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【最新】通用版版高考数学一轮复习第五章平面向量学案理

第五章 平面向量
第一节 本节主要包括 2 个知识点: 平面向量的概念及线性运算 1.平面向量的有关概念; 平面向量的线性运算.

突破点(一) 平面向量的有关概念

[基本知识] 名称 向量 零向量 单位向量 定义 既有大小又有方向的量叫做向量;向 量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为 0 的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量,又叫做 共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 备注 平面向量是自由向量,平面向量可自 由平移 记作 0 非零向量 a 的单位向量为±

a
|a|

平行向量

0 与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等,不能比较大 小 0 的相反向量为 0

相等向量 相反向量

[基本能力] 1.判断题 (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( (2) 若 a∥b,b∥c,则 a∥c.( ) ) )

(3)若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定不可能都是零向量.( 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.填空题 (1)给出下列命题: ①若 a=b,b=c,则 a=c;

― → ― → ②若 A, B, C, D 是不共线的四点, 则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; 其中正确命题的序号是________. 解析:①正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同,
1

∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ― → ― → ― → ― → ― → ― → ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, ― → ― → ― → ― → ― → ― → 则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |,因此, AB = DC . ③不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a ∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是①②. 答案:①② (2)若 a、b 都为非零向量,则使 + =0 成立的条件是________. |a| |b| 答案:a 与 b 反向共线

a

b

[全析考法] 平面向量的有关概念

[典例] (1)(2018·海淀期末)下列说法正确的是( A.长度相等的向量叫做相等向量 B.共线向量是在同一条直线上的向量 C.零向量的长度等于 0

)

― → ― → ― → ― → D. AB ∥ CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线 (2)(2018·枣庄期末)下列命题正确的是( A.若|a|=|b|,则 a=b B.若|a|>|b|,则 a>b C.若 a=b,则 a∥b D.若|a|=0,则 a=0 [解析] (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量, 故 A 不正确; 方向相同或相反的 ― → 非零向量叫做共线向量, 但共线向量不一定在同一条直线上, 故 B 不正确; 显然 C 正确; 当 AB ― → ― → ― → ∥ CD 时, AB 所在的直线与 CD 所在的直线可能重合,故 D 不正确. (2)对于 A,当|a|=|b|,即向量 a,b 的模相等时,方向不一定相同,故 a=b 不一定成 立;对于 B,向量的模可以比较大小,但向量不可以比较大小,故 B 不正确;C 显然正确;对 )

2

于 D,若|a|=0,则 a=0,故 D 不正确,故选 C. [答案] (1)C (2)C [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小; (2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征; (3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.

[全练题点] 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②λ a=0(λ 为实数),则 λ 必为零; ③λ ,μ 为实数,若 λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 D ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误,当 a=0 时, 不论 λ 为何值,λ a=0.③错误,当 λ =μ =0 时,λ a=μ b=0,此时,a 与 b 可以是任意 向量.错误的命题有 3 个,故选 D. 2.关于平面向量,下列说法正确的是( A.零向量是唯一没有方向的向量 B.平面内的单位向量是唯一的 C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量 D.共线向量就是相等向量 解析:选 C 对于 A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故 A 不正确;对于 B,单位 向量的模为 1,其方向可以是任意方向,故 B 不正确;对于 C,方向相反的向量一定是共线向 量,共线向量不一定是方向相反的向量,故 C 正确;对于 D,由共线向量和相等向量的 定义可知 D 不正确,故选 C. 1 3.如图, △ABC 和△A′B′C′是在各边的 处相交的两个全等的等边三 3 角形,设△ABC 的边长为 a,图中列出了长度均为 的若干个向量,则 3 ― → (1)与向量 GH 相等的向量有________; ― → (2)与向量 GH 共线,且模相等的向量有________; (3)与向量 EA― →共线,且模相等的向量有________.
3

)

a

解析:向量相等?向量方向相同且模相等. 向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合. ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 答案:(1) LB′, HC (2) EC′, LE ,LB′, GB , HC ― → ― → ― → ― → ― → (3) EF , FB , HA′, HK ,KB′

突破点(二) 平面向量的线性运算

[基本知识] 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c=a+(b+c)

减法

求 a 与 b 的相反向量 -b 的和的运算 |λ a|=|λ ||a|, 当 λ >0 时, λ a与

a-b=a+(-b)

λ (μ a)=(λ μ )a; (λ +μ )a =λ a+μ a; λ (a+b) =λ a+λ b

数乘

求实数 λ 与向量 a 的 积的运算

a 的方向相同; 当λ <0 时,λ a 与 a 的 方向相反; 当 λ =0 时,λ a=0

2.平面向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ,使得 b=λ a. [基本能力] 1.判断题 (1)a∥b 是 a=λ b(λ ∈R)的充要条件.( ) )

― → 1 ― → ― → (2)△ABC 中,D 是 BC 的中点,则 AD = ( AC + AB ).( 2 答案:(1)× (2)√ 2.填空题 (1)化简:

4

― → ― → ― → ― → ① AB + MB + BO + OM =________. ― → ― → ― → ― → ② NQ + QP + MN - MP =________. ― → 答案:① AB ②0 ― → ― → ― → (2)若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________. ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2. 答案:2 ― → ― → ― → ― → ― → (3)在?ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,则 AN =________(用 a,b 表示). 3 3 答案: a+ b 4 4

[全析考法]

平面向量的线性运算 应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.注意加法的三角形法则要求“首尾 相接”,加法的平行四边形法则要求“起点相同”;减法的三角形法则要求“起点相同”且 差向量指向“被减向量”;数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算. [例 1] (1)(2018·河南中原名校联考)如图,在直角梯形 ABCD ― → ― → 中,AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点, BC =3 EC ,F 为 AE 的中点, ― → 则 BF =( ) 1― → 2― → B. AB - AD 3 3 1― → 2― → D.- AB + AD 3 3

2― → 1― → A. AB - AD 3 3 2― → 1― → C.- AB + AD 3 3

(2)(2018·深圳模拟)如图所示,正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点, ― → ― → ― → 若 AC =λ AM +μ BD ,则 λ +μ =( A. C. 4 3 15 8 ) B. 5 3

D.2

― → ― → ― → ― → 1― → [解析] (1) BF = BA + AF = BA + AE 2

5

― → 1 ― → 1― → ― → =- AB + ( AD + AB + CE ) 2 2 → 1 ― → 1 ― → ? ― → 1?― =- AB + ? AD + AB + CB ? 2 3 2? ? ― → 1― → 1― → 1 ― → ― → ― → =- AB + AD + AB + ( CD + DA + AB ) 2 4 6 2― → 1― → =- AB + AD . 3 3 → 1 ― → ? ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ?― (2)因为 AC =λ AM +μ BD =λ ( AB + BM )+μ ( BA + AD )=λ ? AB + AD ? + 2 ? ? ― → ― → ― → → ― → ― → ― → ?1 ?― μ ( - AB + AD ) = (λ - μ ) AB + ? λ +μ ? AD , 且 AC = AB + AD , 所 以 ?2 ? λ -μ =1, ? ? ?1 λ +μ =1, ? ?2 4 ? ?λ =3, 得? 1 ?μ =3, ?

5 所以 λ +μ = ,故选 B. 3 [答案] (1)C (2)B [方法技巧] 1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况: 将它们转化到三角形或平行四边形中, 充分利用相等向量、 相反向量、 三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解. 2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较、观察可知所求.

平面向量共线定理的应用 求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中, 当两向量共线时, 通常只有非零向量才能表示与之共线的其 他向量,注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题, 可用向量共线来解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. ― → ― → ― → (3)直线的向量式参数方程:A,P,B 三点共线? OP =(1-t)· OA +t OB (O 为平面
6

内任一点,t∈R). [例 2] (1)(2017·芜湖二模)已知向量 a,b 是两个不共线的向量,若向量 m=4a+b 与 n=a-λ b 共线,则实数 λ 的值为( A.-4 C. 1 4 ) 1 B.- 4 D.4

― → ― → ― → (2)(2018·怀化一模)已知向量 a,b 不共线,向量 AB =a+3b, BC =5a+3b, CD = -3a+3b,则( ) B.A,B,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线

A.A,B,C 三点共线 C.A,C,D 三点共线

[解析] (1)因为向量 a,b 是两个不共线的向量,所以若向量 m=4a+b 与 n=a-λ b 1 共线,则 4×(-λ )=1×1,解得 λ =- ,故选 B. 4 ― → ― → ― → ― → ― → ― → (2)因为 BD = BC + CD =2a+6b=2(a+3b)=2 AB ,所以 BD , AB 共线,又有公共点

B,所以 A,B,D 三点共线.故选 B.
[答案] (1)B (2)B [方法技巧] 证明向量共线 证明三点共线 求参数的值 平面向量共线定理的三个应用 对于非零向量 a,b,若存在实数 λ ,使 a=λ b,则 a 与 b 共线 ― → ― → ― → ― → 若存在实数 λ ,使 AB =λ AC , AB 与 AC 有公共点 A,则 A,B,C 三点 共线 利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值

[提醒] 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.

[全练题点] ― → ― → ― → 1. [考点一](2018·长春一模)在梯形 ABCD 中, AB =3 DC ,则 BC =( 2― → ― → A.- AB + AD 3 1― → 2― → C.- AB + AD 3 3 2― → 4― → B.- AB + AD 3 3 2― → ― → D.- AB - AD 3 )

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析: 选 A 因为在梯形 ABCD 中,AB =3 DC , 所以 BC = BA + AD + DC =- AB + AD 1― 2― → → ― → + AB =- AB + AD ,故选 A. 3 3 ― → ― → 2.[考点二]已知 a,b 是不共线的向量, AB =λ a+b, AC =a+μ b,λ ,μ ∈R,则 A,
7

B,C 三点共线的充要条件为(
A.λ +μ =2 C.λ μ =-1

) B.λ -μ =1 D.λ μ =1

― → ― → ― → ― → 解析:选 D ∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ AC ,设 AB =m AC (m≠0),则 λ a+b=m(a
?λ =m, ? +μ b),∴? ?1=mμ , ?

∴λ μ =1,故选 D.

3.[考点二](2018·南宁模拟)已知 e1,e2 是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且

m mn≠0,若 a∥b,则 =( n
1 A.- 2 C.-2

) B. 1 2

D.2 故 =-2.

