0且1 ? x ? 0, 即 ? 1 ? x ? 1
∵ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2,4], t ? 0
2 2



∴t 的取值范围是 [ 2 ,2]

由①得 1 ? x ?
2

1 2 t ?1 2

∴ m(t ) ? a( t ? 1) ? t ?
2

1 2

1 2 at ? t ? a, t ? [ 2 ,2] 2

(Ⅱ)由题意知 g ( a ) 即为函数 m(t ) ? 注意到直线 t ? ?

1 2 at ? t ? a, t ? [ 2 ,2] 的最大值 2

1 1 2 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2

(1)当 a>0,函数 y ? m(t ), t ? [ 2 ,2] 的图像是开口向上的抛物线的一段,由

t??

1 ? 0知m(t )在[ 2 ,2] 上单调递增。∴ g (a) ? m(2) ? a ? 2 a
∴ g ( a) ? 2

(2)当 a=0 时,m(t)=t, t ? [ 2 ,2] ,

(3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2 ,2] 的图像是开口向下的抛物线的一段。 若t ? ?

1 2 ? (0, 2 ], 即a ? ? , 则g (a) ? m( 2 ) ? 2. a 2 1 2 1 1 1 ? ( 2 ,2], 即a ? (? ,? ], 则g (a) ? m(? ) ? ?a ? . a 2 2 a 2a
7

若t ? ?

若t ? ?

1 1 ? (2,??), 即a ? (? ,0), 则g (a) ? m(2) ? a ? 2. a 2
1 ? a?? ?a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? g ( a ) ? ?? a ? , ? ?a?? 2a 2 2 ? ? 2 a?? ? 2 2 ?

综上有

(Ⅲ)解法一:情形 1:当 a ? ?2时, 由2?

1 1 1 1 ? ? , 此时g (a) ? 2 , g ( ) ? ? 2. a 2 a a

2 1 , 与a ? ?2 矛盾。 ? 2 解得 a ? ?1 ? 2 a 2 1 1 ? ? ? ,此时 g (a) ? ? 2 , 2 a 2

情形 2:当 2 ? a ? ? 2时, ?

1 1 a 1 a g ( ) ? ? ? ,由 2 ? ? ? 解得a ? ? 2 , 与a ? ? 2 矛盾。 a a 2 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

2 1 2 1 时,- 2 ? ? ? ,此时 g (a) ? 2 ? g ( ) 2 a 2 a

所以 ?

2?a??

2 。 2

情形 4:当 ?

2 1 1 1 ? ?a ? ? 时,-2 ? ? ? 2 ,此时 g (a) ? ?a ? 2 2 a 2a

1 1 2 2 g ( ) ? 2 ,由 ? a ? ? 2解得a ? ? , 与a ? ? 矛盾。 a 2a 2 2

1 1 1 ? a ? 0时, ? ?2 ,此时 g (a) ? a ? 2, g ( ) ? 2 2 a a 1 由 a ? 2 ? 2解得a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g (a) ? a ? 2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得a ? ?1,由a ? 0知a ? 1 a
情形 5:当 ? 综上知,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 解法二:当 a ? ? 时, g (a) ? a ? 2 ?
8

1 a

2 或a ? 1 2

1 2

3 ? 2 2

当?

2 1 1 2 1 2 1 ? a ? ? 时,?a ? [ , ),? ? ( ,1] ,所以 ? a ? ? , 2 2 2 2 2a 2 2a
1 1 2 ? 2 (?a) ? (? ) ? 2 。因此,当 a ? ? 时, g (a ) ? 2 2a 2a 2

g (a) ? ?a ?
当 a ? 0时,

1 1 1 ? 0 ,由 g (a) ? g ( )知a ? 2 ? ? 2解得a ? 1 a a a 1 1 1 当 a ? 0时, a ? ? 1,因此a ? ?1或 ? ?1, 从而g (a) ? 2或g ( ) ? 2 a a a
要使 g (a) ? g ( ) ,必须有 a ? ? 此 时 g (a) ?