? ?λ n=m, 解析:选 C ∵a∥b,∴a=λ b,即 me1+2e2=λ (ne1-e2),则? ?-λ =2, ?

m n

― → ― → ― → 4.[考点一]已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且 EC =2 AE ,则 EM = ( ) 1― → 1― → A. AC + AB 2 3 1― → 1― → C. AC + AB 6 2 1― → 1― → B. AC + AB 2 6 1― → 3― → D. AC + AB 6 2

― → ― → ― → ― → ― → 2― → 解析:选 C 如图,∵ EC =2 AE ,∴ EM = EC + CM = AC 3 1― → 2― → 1 ― → ― → 1― → 1― → + CB = AC + ( AB - AC )= AB + AC . 2 3 2 2 6 ― → 5.[考点一]如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点, OP =

x OA +y OB ,且 BP =2 PA ,则(
2 1 A.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4

― →

― →

― →

― →

) 1 2 B.x= ,y= 3 3 3 1 D.x= ,y= 4 4

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 2― → ― → 解析:选 A 由题意知 OP = OB + BP ,又 BP =2 PA ,所以 OP = OB + BA = OB + 3 2 ― 2 1 → ― → 2― → 1― → ( OA - OB )= OA + OB ,所以 x= ,y= . 3 3 3 3 3 [全国卷 5 年真题集中演练——明规律]

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― → ― → 1.(2015·全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点, BC =3 CD ,则( 1― ― → → 4― → A. AD =- AB + AC 3 3 ― → 1― → 4― → B. AD = AB - AC 3 3 ― → 4― → 1― → C. AD = AB + AC 3 3 ― → 4― → 1― → D. AD = AB - AC 3 3 解析:选 A

)

1 ― → ― → ― → ― → 1― → ― → 1 ― → ― → 4― → 1― → AD = AC + CD = AC + BC = AC + ( AC - AB )= AC - AB =- 3 3 3 3 3

― → 4― → AB + AC ,故选 A. 3 ― → ― → 2.(2014·全国卷Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 EB + FC =( ) ― → A. AD ― → C. BC 解析:选 A 1― → B. AD 2 1― → D. BC 2 ― → ― → 1 ― → ― → 1 ― → ― → EB + FC = ( AB + CB )+ ( AC + BC )= 2 2

1 ― → ― → ― → ( AB + AC )= AD ,故选 A. 2 3.(2015·全国卷Ⅱ)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则实数 λ = ________. 解析:∵λ a+b 与 a+2b 平行,∴λ a+b=t(a+2b), 1 ? ?λ =2, 解得? 1 ?t=2. ?

? ?λ =t, 即 λ a+b=ta+2tb,∴? ?1=2t, ?

1 答案: 2

[课时达标检测] [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 平面向量的有关概念 1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( )
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A.有不相等的模 C.不可能都是零向量

B.不共线 D.不可能都是单位向量

解析:选 C 若 a 与 b 都是零向量,则 a=b,故选项 C 正确. 2.设 a0 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|·a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.假命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同, 故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. 3. 已知 a, b 是非零向量, 命题 p: a=b, 命题 q: |a+b|=|a|+|b|, 则 p 是 q 的____________ 条件. 解析:若 a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即 p? q.若|a+ b|=|a|+|b|,由加法的运算知 a 与 b 同向共线,即 a=λ b,且 λ >0,故 q? / p.∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要 对点练(二) 平面向量的线性运算 ― → ― → 1.如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边的中点, 且 AB =a, AD ― → =b, 则 BE =( 1 A. b-a 2 1 C.- a+b 2 解析:选 C ) 1 B. a-b 2 1 D. b+a 2 1 1 ― → ― → ― → 1― → BE = BA + AD + DC =-a+b+ a=b- a,故选 C. 2 2 2

2.已知向量 a,b 不共线,且 c=λ a+b,d=a+(2λ -1)b,若 c 与 d 反向共线,则实 数 λ 的值为( A.1 1 C.1 或- 2 ) 1 B.- 2 1 D.-1 或- 2

解析:选 B 由于 c 与 d 反向共线,则存在实数 k 使 c=kd(k<0),于是 λ a+b=

k [a+

λ -

b] . 整 理 得 λ a + b = ka + (2λ k - k)b. 由 于 a , b 不 共 线 , 所 以 有
1 2 整理得 2λ -λ -1=0, 解得 λ =1 或 λ =- .又因为 k<0, 所以 λ <0, 2
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?λ =k, ? ? ? ?2λ k-k=1,

1 故 λ =- . 2 1 3.(2018·江西八校联考)在△ABC 中,P,Q 分别是边 AB,BC 上的点,且 AP= AB,BQ 3 1 ― → ― → ― → = BC.若 AB =a, AC =b,则 PQ =( 3 1 1 A. a+ b 3 3 1 1 C. a- b 3 3 解析:选 A 1 + b,故选 A. 3 4.(2017·郑州二模)如图,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 1 满足 BD= DC,过点 D 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N, 2 ― → ― → ― → ― → 若 AM =m AB , AN =n AC ,则( A.m+n 是定值,定值为 2 B.2m+n 是定值,定值为 3 1 1 C. + 是定值,定值为 2 ) ) 1 1 B.- a+ b 3 3 1 1 D.- a- b 3 3 ― → ― → ― → 2― → 1― → 2― → 1 ― → ― → 1― → 1― → 1 PQ = PB + BQ = AB + BC = AB + ( AC - AB )= AB + AC = a 3 3 3 3 3 3 3

m n m n

2 1 D. + 是定值,定值为 3 解析:选 D 法一:如图,过点 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E.

AC 1 AE AC 1 1 BM 1 ― → ― → 由 AN =n AC 可得 = , 所以 = = , 由 BD= DC 可得 = , AN n EM CN n-1 2 ME 2
所以 =

AM AB

n+

n 2n 2n ― → ― → = ,因为 AM =m AB ,所以 m= ,整理可 n-1 3n-1 3n-1
2

2 1 得 + =3.

m n

― → ― → ― → ― → ― → ― → 法二: 因为 M,D, N 三点共线,所以 AD =λ AM +(1-λ )· AN .又 AM =m AB , AN = ― → ― → ― → ― → ― → 1― → ― → ― → 1― → 1― → n AC ,所以 AD =λ m AB +(1-λ )·n AC .又 BD = DC ,所以 AD - AB = AC - AD , 2 2 2 2 1 2 1 ― → 1― → 2― → 所以 AD = AC + AB .比较系数知 λ m= ,(1-λ )n= ,所以 + =3,故选 D. 3 3 3 3 m n ― → ― → ― → ― → ― → 5. (2018·银川一模)设点 P 是△ABC 所在平面内一点, 且 BC + BA =2 BP , 则 PC + PA
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=________. ― → ― → ― → ― → ― → 解析:因为 BC + BA =2 BP ,由平行四边形法则知,点 P 为 AC 的中点,故 PC + PA = 0. 答案:0 6.(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中,向量 a,b,c 的起点和终点均在格点(小 正方形顶点)上,若 c 与 xa+yb(x,y 为非零实数)共线,则 的值为________.

x y

解析: 设 e1, e2 分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量, 则向量 c=e1-2e2, a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由 c 与 xa+yb 共线,得 c=λ (xa+yb),所以 e1-2e2=2λ (x 3 x= , ? ? λ 所以? 5 y= , ? ? 2λ

?2λ ? -y)e1+λ (x-2y)e2,所以? ? ?λ

x-y =1, x-2y =-2,

x 6 则 的值为 . y 5

6 答案: 5 7.(2018·盐城一模)在△ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线交 BC 于点 D,若 AB=4,且 ― → 1― → ― → AD = AC +λ AB (λ ∈R),则 AD 的长为________. 4 1 3 解析:因为 B,D,C 三点共线,所以 +λ =1,解得 λ = ,如图, 4 4 ― → 1― → ― → 过点 D 分别作 AC, AB 的平行线交 AB, AC 于点 M, N, 则 AN = AC , AM 4 3― → = AB ,经计算得 AN=AM=3,AD=3 3. 4 答案:3 3 8.在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC=2,点 E 在线段 CD 上, ― → ― → ― → 若 AE = AD +μ AB ,则 μ 的取值范围是________. ― → ― → 解析:由题意可求得 AD=1,CD= 3,所以 AB =2 DC . ― → ― → ∵点 E 在线段 CD 上,∴ DE =λ DC (0≤λ ≤1). ― → ― → ― → ∵ AE = AD + DE ,
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― → ― → ― → ― → ― → ― → 2μ ― → 又 AE = AD +μ AB = AD +2μ DC = AD + DE , λ ∴ 2μ λ 1 =1,即 μ = .∵0≤λ ≤1,∴0≤μ ≤ , λ 2 2

? 1? 即 μ 的取值范围是?0, ?. ? 2? ? 1? 答案:?0, ? ? 2?
[大题综合练——迁移贯通]

1.在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点, ― → ― → ― → ― → 且 GB=2GE,设 AB =a, AC =b,试用 a,b 表示 AD , AG . ― → 1 ― → ― → 1 1 解: AD = ( AB + AC )= a+ b. 2 2 2 ― → ― → ― → ― → 2― → ― → 1 ― → ― → AG = AB + BG = AB + BE = AB + ( BA + BC ) 3 3 2― → 1 ― → ― → 1― → 1― → 1 1 = AB + ( AC - AB )= AB + AC = a+ b. 3 3 3 3 3 3 ― → ― → ― → ― → ― → 2.已知 a,b 不共线, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, OE =e,设 t∈R,如 果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求 出实数 t 的值,若不存在,请说明理由. ― → ― → 解:由题设知, CD =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条 ― → ― → 直线上的充要条件是存在实数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为 a,b 不共线,所以有?
? ?t-3+3k=0, ?t-2k=0, ?

6 解得 t= . 5

6 故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上. 5 ― → 2― → 3.如图所示, 在△ABC 中, D, F 分别是 BC, AC 的中点, AE = AD , 3 ― → ― → AB =a, AC =b. ― → ― → ― → ― → ― → (1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线.

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― → 1― → 解:(1)延长 AD 到 G,使 AD = AG , 2 连接 BG,CG,得到?ABGC,如图, ― → ― → ― → 所以 AG = AB + AC =a+b, ― → 1― → 1 ― → 2― → 1 ― → 1― → 1 AD = AG = (a+b), AE = AD = (a+b), AF = AC = b, 2 2 3 3 2 2 1 ― → ― → ― → 1 BE = AE - AB = (a+b)-a= (b-2a), 3 3 1 ― → ― → ― → 1 BF = AF - AB = b-a= (b-2a). 2 2 ― → 2― → (2)证明:由(1)可知 BE = BF , 3 ― → ― → 又因为 BE , BF 有公共点 B, 所以 B,E,F 三点共线.

第二节 本节主要包括 2 个知识点:

平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理; 2.平面向量的坐标表示.