1 a

2 1 2 2 , ?? ,即 ? 2 ? a ? ? . 2 a 2 2

1 1 2 ? g ( ) 。 综 上 知 , 满 足 g (a) ? g ( ) 的 所 有 实 数 a 为 : a a

? 2?a??

2 或a ? 1 2
2

3、已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 f ( x) ? bx ? cx ? d ,

g ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d ,方程 f(x)=0 有实根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f
(x) )=0 的根,反之,g(f(x) )=0 的实数根都是 f(x)=0 的根。 (1)求 d 的值; (3 分) (2)若 a=0,求 c 的取值范围; (6 分) (3)若 a=1,f(1)=0,求 c 的取值范围。 (7 分) 21 .解( 1 )设 x0 是 f ? x ? ? 0 的根,那么 f ? x0 ? ? 0 ,则 x0 是 g ( f ( x)) ? 0 的根, 则

g? ? f ? x0 ? ? ? ? 0, 即 g ? 0 ? ? 0 ,所以 d ? 0 。
( 2 ) 因 为

a?0 , 所 以
b f ? ? x c

f ? x ? ? bx 2 ? cx, g ? x ? ? bx 2 ? cx , 则

g(

f( ? x) ?) ? ? ?f
= bx ? cx
2

? x? ?
2 2

?

?? b x

? bcx ? c ? =0 的根也是 f ? x ? ? x ? bx ? c ? ? 0 的根。

(a)若 b ? 0 ,则 c ? 0 ,此时 f ? x ? ? 0 的根为 0,而 g ( f ( x)) ? 0 的根也是 0,所以

c ? 0,
(b)若 b ? 0 ,当 c ? 0 时, f ? x ? ? 0 的根为 0,而 g ( f (x)) ? 0 的根也是 0,当 c ? 0 时,

f ? x? ? 0 的 根 为 0 和 ?

c c ,而 bf? x ? ? c? 0 的 根 不 可 能 为 0 和 ? , 所 以 b b
9

bf ? x ? ? c ? 0 必无实数根,所以 ? ? ? bc ? ? 4b 2 c ? 0, 所以 c 2 ? 4c ? 0, 0 ? c ? 4 ,从而
2

0?c?4
所以当 b ? 0 时, c ? 0 ;当 b ? 0 时, 0 ? c ? 4 。 (3) a ? 1, f (1) ? 0 ,所以 b ? c ? 0 ,即 f ? x ? ? 0 的根为 0 和 1,
2 所以 ?cx ? cx

?

?

2

? c ? ?cx 2 ? cx ? ? c =0 必无实数根,
2

1? c c ? 2 2 (a)当 c ? 0 时, t = ?cx ? cx = ?c ? x ? ? ? ? ,即函数 h ? t ? ? t ? ct ? c 在 ? 2? 4 4

c2 c ? c? 2 , h ? t ? ? 0 恒 成 立 , 又 h ? t ? ? t ? ct ? c ? ? t ? ? ? c ? , 所 以 t? 4 4 ? 2? c2 c2 16 ?c? h ? ?tm i ?n ? h ? ? 0 ,即 ? ? c ? 0, 所以 0 ? c ? ; 16 4 3 ?4? 1? c c ? 2 (b)当 c ? 0 时, t = ?cx ? cx = ?c ? x ? ? ? ? ,即函数 h ? t ? ? t ? ct ? c 在 2? 4 4 ?
2
2

2

c2 c ? c? 2 , h ? t ? ? 0 恒 成 立 , 又 h ? t ? ? t ? ct ? c ? ? t ? ? ? c ? , 所 以 t? 4 4 ? 2? ?c? h ? ?tm i ?n ? h ? ? 0 , ?2?

2

c?

c2 c2 ? 0 ,而 c ? 0 ,所以 c ? ? 0 ,所以 c 不可能小于 0, 4 4

(c)c ? 0, 则 b ? 0, 这时 f ? x ? ? 0 的根为一切实数, 而g? 所以 c ? 0, 符 ? f ? x ?? ? ? 0, 合要求。所以 0 ? c ?

16 3

10


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