突破点(一) 平面向量基本定理

[基本知识] 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. [基本能力] 1.判断题 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) ) )

― → ― → (2)在△ABC 中,设 AB =a, BC =b,则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC.( (3)若 a,b 不共线,且 λ 1a+μ 1b=λ 2a+μ 2b,则 λ 1=λ 2,μ 1=μ 2.( 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.填空题

(1)设 e1,e2 是平面内一组基底,若 λ 1e1+λ 2e2=0,则 λ 1+λ 2=________. 答案:0
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(2)设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则 2a-b=________. 答案:3e1+3e2 ― → ― → ― → (3)(2018·嘉兴测试)在△ABC 中,已知 M 是 BC 中点,设 CB =a, CA =b,则 AM = ________. 1 答案:-b+ a 2

[全析考法] 平面向量基本定理

[典例] (1)(2018·长春模拟)如图所示, 下列结论正确的 ( ) ― → 3 3 ① PQ = a+ b; 2 2 ― → 3 ② PT = a-b; 2 ― → 3 1 ③ PS = a- b; 2 2 ― → 3 ④ PR = a+b. 2 A.①② C.①③ B.③④ D.②④



(2)(2018·岳阳质检)在梯形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 的中 ― → ― → ― → 点.若 AB =λ AM +μ AN ,则 λ +μ 的值为( A. 1 4 B. )

1 4 5 C. D. 5 5 4

3 ― → 3 [解析] (1)①根据向量的加法法则,得 PQ = a+ b,故①正确;②根据向量的减法法 2 2 3 1 ― → 3 3 ― → ― → ― → 3 3 ― → 则, 得 PT = a- b, 故②错误; ③ PS = PQ + QS = a+ b-2b= a- b, 故③正确; ④ PR 2 2 2 2 2 2 3 1 ― → ― → 3 3 = PQ + QR = a+ b-b= a+ b,故④错误,故选 C. 2 2 2 2

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1 ― 1 ― → ― → ― → ― → → ― → (2)法一:连接 AC(图略),由 AB =λ AM +μ AN ,得 AB =λ · ( AD + AC )+μ · 2 2 ― → ― → → λ ― → ?λ μ ?― → → λ ― → ?λ μ ? ?μ ?― ?μ ?― ( AC + AB ),则? -1? AB + AD +? + ? AC =0,得? -1? AB + AD +? + ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?2 2? 3 μ ?― → 1 ― →? → ? → ― → ― → ?― ?1 ?― ? AD +2 AB ?=0,得?4λ +4μ -1? AB +?λ + 2 ? AD =0.又 AB , AD 不共线,所以由平 ? ? ? ? ? ? 1 3 ? ?4λ +4μ -1=0, 面向量基本定理得? μ ? ?λ + 2 =0, 4 ? ?λ =-5, 解得? 8 ? ?μ =5.

4 所以 λ +μ = . 5

法二:根据题意作出图形如图所示,连接 MN 并延长,交 AB 的延长线于点 T,由已知易 4 4― → ― → ― → ― → 得 AB= AT,所以 AT = AB =λ AM +μ AN ,因为 T,M,N 三点共线, 5 5 4 所以 λ +μ = . 5 [答案] (1)C (2)C [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向 量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底, 并运用该基底将条件和结论 表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.

[全练题点] 1.(2018·泉州调研)若向量 a,b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是 ( ) A.a-2b 与-a+2b C.a-2b 与 5a+7b B.3a-5b 与 6a-10b 1 3 D.2a-3b 与 a- b 2 4

解析:选 C 不共线的两个向量可以作为一组基底.因为 a-2b 与 5a+7b 不共线,故 a -2b 与 5a+7b 可以作为一组基底. 2.向量 e1, e2, a, b 在正方形网格中的位置如图所示, 则 a-b=( A.-4e1-2e2 C.e1-3e2 B.-2e1-4e2 D.3e1-e2 )

解析:选 C 结合图形易得,a=-e1-4e2,b=-2e1-e2,故 a-b= e1-3e2.
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― → ― → ― → 3.如图, 正方形 ABCD 中, E 为 DC 的中点, 若 AE =λ AB +μ AC , 则 λ +μ 的值为( A. 1 2 ) 1 B.- 2 D.-1

C.1

1 ― → ― → 1― → ― → ― → 1― → ― → 1― → 解析:选 A 由题意得 AE = AD + AB = BC + AB - AB = AC - AB ,∴λ =- , 2 2 2 2 1 μ =1,∴λ +μ = ,故选 A. 2 ― → ― → 4.(2018·湖南邵阳一模)如图, 在△ABC 中,设 AB =a, AC =b,

AP 的中点为 Q,BQ 的中点为 R,CR 的中点为 P,若 AP =ma+nb,则 m+
n=________. ― → ― → ― → 解析:根据已知条件得, BQ = AQ - AB 1― → ― → 1 → ― → ― → 1― → ― → ― → 1 ?m ? n ― = AP - AB = (ma+nb)-a=? -1?a+ b, CR = BR - BC = BQ - AC + AB = 2 2 2 2 ?2 ? 2

― →

n ― → m n ― → ?m 1? → ??m-1?a+nb?-b+a=?m+1?a+?n-1?b,∴― QP = a+ b, RQ =? - ?a+ b, RP =- ? ? ? ? ? ?? ? 2 2 ?4 2? ?4 ? ?4 2? 4 ??2 ? 2 ?
3n → ― → ― → ?m+1? a + ?1-n? b. ∵ ― ?3m 1? ? m 1? ?1 n? RQ + QP = RP , ∴ ? - ? a + b = ?- - ? a + ? - ? b , ∴ ?8 4? ?2 8? 4 ? ? ? ? ? 4 2? ? 8 4? ?2 8? 3m 1 m 1 - =- - , ? ?4 2 8 4 ?3n 1 n ? ? 4 =2-8, 6 答案: 7 2 m= , ? ? 7 解得? 4 n= , ? ? 7

6 故 m+n= . 7

突破点(二) 平面向量的坐标表示

[基本知识] 1.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模

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设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λ a=(λ x1,λ y1),|a|= x1+y1. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.一般地,设 A(x1,y1),B(x2,
2 2

y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1).
2.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a∥b?x1y2-x2y1=0.

― →

[基本能力] (1)已知 a=(2,1),b=(-3,4),则 3a+4b=________. 答案:(-6,19) (2)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m-n 的值为 ________. 解析:∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
? ?2m+n=9, ∴? ?m-2n=-8, ?

∴?

? ?m=2, ?n=5, ?

∴m-n=2-5=-3.

答案:-3 ― → ― → ― → (3) 若 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, AB = (2,4) , AC = (1,3) ,则 AD = ________. 答案:(-1,-1) (4)若三点 A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数 a 的值为________. ― → ― → ― → ― → 解析: AB =(a-1,3), AC =(-3,4),据题意知 AB ∥ AC ,∴4(a-1)=3×(-3), 5 即 4a=-5,∴a=- . 4 5 答案:- 4

[全析考法] 平面向量的坐标运算

― → [例 1] (1)(2018·绍兴模拟)已知点 M(5,-6)和向量 a=(1,-2),若 MN =-3a,则 点 N 的坐标为( )
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A.(2,0) C.(6,2)

B.(-3,6) D.(-2,0)

― → ― → ― → ― → (2)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP =2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA =(4,3), PQ ― → =(1,5),则 BC =________. ― → [解析] (1) MN =-3a=-3(1,-2)=(-3,6), ― → 设 N(x,y),则 MN =(x-5,y+6)=(-3,6), 所以?
? ?x-5=-3, ?y+6=6, ?

即?

? ?x=2, ?y=0. ?

― → ― → ― → (2) AQ = PQ - PA =(-3,2), ― → ― → ― → ― → ― → ∴ AC =2 AQ =(-6,4). PC = PA + AC =(-2,7), ― → ― → ∴ BC =3 PC =(-6,21). [答案] (1)A (2)(-6,21) [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐 标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

平面向量共线的坐标表示 [例 2] 已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)当 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线; ― → ― → (2)若 AB =2a+3b, BC =a+mb,且 A,B,C 三点共线,求 m 的值. [解] (1)∵a=(1,0),b=(2,1), ∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2), ∵ka-b 与 a+2b 共线, 1 ∴2(k-2)-(-1)×5=0,∴k=- . 2 ― → ― → (2) AB =2(1,0)+3(2,1)=(8,3), BC =(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m). ― → ― → ∵A,B,C 三点共线,∴ AB ∥ BC , 3 ∴8m-3(2m+1)=0,∴m= . 2
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[方法技巧] 向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0,这是代数运算,用它解决平 面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ ”,从而减少了未知数的个数,而且它使问 题的解决具有代数化的特点和程序化的特征. (2)当 x2y2≠0 时,a∥b? = ,即两个向量的相应坐标成比例,这种形式不易出现搭 配错误. (3)公式 x1y2-x2y1=0 无条件 x2y2≠0 的限制,便于记忆;公式 = 有条件 x2y2≠0 的限 制,但不易出错.所以我们可以记比例式,但在解题时改写成乘积的形式.

x1 y1 x2 y2

x1 y1 x2 y2

[全练题点]

? 5? 则 c 可用向量 a, 1.[考点一]若向量 a=(2,1), b=(-1,2), c=?0, ?, b 表示为( ? 2?
1 A. a+b 2 3 1 C. a+ b 2 2 1 B.- a-b 2 3 1 D. a- b 2 2

)

2x-y=0, ? ? 5? ? 解析:选 A 设 c=xa+yb,则?0, ?=(2x-y,x+2y),所以? 5 ? 2? x+2y= , ? 2 ? 1 ? ?x= , ? 2 ? ?y=1, 1 则 c= a+b. 2

解得

― → ― → 2.[考点一]已知平行四边形 ABCD 中, AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线 AC 与 BD 交 ― → 于点 O,则 CO 的坐标为( )

? 1 ? A.?- ,5? ? 2 ? ?1 ? C.? ,-5? ?2 ?
解析: 选D

?1 ? B.? ,5? ?2 ? ? 1 ? D.?- ,-5? ? 2 ?
― → ― → ― → ― → 1― → ?1 ? ― → AC = AB + AD =(-2,3)+(3,7)=(1,10). ∴ OC = AC =? ,5?.∴ CO 2 2 ? ?

? 1 ? =?- ,-5?. ? 2 ?
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3.[考点二](2018·丰台期末)已知向量 a=(3,-4),b=(x,y),若 a∥b,则( A.3x-4y=0 C.4x+3y=0 B.3x+4y=0 D.4x-3y=0

)

解析:选 C 由平面向量共线基本定理可得 3y+4x=0,故选 C. 4.[考点二](2018·江西四校联考)已知向量 a=( 3, 1), b=(0, -1), c=(k, 3). 若 a-2b 与 c 共线,则 k=________. 解析:由题意得,a-2b=( 3,3),由 a-2b 与 c 共线,得 3× 3-3k=0,解得 k= 1. 答案:1 [全国卷 5 年真题集中演练——明规律] ― → ― → 1. (2015·全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1), B(3,2), 向量 AC =(-4, -3), 则向量 BC =( A.(-7,-4) C.(-1,4) B.(7,4) D.(1,4) )

― → 解析:选 A 设 C(x,y),则 AC =(x,y-1)=(-4,-3), 所以?
?x=-4, ? ?y-1=-3, ?

解得?

?x=-4, ? ?y=-2, ?

― → 从而 BC =(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选 A. 2.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=________. 解析:∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,∴-2m-4×3=0.∴m=-6. 答案:-6

[课时达标检测] [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 平面向量基本定理 1.(2018·珠海一模)如图,设 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的 交点,给出下列向量组: ― → ― → ― → ― → ① AD 与 AB ;② DA 与 BC ; ― → ― → ― → ― → ③ CA 与 DC ;④ OD 与 OB . 其中可作为该平面内其他向量的基底的是( A.①② C.①④ )

B.①③ D.③④

― → ― → ― → ― → 解析:选 B ①中 AD , AB 不共线;③中 CA , DC 不共线.②④中的两向量共线,因
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为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底,所以选 B. ― → ― → 2. (2018·山西太原质检)在△ABC 中, M 为边 BC 上任意一点, N 为 AM 的中点,AN =λ AB ― → +μ AC ,则 λ +μ 的值为( A. C. 1 2 1 4 ) B. 1 3

D.1

― → ― → ― → 1― → 1 ― → ― → 1― → 1― → 1― → t― → 解析: 选 A 设 BM =t BC , 则 AN = AM = ( AB + BM )= AB + BM = AB + BC 2 2 2 2 2 2 1― 1 t t 1 → t ― → ― → ?1 t?― → t― → = AB + ( AC - AB )=? - ? AB + AC ,∴λ = - ,μ = ,∴λ +μ = ,故选 A. 2 2 2 2 2 2 2 ?2 2? 3.(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD ― → ― → ― → 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF =( 1 1 A. a+ b 4 2 2 1 C. a+ b 3 3 1 1 B. a+ b 2 4 1 2 D. a+ b 2 3 )

― → 1― → 1― → 1 解析:选 C 如图,根据题意,得 AB = AC + DB = (a-b), 2 2 2 ― → 1― → 1― → 1 AD = AC + BD = (a+b). 2 2 2 → 3 ― → ? t t ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ?― 令 AF =t AE , 则 AF =t( AB + BE )=t? AB + BE ?= a+ b.由 AF = AD + DF , 4 ? ? 2 4

s 1-s ― → ― → ― → 1 ― → s ― → s+1 令 DF = s DC , 又 AD = (a + b) , DF = a - b , 所 以 AF = a+ b,所以 2 2 2 2 2 t s+1 ? ?2= 2 , ?t 1-s ?4= 2 , ?
1 ? ?s=3, 解方程组得? 4 ?t=3, ?

― → 2 1 把 s 代入即可得到 AF = a+ b,故选 C. 3 3

― → ― → ― → 4.(2018·山东潍坊一模)若 M 是△ABC 内一点,且满足 BA + BC =4 BM ,则△ABM 与 △ACM 的面积之比为( A. 1 2 ) B. 1 1 C. D.2 3 4

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析: 选 A 设 AC 的中点为 D, 则 BA + BC =2 BD , 于是 2 BD =4 BM , 从而 BD =2 BM , 即 M 为 BD 的中点,于是

S△ABM S△ABM BM 1 = = = . S△ACM 2S△AMD 2MD 2
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5.(2018·湖北黄石质检)已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作一条直线与 AB,AC 两边分

xy ― → ― → ― → ― → 别交于 M,N 两点,且 AM =x AB , AN =y AC ,则 的值为( x+y
A. 1 2 B. 1 3

)

C.2

D.3

― → ― → ― → ― → 解析:选 B 由已知得 M,G,N 三点共线,∴ AG =λ AM +(1-λ ) AN =λ x AB +(1 1 ― → ― → 2 1 ― → ― → ― → ― → - λ )y AC . ∵点 G 是△ ABC 的重心,∴ AG = × ( AB + AC ) = ·( AB + AC ) ,∴ 3 2 3 1 ? ?λ x=3, ? ? ? -λ =3,∴ 1 ? ?λ =3x, 即? 1 ? ?1-λ =3y,

y= ,

1 3

1 1 1 1 x+y 得 + =1, 即 + =3, 通分变形得, 3x 3y x y xy

xy 1 = . x+y 3

对点练(二) 平面向量的坐标表示 1.(2018·福州一模)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a+b=( A.(5,7) C.(3,7) B.(5,9) D.(3,9) )

解析:选 D 2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选 D. 2. (2018·河北联考)已知平面向量 a=(1,2), b=(-2, m), 若 a∥b, 则 2a+3b=( A.(-5,-10) C.(-3,-6) B.(-2,-4) D.(-4,-8) )

解析: 选 D 由 a∥b, 得 m+4=0, 即 m=-4, 所以 2a+3b=2(1,2)+3(-2, -4)=(- 4,-8). 3.(2018·吉林白城模拟)已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线, 则 =( A. 1 2

m n

) B.2 D.-2

1 C.- 2

解析:选 C 由向量 a=(2,3),b=(-1,2),得 ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4, 2m-n 3m+2n m 1 -1).由 ma+nb 与 a-2b 共线,得 = ,所以 =- ,故选 C. 4 -1 n 2 ― → 4. (2018·河南六市联考)已知点 A(1,3), B(4, -1), 则与 AB 同方向的单位向量是( )
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4? ?3 A.? ,- ? 5? ?5

3? ?4 B.? ,- ? 5? ?5

? 3 4? C.?- , ? ? 5 5?

? 4 3? D.?- , ? ? 5 5?

― → 4? AB ― → ― → ?3 解析:选 A 因为 AB =(3,-4),所以与 AB 同方向的单位向量为 =? ,- ?. 5? ― → ?5 | AB | 5.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c), d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d=( A.(2,6) C.(2,-6) )

B.(-2,6) D.(-2,-6)

解析:选 D 设 d=(x,y),由题意知 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)= (4,-2),又 4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y) =(0,0),解得 x=-2,y=-6,所以 d=(-2,-6). 6.(2017·南昌二模)已知在平面直角坐标系 xOy 中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3 ― → ― → ― → ― → 三点共线且向量 OP3 与向量 a=(1, -1)共线, 若 OP3 =λ OP1 +(1-λ ) OP2 , 则 λ =( A.-3 C.1 B.3 D.-1 )

― → ― → ― → ― → 解析:选 D 设 OP3 =(x,y),则由 OP3 ∥a 知 x+y=0,于是 OP3 =(x,-x).若 OP3 = ― → ― → λ OP1 + (1- λ ) OP2 ,则有 (x,- x) =λ (3,1) +(1 -λ )( - 1,3) = (4λ -1,3 -2λ ) ,即
? ?4λ -1=x, ? ? ?3-2λ =-x,

所以 4λ -1+3-2λ =0,解得 λ =-1,故选 D.

7.(2018·河南中原名校联考)已知 a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量 c 都可 以唯一地表示为 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,3) C.(-∞,-3)∪(-3,+∞) D.[-3,3) 解析:选 C 根据平面向量基本定理,得向量 a,b 不共线,∵a=(1,3),b=(m,2m-3), ∴2m-3-3m≠0,∴m≠-3.故选 C. )

[大题综合练——迁移贯通] π 1.(2018·皖南八校模拟)如图,∠AOB= ,动点 A1,A2 与 B1,B2 分别在射线 OA,OB 上, 3

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且线段 A1A2 的长为 1,线段 B1B2 的长为 2,点 M,N 分别是线段 A1B1,A2B2 的中点.

― → ― → ― → (1)用向量 A1A2 与 B1B2 表示向量 MN ; ― → (2)求向量 MN 的模. ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解:(1) MN = MA1 + A1A2 + A2N , MN = MB1 + B1B2 + B2N ,两式相加,并注意到点 M,N ― → 1 ― → ― → 分别是线段 A1B1,A2B2 的中点,得 MN = ( A1A2 + B1B2 ). 2 π ― → ― → (2)由已知可得向量 A1A2 与 B1B2 的模分别为 1 与 2,夹角为 , 3 ― → ― → ― → 1 ― → ― → 所以 A1A2 · B1B2 =1,由 MN = ( A1A2 + B1B2 )得 2 ― → | MN |= = 1 2 ― →2 1 4 ― → ― → A1A2 + B1B2
2

A1A2 + B1B2 2+2 A1A2 · B1B2 =

― →

― → ― →

7 . 2

― → ― → ― → ― → 2.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设 AB =a, BC =b, CA =c,有 CM = ― → 3c, CN =-2b,求: (1)3a+b-3c; (2)满足 a=mb+nc 的实数 m,n; ― → (3)M,N 的坐标及向量 MN 的坐标. 解:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8), (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ?-6m+n=5, ∴? ?-3m+8n=-5, ?

解得?

? ?m=-1, ?n=-1. ?

― → ― → ― → ― → ― → (3)设 O 为坐标原点,∵ CM = OM - OC =3c,∴ OM =3c+ OC =(3,24)+(-3,-4) ― → ― → ― → ― → ― → =(0,20),∴M 的坐标为(0,20).又 CN = ON - OC =-2b,∴ ON =-2b+ OC =(12,6) ― → +(-3,-4)=(9,2),∴N 的坐标为(9,2).故 MN =(9-0,2-20)=(9,-18).

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3.已知三点 A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中 a>0,b>0. (1)若 O 是坐标原点,且四边形 OACB 是平行四边形,试求 a,b 的值; (2)若 A,B,C 三点共线,试求 a+b 的最小值. ― → ― → 解: (1) 因为四边形 OACB 是平行四边形,所以 OA = BC ,即 (a , 0) = (2,2 - b) ,
?a=2, ? ? ?2-b=0, ?

解得?

?a=2, ? ?b=2. ?

― → ― → (2)因为 AB =(-a,b), BC =(2,2-b), ― → ― → 由 A,B,C 三点共线,得 AB ∥ BC , 所以-a(2-b)-2b=0,即 2(a+b)=ab, 因为 a>0,b>0,所以 2(a+b)=ab≤?
2

?a+b?2, ? ? 2 ?

即(a+b) -8(a+b)≥0,解得 a+b≥8 或 a+b≤0. 因为 a>0,b>0, 所以 a+b≥8,即当且仅当 a=b=4 时,a+b 取最小值为 8.

第三节 平面向量的数量积及其应用 本节主要包括 3 个知识点: 1.平面向量的数量积; 问题. 平面向量数量积的应用; 3.平面向量与其他知识的综合

突破点(一) 平面向量的数量积

[基本知识] 1.向量的夹角 ― → ― → (1)定义:已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB 就是向量 a 与 b 的夹 角. (2)范围:设 θ 是向量 a 与 b 的夹角,则 0°≤θ ≤180°. (3)共线与垂直: 若 θ =0°, 则 a 与 b 同向; 若 θ =180°, 则 a 与 b 反向; 若 θ =90°, 则 a 与 b 垂直. 2.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ ,规定零向量与任一向量的数量积为

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0,即 0·a=0. (2)几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. (3)坐标表示:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λ a·b=λ (a·b)=a·(λ b)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

[基本能力] 1.判断题 ― → ― → (1)在△ABC 中,向量 AB 与 BC 的夹角为∠B.( ― → (2)0· AB =0.( ) ) )

(3)若 a 与 b 共线,则 a·b=|a||b|.( (4)(a-b)·c=a·(b·c).( )

答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 2.填空题 (1)已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,则 a·b=________. 答案:-10 (2)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,|a|=1,|b|=3,则 a·b=________. 3 答案: 2 (3)已知向量 a,b 满足|a|=|b|=2 且 a·b=-2,则向量 a 与 b 的夹角为________. 2π 答案: 3

[全析考法] 平面向量数量积的运算 1.利用坐标计算数量积的步骤 第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的 应用; 第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可. 2.根据定义计算数量积的两种思路

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思路一

若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积; 若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算 根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要

思路二

求数量积的两个向量,然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求 解

― → ― → ― → [典例] (1)(2018·商丘模拟)在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, 设 BC =a,CA =b,AB =c,则 a·b+b·c+c·a=( 3 A.- 2 C. 3 2 ) B.0 D.3

(2)如图,平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD=1,A=60°,点 M 1 ― → ― → 在 AB 边上,且 AM= AB,则 DM · DB =________. 3

? 1? ? 1? ? 1? [解析] (1)依题意有 a·b+b·c+c·a=1×1×?- ?+1×1×?- ?+1×1×?- ?= ? 2? ? 2? ? 2?
3 - . 2 ― → ― → ― → ― → 1― → ― → ― → ― → ― → ― → (2) 因 为 DM = DA + AM = DA + AB , DB = DA + AB , 所 以 DM · DB = 3 1 ― 4― 4 4― → 1 ― → ? ― → ― → ― → → → ― → → ― → 7 4 ?― ? DA +3 AB ?·( DA + AB )=| DA |2+3| AB |2+3 DA · AB =1+3-3 AD · AB =3-3 ? ? 7 4 1 ― → ― → | AD |·| AB |·cos 60°= - ×1×2× =1. 3 3 2 [答案] (1)A (2)1 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时, 一定要注意向量的夹角与已知平面角的 关系是相等还是互补. (2)两向量 a, b 的数量积 a·b 与代数中 a, b 的乘积写法不同, 不能省略掉其中的“·”.

[全练题点] 1.已知|a|=6,|b|=3,向量 a 在 b 方向上的投影是 4,则 a·b 为( A.12 C.-8 B.8 D.2 )

解析:选 A ∵|a|cos〈a,b〉=4,|b|=3,∴a·b=|a||b|·cos〈a,b〉=3×4=
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12. 2.设 x∈R,向量 a=(1,x),b=(2,-4),且 a∥b,则 a·b=( A.-6 C. 5 B. 10 D.10 )

解析:选 D ∵a=(1,x),b=(2,-4)且 a∥b, ∴-4-2x=0,x=-2,∴a=(1,-2),a·b=10,故选 D. 2π 3.(2018·重庆适应性测试)设单位向量 e1,e2 的夹角为 ,a=e1+2e2,b=2e1-3e2, 3 则 b 在 a 方向上的投影为( 3 3 A.- 2 C. 3 解析:选 A ) B.- 3 D. 3 3 2 2π 1 = - , |a| = 3 2

依 题 意 得 e1·e2 = 1×1×cos

e1+2e2

2



2 e2 3, 1+4e2+4e1·e2=

9 a·b 2 2 a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2e1-6e2+e1·e2=- ,因此 b 在 a 方向上的投影为 2 |a| 9 - 2 3 3 = =- ,故选 A. 2 3 π ― → ― → 4.(2018·成都模拟)已知菱形 ABCD 边长为 2,∠B= ,点 P 满足 AP =λ AB ,λ ∈R, 3 ― → ― → 若 BD · CP =-3,则 λ 的值为( A. C. 1 2 1 3 ) 1 B.- 2 1 D.- 3

π ― → ― → 解析:选 A 法一:由题意可得 BA · BC =2×2cos =2, 3 ― → ― → ― → ― → ― → ― → BD · CP =( BA + BC ) ·( BP - BC ) ― → ― → ― → ― → ― → =( BA + BC )·[( AP - AB )- BC ] ― → ― → ― → ― → =( BA + BC )·[(λ -1)· AB - BC ] ― →2 ― → ― → ― → ― → ― →2 =(1-λ ) BA - BA · BC +(1-λ ) BA · BC - BC =(1-λ )·4-2+2(1-λ )-4
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=-6λ =-3, 1 ∴λ = ,故选 A. 2 法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(2,0),C(1, 3),

D(-1, 3).
― → ― → 令 P(x,0),由 BD · CP =(-3, 3)·(x-1,- 3)=-3x+3 -3=-3x=-3 得 x=1. 1 ― → ― → ∵ AP =λ AB ,∴λ = .故选 A. 2

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突破点(二) 平面向量数量积的应用

[基本知识] 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ =〈a,b〉. 几何表示 模 |a|= a·a cos θ = 夹角 坐标表示 |a|= x1+y1
2 2

a·b |a||b|
a·b=0 |a·b|≤|a|| b|

cos θ =

x1x2+y1y2 2 2 2 x +y1 · x2+y2
2 1

a⊥b |a·b|与 |a||b|的 关系

x1x2+y1y2=0
|x1x2+y1y2|≤
2 2 x2 x2 1+y1· 2+y2

[基本能力] (1)已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a+b,则|c|=________. 答案: 13 (2)已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 夹角的大小为________. 解析:由题意得|a|= 1+3=2,|b|= 3+1=2,a·b=1× 3 + 3×1=2 3.设 a 2 3 3 π 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ = = .∵θ ∈[0,π ],∴θ = . 2×2 2 6 π 答案: 6 (3)已知向量 a=(1,t),b=(6,-4).若 a⊥b,则实数 t 的值为________. 3 答案:- 2

[全析考法]

平面向量的垂直问题

[例 1] (1)(2018·安徽蚌埠一模)已知非零向量 m,n 满足 3|m|=2|n|,它们的夹角 θ
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=60°.若 n⊥(tm+n),则实数 t 的值为( A.3 C.2

) B.-3 D.-2 )

― → ― → ― → ― → ― → (2)平面四边形 ABCD 中,AB + CD =0, ( AB - AD )· AC =0, 则四边形 ABCD 是( A.矩形 C.菱形 [解析] B.正方形 D.梯形

1 2 (1) 由 题 意 得 cos θ = . ∵ n ⊥ (tm + n) , ∴ n·(tm + n) = tm·n + n = 2 3

1 t t|m||n|× +|n|2= |n|2+|n|2=0,解得 t=-3.故选 B. 2 ― → ― → ― → ― → ― → ― → (2)因为 AB + CD =0, 所以 AB =- CD = DC , 所以四边形 ABCD 是平行四边形. 又( AB ― → ― → ― → ― → - AD )· AC = DB · AC =0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形 ABCD 是菱形. [答案] (1)B (2)C [方法技巧] 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一,计算出这两个向量的坐标; 第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为 0 即可. (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数. [提醒] 注意 x1y2-x2y1=0 与 x1x2+y1y2=0 不同,前者是两向量 a=(x1,y1),b=(x2,

y2)共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件.

平面向量模的相关问题 [例 2] (1)(2018·合肥模拟)已知不共线的两个向量 a,b 满足|a-b|=2 且 a⊥(a- 2b),则|b|=( A. 2 C.2 2 ) B.2 D.4 )

― → ― → ― → (2)在△ABC 中,若 A=120°, AB · AC =-1,则| BC |的最小值是( A. 2 C. 6 B.2 D.6
2

[解析] (1)由 a⊥(a-2b)得 a·(a-2b)=|a| -2a·b=0.又|a-b|=2,所以|a-b| =|a| -2a·b+|b| =4,则|b| =4,|b|=2,故选 B.
2 2 2

2

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― → ― → ― → ― → ― → ― → (2)因为 AB · AC =-1,所以| AB |·| AC |·cos 120°=-1,即| AB |·| AC |=2, ― → 2 ― → ― → 2 ― →2 ― → ― → ― →2 ― → ― → ― → ― → 所以| BC | =| AC - AB | = AC -2 AB · AC + AB ≥2| AB |·| AC |-2 AB · AC =6, ― → ― → ― → 当且仅当| AB |=| AC |时等号成立,所以| BC |min= 6. [答案] (1)B (2)C [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量 a 是以坐标形式出现的,求向量 a 的模可直接利用公式|a|= x +y . (2)若向量 a,b 是以非坐标形式出现的,求向量 a 的模可应用公式|a| =a =a·a,或 |a±b| =(a±b) =a ±2a·b+b ,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.
2 2 2 2 2 2 2 2

平面向量的夹角问题 [例 3] (1)(2018·泰安质检)已知非零向量 a, b 满足|a|=|b|=|a+b|, 则 a 与 2a-b 夹角的余弦值为( A. C. 7 7 7 14 ) B. D. 7 8 5 7 14

1 (2)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α ,且 cos α = ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的 3 夹角为 β ,则 cos β =________. [解析] (1)不妨设|a|=|b|=|a+b|=1,则|a+b| =a +b +2a·b=2+2a·b=1,
2 2 2

1 5 2 所以 a·b=- ,所以 a·(2a-b)=2a -a·b= ,又|a|=1,|2a-b|= 2 2 5 2

a-b

2



a a-b 5 7 2 2 4a -4a·b+b = 7,所以 a 与 2a-b 夹角的余弦值为 = = . |a|·|2a-b| 1× 7 14
1 2 2 (2)∵a =(3e1-2e2) =9+4-2×3×2× =9, 3 1 2 2 b =(3e1-e2) =9+1-2×3×1× =8, 3 1 a·b 8 a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1× =8,∴cos β = = = 3 |a||b| 3×2 2 2 2 . 3

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2 2 [答案] (1)D (2) 3 [方法技巧] 求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 第二步 第三步 第四步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 分别求出这两个向量的模

a·b x1x2+y1y2 根据公式 cos θ = = 2 求解出这两个向量夹角的余弦值 2 2 2 |a||b| x1+y1 · x2+y2
根据两个向量夹角的范围是[0,π ]及其夹角的余弦值,求出这两个向量的夹角

[全练题点] 1.[考点二](2017·怀柔二模)已知 a=(1,2),b=(-1, 3),则 a·b+|b|=( A.1 C.1+2 3 B.1+ 3 D.2 3 )

解析:选 C 因为 a·b=(1,2)·(-1, 3)=-1+2 3,|b|=2,所以 a·b+|b|=- 1+2 3+2=1+2 3. 2.[考点一](2018·辽宁沈阳一模)已知平面向量 a=(k,3),b=(1,4).若 a⊥b,则实数

k=(

) B.12 D. 3 4

A.-12 C. 4 3

解析:选 A ∵平面向量 a=(k,3),b=(1,4),a⊥b,∴a·b=k+12=0,解得 k=- 12.故选 A. 3.[考点三](2018·河北廊坊期末)已知|a|=2,向量 a 在向量 b 上的投影为 3,则 a 与 b 的夹角为( A. C. π 3 2π 3 ) B. D. π 6 π 4

解析:选 B 设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ ,则 a 在 b 上的投影为|a|cos θ =2cos θ . ∵a 在 b 上的投影为 3,∴cos θ = 3 π .∵θ ∈[0,π ],∴θ = .故选 B. 2 6

4.[考点二](2018·上海普陀区一模)设 θ 是两个非零向量 a,b 的夹角,若对任意实数

t,|a+tb|的最小值为 1,则下列判断正确的是(
A.若|a|确定,则 θ 唯一确定 B.若|b|确定,则 θ 唯一确定

)

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C.若 θ 确定,则|b|唯一确定 D.若 θ 确定,则|a|唯一确定 解析: 选 D 设 g(t)=(a+tb) =b t +2ta·b+a , 则 Δ =4(a·b) -4b ·a <0 恒成立, 当且仅当 t=- 2a·b |a|cos θ |a| cos θ 2 =- 时 , g(t) 取 得 最 小 值 1 , ∴ b × - 2 2 2b |b| |b|
2 2 2 2 2 2 2 2 2

|a|cos θ 2 2 2 2a·b× +a =1,化简得 a sin θ =1,所以当 θ 确定时,|a|唯一确定. |b| ― → 5. [考点一、二] (2018·惠州一模 ) 若 O 为△ ABC 所在平面内任一点,且满足 ( OB - ― → ― → ― → ― → OC )·( OB + OC -2 OA )=0,则△ABC 的形状为( A.等腰三角形 C.等边三角形 )

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析: 选 A 因为( OB - OC )·( OB + OC -2 OA )=0, 即 CB ·( AB + AC )=0, ( AB ― → ― → ― → ― → ― → - AC )·( AB + AC )=0,即| AB |=| AC |,所以△ABC 是等腰三角形,故选 A.

突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题 平面向量集数与形于一体, 是沟通代数、 几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考 中,常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.

[全析考法]

平面向量与三角函数的综合问题

[例 1] (2017·江苏高考)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),x∈[0,π ]. (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. [解] (1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),a∥b, 所以- 3cos x=3sin x. 则 tan x=- 3 . 3

5π 又 x∈[0,π ],所以 x= . 6

? π? (2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,- 3)=3cos x- 3sin x=2 3cos?x+ ?. 6? ?

35

因为 x∈[0,π ],所以 x+

π ?π 7π ? ∈? , ?, 6 ? 6 ?6

3 ? π? 从而-1≤cos?x+ ?≤ . 6? 2 ? π π 于是,当 x+ = ,即 x=0 时,f(x)取到最大值 3; 6 6 π 5π 当 x+ =π ,即 x= 时,f(x)取到最小值-2 3. 6 6 [方法技巧] 平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路 (1)向量平行、垂直与三角函数综合 此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式,再利用三角恒 等变换对三角函数式进行化简,结合三角函数的图象与性质进行求解. (2)向量的模与三角函数综合 此类题型主要是利用向量模的性质|a| =a ,如果涉及向量的坐标,解答时可利用两种 方法:一是先进行向量的运算,再代入向量的坐标进行求解;二是先将向量的坐标代入,再 利用向量的坐标运算求解.此类题型主要表现为两种形式:①利用三角函数与向量的数量积 直接联系;②利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.
2 2

平面向量与几何的综合问题 [例 2] (1)(2018·渭南一模)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=30°,E 为 CD 的 ― → ― → 中点,若 AC · BE =1,则 AB 的长为( A. C. 1 2 3 2 ) B. 2 2

D.1
2 2

(2)(2018·安徽淮北一模)已知直线 l1 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-2) =4 相交于不同 ― → ― → ― → 的 A,B 两点,对平面内任意点 Q 都有 QC =λ QA +(1-λ ) QB ,λ ∈R.又点 P 为直线 l2: ― → ― → 3x+4y+4=0 上的动点,则 PA · PB 的最小值为( A.21 C.5 B.9 D.0 )

[解析] (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,E 为 CD 的中点, ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 1― → 所以 AC = AB + AD , BE = BC + CE = AD - AB , 2

36

→ 1 ― → ? ― ― → ― → ― → ― → ?― →2 1― →2 1― → ― → 所以 AC · BE =( AB + AD )·? AD - AB ?= AD - AB + AB · AD =1, 2 2 2 ? ? 3 ― ― →2 ― → ― → ― → → 又 AD =1, AB · AD =1×| AB |×cos 30°= | AB |, 2 1― 3 ― →2 → 所以 1- AB + | AB |=1, 2 4 3 ― → ― → 解得| AB |= 或| AB |=0(舍去),故选 C. 2 ― → ― → ― → (2)∵对平面内的任意点 Q 都有 QC =λ QA +(1-λ ) QB , λ ― → ― → ― → ― → R, ∴A, B, C 三点共线, 即 AB 为圆 C 的直径. ∴ BA = PA - PB ,2 PC ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → PA + PB ,∴ BA 2= PA 2+ PB 2-2 PA · PB ①,4 PC 2= PA ― → ― → ― → ― → ― → ― →2 1― →2 ― → PB 2+2 PA · PB ②.②-①, 得 PA · PB = PC - BA = PC 4 ― →2 ― → ― → 4.∵点 C 到直线 l2 的距离为 3,∴ PC ≥9,∴ PA · PB 的最小值为 5.故选 C. [答案] (1)C (2)C [方法技巧] 平面向量与几何综合问题的求解方法 (1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样 就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. (2)基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未 知量的方程来进行求解.
2

∈ = + -

2

[全练题点] π? 5π ? ? π ? 5π 1.[考点一](2018·烟台一模)已知 a=?cos ,sin ?,b=?cos ,sin ?,则|a- 6 6? 6 6 ? ? ? b|=( A.1 C. 3 ) B. D. 6 2 10 2

5π π 5π ? ? π 解析: 选 C 因为 a-b=?cos -cos ,sin -sin ?=( 3, 0), 所以|a-b|= 3, 6 6 6 6 ? ? 故选 C. 2.[考点二](2018·西安八校联考)已知平行四边形 ABCD 中, AB=1, AD=2, ∠DAB=60°,

37

― → ― → 则 AC · AB =( A.1 C.2 解析:选 C

) B. 3 D.2 3 ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 2 因为 AC = AB + AD ,所以 AC · AB = ( AB + AD )· AB = | AB | +

― → ― → ― → ― → AD · AB =1+| AD || AB |cos 60°=2. 3.[考点一](2018·湖南常德月考)已知向量 a=(cos α , sin α ), b=(cos β , sin β ), 0<α <β <π . (1)若|a-b|= 2,求证 a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α ,β 的值. 解:(1)证明:∵|a-b|= 2,∴(a-b) =2, 即 a -2a·b+b =2, ∵a =cos α +sin α =1,b =cos β +sin β =1, ∴a·b=0,∴a⊥b. (2)∵a+b=(cos α +cos β ,sin α +sin β )=(0,1).
? ?cos α +cos β =0, ∴? ?sin α +sin β =1, ② ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2



1 2 2 ① +② 得 cos(β -α )=- . 2 2π 2π ∵0<α <β <π ,∴0<β -α <π ,∴β -α = ,即 β =α + , 3 3 2π ? ? 代入②得 sin α +sin?α + ?=1,整理得 3 ? ? π? 1 3 ? sin α + cos α =1,即 sin?α + ?=1. 3? 2 2 ? π π 4π ∵0<α <π ,∴ <α + < , 3 3 3 π π ∴α + = , 3 2 π 2π 5π ∴α = ,β =α + = . 6 3 6 4. [考点二] (2018·山东枣庄期末 ) 如图,在平面四边形 ABCD 中, ― → ― → BA · BC =32. ― → ― → (1)若 BA 与 BC 的夹角为 30°,求△ABC 的面积 S△ABC;

38

― → ― → ― → (2)若| AC |=4,O 为 AC 的中点,G 为△ABC 的重心(三条中线的交点),且 OG 与 OD 互 ― → ― → 为相反向量,求 AD · CD 的值. ― → ― → ― → ― → 解:(1)∵ BA · BC =32,∴| BA || BC |cos 30°=32, ― → ― → ∴| BA || BC |= 32 64 3 = , cos 30° 3

1 ― 1 64 3 1 16 3 → ― → ∴S△ABC= | BA || BC |sin 30°= × × = . 2 2 3 2 3

(2)以 O 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标 系,则 A(-2,0),C(2,0). ― → 设 D(x,y),则 OD =(x,y). ― → ― → ― → ∵ OG 与 OD 互为相反向量,∴ OG =(-x,-y).∵G 为△ABC 的重 ― → ― → 心,∴ OB =3 OG =(-3x,-3y),即 B(-3x,-3y), ― → ― → ∴ BA =(3x-2,3y), BC =(3x+2,3y), ― → ― → 2 2 2 2 ∴ BA · BC =9x -4+9y =32,即 x +y =4. ― → ― → 2 2 ∴ AD · CD =(x+2,y)·(x-2,y)=x +y -4=0.

[全国卷 5 年真题集中演练——明规律] 1.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 ― → ― → ― → PA ·( PB + PC )的最小值是( A.-2 4 C.- 3 ) 3 B.- 2 D.-1

解析:选 B 如图,以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴,以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0, 3),

B(-1,0),C(1,0),设 P(x,y),则 PA =(-x,

― →

― → 3-y), PB =(-

― → ― → ― → ― → 1-x,-y), PC =(1-x,-y),所以 PA ·( PB + PC )=(-x, 3-y)·(-2x,-2y)=2x +2?y-
2

? ?

3 3?2 3 ― → ― → ― → ? -2,当 x=0,y= 2 时, PA ·( PB + PC )取得 2?

39

3 最小值,为- . 2 2.(2017·全国卷Ⅲ)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD ― → ― → ― → 相切的圆上.若 AP =λ AB +μ AD ,则 λ +μ 的最大值为( A.3 C. 5 B.2 2 D.2 )

解析:选 A 以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴,y 轴 建立如图所示的平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线 BD 的方程为 2x+ -2=0,点 C 到直线 BD 的距离为 2 1 +2
2 2

y



2 5



4 2 2 所以圆 C:(x-1) +(y-2) = . 5 2 5 ? 2 5 ? 因为 P 在圆 C 上,所以 P?1+ cos θ ,2+ sin θ ?. 5 5 ? ? ― → ― → ― → ― → ― → 又 AB =(1,0), AD =(0,2), AP =λ AB +μ AD =(λ ,2μ ), 2 5 ? ?1+ 5 cos θ =λ , 所以? 2 5 ? ?2+ 5 sin θ =2μ ,

λ +μ =2+

2 5 5 cos θ + sin θ =2+sin(θ + 5 5

π φ )≤3(其中 tan φ =2),当且仅当 θ = +2kπ -φ ,k∈Z 时,λ +μ 取得最大值 3. 2 ― → ?1 3? ― → ? 3 1? 3.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量 BA =? , ?, BC =? , ?,则∠ABC=( ?2 2 ? ? 2 2? A.30° C.60° B.45° D.120° )

― → ?1 3? ― → ? 3 1? 解析:选 A 因为 BA =? , ?, BC =? , ?, ?2 2 ? ? 2 2? 3 3 3 ― → ― → 所以 BA · BC = + = . 4 4 2 3 3 ― → ― → ― → ― → 又因为 BA · BC =| BA || BC |cos∠ABC=1×1×cos∠ABC= , 所以 cos∠ABC= . 2 2 又 0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°. 4.(2014·全国卷Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=( A.1 B.2 )

40

C.3
2

D.5
2

解析:选 A 由条件可得,(a+b) =10,(a-b) =6,两式相减得 4a·b=4,所以 a·b =1. 5.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= ________. 解析:法一:易知|a+2b|= |a| +4a·b+4|b| =
2 2

1 4+4×2×1× +4=2 3. 2

法二:(数形结合法)由|a|=|2b|=2,知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB, ― → 如图,则|a+2b|=| OC |.又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2 3. 答案:2 3 6. (2016·全国卷Ⅰ)设向量 a=(m,1), b=(1,2), 且|a+b| =|a| +|b| ,则 m=________. 解析:∵|a+b| =|a| +|b| +2a·b=|a| +|b| , ∴a·b=0. 又 a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 答案:-2
2 2 2 2 2 2 2 2

[课时达标检测] [小题对点练——点点落实]

对点练(一) 平面向量的数量积 1.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并 ― → ― → 延长到点 F,使得 DE=2EF,则 AF · BC 的值为( 5 A.- 8 C. 1 4 B. D. 1 8 11 8 )

解析:选 B

― → ― → ― → ― → ― → 如 图 所 示 , AF · BC = ( AD + DF )· BC =

1― → 3 ― →? ― → 3 ― → ? ― → ? 1― → → ― → ?-1― ? 2 BA +2 DE ? · BC =?-2 BA +4 AC ? · BC =-2 BA · BC ? ? ? ? 3― 1 3 1 → ― → + AC · BC =- + = . 4 4 8 8 2.已知菱形 ABCD 的边长为 6,∠ABD=30°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=2BE,

CD=λ CF.若 AE · BF =-9,则 λ 的值为(

― → ― →

)
41

A.2 C.4 解析:选 B

B.3 D.5 ― → ― → ― → 1― → ― → ― → ― → 1― → 依题意得 AE = AB + BE = BC - BA , BF = BC + BA ,因 此 2 λ

1 1― → ― → ? ? ― → ― → ?1 ― →2 1 ― →2 ? 1 → ― → ?― →+ BA― → ? AE · BF =? BC - BA ?·?BC― = BC - BA +? -1? BC · BA , ? λ λ ?2 ? ? ? 2 ? 2λ ?

?1 1 ? 2 ? 1 -1?×62×cos 60°=-9.由此解得 λ =3, 于是有? - ?×6 +? ? ?2 λ ? ? 2λ ?
故选 B. 3.(2018·嘉兴一模)如图,B,D 是以 AC 为直径的圆上的两点, ― → ― → 其中 AB= t+1,AD= t+2,则 AC · BD =( A.1 C.t B.2 D.2t )

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → 解析:选 A 因为 BD = AD - AB ,所以 AC · BD = AC ·( AD - AB )= AC · AD - ― → ― → ― → ― → ― → ― → AC · AB =| AC |·| AD |cos∠CAD-| AC |·| AB |cos∠CAB.又 AC 为圆的直径, 所以连接

BC, DC(图略), 则∠ADC=∠ABC= , 所以 cos∠CAD=
― → 2 2 =| AD | -|AB| =t+2-(t+1)=1,故选 A.

π 2

― → ― → | AD | | AB | ― → ― → , cos∠CAB= , 则 AC · BD ― → ― → | AC | | AC |

3π 4.(2018·广西质检)已知向量 a,b 的夹角为 ,|a|= 2,|b|=2,则 a·(a-2b) 4 =________. 解析:a·(a-2b)=a -2a·b=2-2× 2×2×?-
2

? ?

2? ?=6. 2?

答案:6 5.(2018·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2, ― → ― → ― → ― → 点 P 是斜边 AB 上的中点,则 CP · CB + CP · CA =________. 解析:由题意可建立如图所示的坐标系.可得 A(2,0),B(0,2),

P(1,1) , C(0,0) , 则 CP · CB + CP · CA = (1,1)·(0,2) +
(1,1)·(2,0)=2+2=4. 答案:4 对点练(二) 平面向量数量积的应用 1.已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|=( A.0 B.1
42

― →

― →

― →

― →

)

C.2 解析:选 D |a-b|=

D. 5

a-b

2

= a -2a·b+b = 1+4= 5.

2

2

― → ― → ― → 2.(2018·云南民族中学一模)已知向量 AB =(x,1)(x>0), AC =(1,2),| BC |= 5, ― → ― → 则 AB , AC 的夹角为( A. C. 2π 3 π 4 ) B. D. π 6 π 3

― → ― → ― → ― → 2 2 2 解析:选 C 因为 BC = AC - AB =(1-x,1),所以| BC | =(1-x) +1=5,即 x -2x ― → ― → AB · AC 2 ― → ― → -3=0,解得 x=3 或 x=-1(舍). 设 AB , AC 的夹角为 θ ,则 cos θ = = , ― → ― → 2 | AB || AC | π 所以 θ = .故选 C. 4 3.(2018·广东五校协作体一模)已知向量 a=(λ ,1),b=(λ +2,1).若|a+b|=|a -b|,则实数 λ 的值为( A.-1 C.1 解析:选 A
2

) B.2 D.-2

根据题意,对于向量 a,b,若|a+b|=|a-b|,则|a+b| =|a-b| ,变
2 2 2

2

2

形可得 a +2a·b+b =a -2a·b+b ,即 a·b=0.又由向量 a=(λ ,1),b=(λ +2,1), 得 λ (λ +2)+1=0,解得 λ =-1.故选 A. 4.已知向量 a=( 3,1),b=(0,1),c=(k, 3),若 a+2b 与 c 垂直,则 k=( A.-3 C.1 B.-2 D.-1 )

解析:选 A 因为 a+2b 与 c 垂直,所以(a+2b)·c=0,即 a·c+2b·c=0,所以 3k + 3+2 3=0,解得 k=-3. 5.(2017·吉林三模)已知平面向量 a,b 的夹角为 120°,且 a·b=-1,则|a-b|的最 小值为( A. 6 C. 2 解析:选 A
2 2

) B. 3 D.1 由 题 意 可 知 - 1 = a·b = |a|·|b|cos 120° , 所 以 2 =

|a| +|b| 2 2 2 2 |a|·|b|≤ , 即|a| +|b| ≥4, 当且仅当|a|=|b|时等号成立, |a-b| =a -2a·b 2 +b =a +b +2≥4+2=6,所以|a-b|≥ 6,所以|a-b|的最小值为 6.
43
2 2 2

6.(2018·河北石家庄一模)已知三个向量 a,b,c 共面,且均为单位向量,a·b=0, 则|a+b-c|的取值范围是( A.[ 2-1, 2+1] C.[ 2, 3 ] ) B.[1, 2 ] D.[ 2-1,1]
2 2 2

解析:选 A 法一:因为 a·b=0,所以|a+b| =a +2a·b+b =2,所以|a+b|= 2. 所以|a+b-c| =a +b +c +2a·b-2(a+b)·c=3-2(a+b)·c.当 c 与(a+b)同向时, (a+b)·c 最大,|a+b-c| 最小,此时(a+b)·c=|a+b||c|·cos 0°= 2,|a+b-c|
2 2 2 2 2 2 2

=3-2 2=( 2-1) ,所以|a+b-c|min= 2-1;当 c 与(a+b)反向时,(a+b)·c 最小, |a+b-c| 最大,此时(a+b)·c=|a+b|·|c|cos π =- 2,|a+b-c| =3+2 2=( 2 +1) ,所以|a+b-c|max= 2+1.所以|a+b-c|的取值范围为[ 2-1, 2+1].故选 A. 法二:由题意不妨设 a=(1,0),b=(0,1),c=(cos θ ,sin θ )(0≤θ <2π ).则 a+b - c = (1 - cos θ , 1 - sin θ ) , |a + b - c| = -cos θ
2 2 2 2



-sin θ

2



π? π? ? ? 3-2 2sin?θ + ?,令 t=3-2 2sin?θ + ?,则 3-2 2≤t≤3+2 2,故|a+b- 4? 4? ? ? c|∈[ 2-1, 2+1].

对点练(三) 平面向量与其他知识的综合问题 sin A ― → ― → ― → ― → ― → ― → 1.(2018·丰台期末)在△ABC 中,若 BC · BA +2 AC · AB = CA · CB ,则 的 sin C 值为( A. 2 C. 2 2 ) B. D. 1 2 3 2

― → ― → ― → ― → 解析: 选 A 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 由 BC · BA +2 AC · AB

a +c -b b +c -a a +b -c ― → ― → = CA · CB ,得 ac× +2bc× =ab× ,化简可得 a= 2c.由正 2ac 2bc 2ab
sin A a 弦定理得 = = 2. sin C c ― → ― → 2 2.(2018·吉林质检)已知 A(-2,0),B(2,0),动点 P(x,y)满足 PA · PB =x ,则动 点 P 的轨迹为( A.椭圆 C.抛物线 ) B.双曲线 D.两条平行直线

2

2

2

2

2

2

2

2

2

― → ― → 2 解析:选 D 因为动点 P(x,y)满足 PA · PB =x ,所以(-2-x,-y)·(2-x,-y)
44

=x ,所以点 P 的轨迹方程为 y =4,即 y=±2,所以动点 P 的轨迹为两条平行的直线.

2

2

x ― → ― → ― → 2 3.已知点 M(1,0),A,B 是椭圆 +y =1 上的动点,且 MA ― →· MB =0,则 MA · BA 4
的取值范围是( ) B.[1,9] D.?

2

?2 ? A.? ,1? ?3 ? ?2 ? C.? ,9? ?3 ?

? 6 ? ,3? ?3 ?

― → ― → ― → ― → ― → ― → ― → ― →2, 解析: 选 C 由 MA · MB =0, 可得 MA · BA = MA ·( MA - MB )= MA 设 A(2cos α , 2?2 2 ― →2 ? 2 2 2 sin α ),则 MA =(2cos α -1) +sin α =3cos α -4cos α +2=3?cos α - ? + ,所以 3? 3 ? 2 2 ― →2 ― →2 ― → ― → 当 cos α = 时, MA 取得最小值 ,当 cos α =-1 时, MA 取得最大值 9,故 MA · BA 的 3 3

?2 ? 取值范围为? ,9?. ?3 ?
― → ― → ― → 4.已知点 G 是△ABC 的外心, GA , GB , GC 是三个单位向量,且 ― → ― → ― → 2 GA + AB + AC =0,△ABC 的顶点 B,C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动, ― → 如图所示,点 O 是坐标原点,则| OA |的最大值为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

― → ― → ― → 解析: 选 B 因为点 G 是△ABC 的外心, 且 2 GA + AB + AC =0, 所以点 G 是 BC 的中点, ― → ― → ― → △ABC 是直角三角形,且∠BAC 是直角.又 GA , GB , GC 是三个单位向量,所以 BC=2,又 △ABC 的顶点 B,C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动,在 Rt△BOC 中,OG 是斜 1 边 BC 上的中线,则|OG|= |BC|=1,所以点 G 的轨迹是以原点为圆心、1 为半径的圆弧.又 2 ― → ― → ― → | GA |=1,所以当 OA 经过 BC 的中点 G 时,| OA |取得最大值,且最大值为 2| GA |=2. 5.已知 a,b 满足|a|= 3,|b|=1,且对任意的实数 x,不等式|a+xb|≥|a+b|恒成 立,设 a,b 的夹角为 θ ,则 tan 2θ =________. ― → 解析: 如图所示, 当(a+b)⊥b 时, 对任意的实数 x, a+xb= OA ― → 或 a+xb= OB ,因为在直角三角形中,斜边大于直角边恒成立,数 形结合知,不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立,因为(a+b)⊥b,a,b 满 - 2 2 足|a|= 3, |b|=1, 所以(a+b)·b=0, a·b+b =0, tan θ =- 2, tan 2θ = 1- - 2
2

45

=2 2. 答案:2 2

[大题综合练——迁移贯通] 1.(2018·江西南昌三校联考)已知 A,B,C 是△ABC 的内角,a,b,c 分别是其对边长, 向量 m=( 3,cos A+1),n=(sin A,-1),m⊥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,cos B= 3 ,求 b 的值. 3

解:(1)∵m⊥n,∴m·n= 3sin A+(cos A+1)×(-1)=0, ∴ 3sin A-cos A=1,

? π? 1 ∴sin?A- ?= . 6? 2 ?
π π 5π ∵0<A<π ,∴- <A- < , 6 6 6 π π π ∴A- = ,∴A= . 6 6 3 π 3 (2)在△ABC 中,A= ,a=2,cos B= , 3 3 ∴sin B= 1-cos B=
2

1 6 1- = . 3 3

6 2× 3 a b asin B 4 2 4 2 由正弦定理知 = ,∴b= = = ,∴b= . sin A sin B sin A 3 3 3 2 2.已知向量 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),c=(-1,0). (1)求向量 b+c 的模的最大值; π (2)设 α = ,且 a⊥(b+c),求 cos β 的值. 4 解:(1)b+c=(cos β -1,sin β ), 则|b+c| =(cos β -1) +sin β =2(1-cos β ). 因为-1≤cos β ≤1, 所以 0≤|b+c| ≤4, 即 0≤|b+c|≤2. 当 cos β =-1 时,有|b+c|=2, 所以向量 b+c 的模的最大值为 2.
46
2 2 2 2

π 2? ? 2 (2)若 α = ,则 a=? , ?. 4 2? ?2 又由 b=(cos β ,sin β ),c=(-1,0)得 a·(b+c)=? = 2 2 2 cos β + sin β - . 2 2 2 因为 a⊥(b+c),所以 a·(b+c)=0, 即 cos β +sin β =1,所以 sin β =1-cos β , 平方后化简得 cos β (cos β -1)=0, 解得 cos β =0 或 cos β =1. 经检验 cos β =0 或 cos β =1 即为所求. 3.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 2? ? 2 , ?·(cos β -1,sin β ) 2 2 ? ?

? ? ? ? Q,且? PC + PQ ?·? PC - PQ ?=0. 2 2
― → 1― → ― → 1― →

?

? ?

?

(1)求动点 P 的轨迹方程; ― → ― → 2 2 (2)若 EF 为圆 N:x +(y-1) =1 的任意一条直径,求 PE · PF 的最值. 解:(1)设 P(x,y),则 Q(8,y). → 1― → ? ?― → 1― → ? ?― 由? PC + PQ ?·? PC - PQ ?=0, 2 2 ? ? ? ? ― → 2 1 ― → 2 得| PC | - | PQ | =0, 4 1 x y 2 即(2-x) +(-y) - (8-x) =0,化简得 + =1. 4 16 12
2 2 2 2

所以动点 P 在椭圆上,其轨迹方程为 + =1. 16 12 ― → ― → ― → ― → ― → ― → (2)易知 PE = PN + NE , PF = PN + NF , ― → ― → 且 NE + NF =0,由题意知 N(0,1), 1 2 ― → ― → ― →2 ― →2 ? y? 2 2 2 所以 PE · PF = PN - NE =(-x) +(1-y) -1=16?1- ?+(y-1) -1=- y - 3 ? 12? 1 2 2y+16=- (y+3) +19. 3 因为-2 3≤y≤2 3, ― → ― → 所以当 y=-3 时, PE · PF 取得最大值 19, ― → ― → 当 y=2 3时, PE · PF 取得最小值 12-4 3.
2

x2

y2

47

― → ― → 综上, PE · PF 的最大值为 19,最小值为 12-4 3.

48

20 XX—2 019 学 年度 第一学 期生物 教研组 工作 计划

指 导思想 以 新一轮 课程改 革为抓 手,更 新教育 理念, 积极推 进教学 改革。 努力实 现教学 创新, 改革教 学和学 习方式 ,提高 课堂教 学效益 ,促进 学校的 内涵性 发展。 同时, 以新课 程理念 为指导 ,在全 面实施 新课程 过程中 ,加大 教研、 教改力 度,深 化教学 方法和 学习方 式的研 究。正 确处 理改革与 发展、 创新与 质量的 关系, 积极探 索符合 新课程 理念的 生物教 学自如 化教学 方法和 自主化 学习方 式。 主 要工作 一 、教研 组建设 方面: 1、 深入学 习课改 理论, 积极实 施课改 实践。 、 以七年 级新教 材为“ 切入点 ”,强 化理论 学习和 教学实 践。 、 充分发 挥教研 组的作 用,把 先进理 念学习 和教学 实践有 机的结 合起来 ,做到 以学促 研,以 研促教 ,真正 实现教 学质量 的全面 提升。 2、 强化教 学过程 管理, 转变学 生的学 习方式 ,提高 课堂效 益,规 范教学 常规管 理,抓 好“五 关”。 (1 )备课 关。要 求教龄 五年以 下的教 师备详 案,提 倡其他 教师备 详案。 要求教 师的教 案能体 现课改 理念。 (2 )上课 关。 (3 )作业 关。首 先要控 制学生 作业的 量,本 着切实 减轻学 生负担 的精神 ,要在 作业批 改上狠 下工夫 。 (4 )考试 关。以 确保给 学生一 个公正 、公平 的评价 环境。 (5 )质量 关。 3、 加强教 研组凝 聚力, 培养组 内老师 的团结 合作精 神,做 好新教 师带教 工作。 二 、常规 教学方 面: 1 加 强教研 组建设 。兴教 研之风 ,树教 研氛围 。特别 要把起 始年级 新教材 的教研 活动作 为工作 的重点 。 2、 教研组 要加强 集体备 课,共 同分析 教材,研 究教法 ,探讨 疑难问 题,由备 课组长 牵头每 周集体 备课一 次,定 时间定 内容, 对下一 阶段教 学做到 有的放 矢,把 握重点 突破难 点. 3、 教研组 活动要 有计划 、有措 施、有 内容, 在实效 上下工 夫,要 认真落 实好组 内的公 开课教 学。 4、 积极开 展听评 课活动 ,每位 教师听 课不少 于 20 节,青 年教师 不少于 4 0 节, 兴“听 课,评 课”之 风,大 力提倡 组内, 校内听 随堂课 。 5、 进一步 制作、 完善教 研组主 页,加 强与兄 弟学校 的交流 。 我 们将继 续本着 团结一 致,勤 沟通, 勤研究 ,重探 索,重 实效的 原则, 在总结 上一学 年经验 教训的 前提下 ,出色 地完成 各项任 务。 校 内公开 课活动 计划表 日 期周次 星期节 次开课 人员拟 开课内 容 10 月 127 四 2 王 志忠生 物圈 10 月 137 五 4 赵 夕珍动 物的行 为 12 月 114 五 4 赵 夕珍生 态系统 的调节 12 月 2818 四 4 朱 光祥动 物的生 殖 镇 江新区 大港中 学生物 教研组 xx- 9 20X X 下学 期生物 教研组 工作计 划范文 20X X 年秋 季生物 教研组 工作计 划 化 学生物 教研组 的工作 计划 生 物教研 组工作 计划 下 学期生 物教研 组工作 计划 年 下学期 生物教 研组工 作计划 20X X 年化 学生物 教研组 计划 20X X 年化 学生物 教研组 计划 中 学生物 教研组 工作计 划 第 一学期 生物教 研组工 作计划 20 XX—2 019 学 年度 第二学 期高中 英语教 研组 工作计 划

XX —XX 学 年度第 二学期 高中英 语教研 组工作 计划 一 .指导 思想: 本 学期, 我组将 进一步 确立以 人为本 的教育 教学理 论,把 课程改 革作为 教学研 究的中 心工作 ,深入 学习和 研究新 课程标 准,积 极、稳 妥地实 施和推 进中学 英语课 程改革 。以新 课程理 念指导 教研工 作,加 强课程 改革, 紧紧地 围绕新 课程实 施过程 出现的 问题, 寻求解 决问题 的方 法和途径 。加强 课题研 究,积 极支持 和开展 校本研 究,提 高教研 质量, 提升教 师的研 究水平 和研究 能力。 加强教 学常规 建设和 师资队 伍建设 ,进一 步提升 我校英 语教师 的英语 教研、 教学水 平和教 学质量 ,为我 校争创 “三星 ”级高 中而发 挥我组 的力量 。 二 .主要 工作及 活动: 1. 加强理 论学习 ,推进 新课程 改革。 组 织本组 教师学 习《普 通高中 英语课 程标准 》及课 标解度 ,积极 实践高 中英语 牛津教 材,组 织全组 教师进 一步学 习、熟 悉新教 材的体 系和特 点,探 索新教 材的教 学模式 ,组织 好新教 材的研 究课活 动,为 全组教 师提供 交流、 学习的 平台和 机会。 2. 加强课 堂教学 常规, 提高课 堂教学 效率。 强 化落实 教学常 规和“ 礼嘉中 学课堂 教学十 项要求 ”。做 好集体 备课和 二备以 及反思 工作。 在认真 钻研教 材的基 础上, 抓好上 课、课 后作业 、辅导 、评价 等环节 ,从而 有效地 提高课 堂教学 效率。 加强教 学方法 、手段 和策略 的研究 ,引导 教师改 进教学 方法的 同时, 引导学 生改 进学习方 法和学 习策略 。 3. 加强课 题研究 ,提升 教科研 研究水 平;加 强师资 队伍建 设,提 升教师 的教学 能力。 组 织教师 有效开 展本组 的和全 校的课 题研究 工作做 到有计 划、有 研究、 有活动 、有总 结,并 在此基 础上撰 写教育 教学论 文,并 向报刊 杂志和 年会投 稿。 制 订好本 组本学 期的校 公开课 、示范 课、汇 报课计 划,并 组织好 听课、 评课等 工作。 三 .具体 安排: 二 月份: 制订好 教研组 工作计 划、课 题组工 作计划 和本学 期公开 课名单 。 三 月份:1 、组织 理论学 习。 2、 高一英 语教学 研讨活 动。 3、 组织好 高三第 一次模 考、阅 卷、评 卷和总 结等工 作。 四 月份:1 、组织 好高三 英语口 语测试 。 2、 高三英 语复习 研讨会 。 五 月份:1 、组织 好高三 第二次 模考、 阅卷、 评卷和 总结等 工作。 2、 协助开 展好我 校的区 级公开 课。 六 月份:1 、组织 好高考 的复习 迎考工 作。 2、 收集课 题活动 材料。 20 19 学 年春季 学期小 学语 文组教 研计划

一 、指导 思想 坚 持以《 基础教 育课程 改革纲 要》为 指导, 认真学 习贯彻 课程改 革精神 ,以贯 彻实施 基础教 育课程 改革为 核心, 以研究 课堂教 学为重 点,以 促进教 师队伍 建设为 根本, 以提高 教学质 量为目 标,全 面实施 素质教 育。 本 学期教 研组重 点加强 对教师 评课的 指导, 使教师 的评课 规范化 ,系统 化,定 期举行 主题教 学沙龙 和“会 诊式行 动研究 ”,促 进新教 师的成 长,加 快我镇 小学语 文教师 队伍成 长速度 和小学 语文教 育质量 的全面 提高。 结合区 里的活 动安排 ,开展 各项有 意义的 学生活 动,培 养提 高学生的 语文素 养,调 动启发 学生的 内在学 习动机 。 二 、工作 目标 1、 以课改 为中心 ,组织 教师学 习语文 课程标 准,转 变教学 观念, 深入课 堂教学 研究, 激发学 生主动 探究意 识,培 养学生 创新精 神和实 践能力 ,努力 提高学 生语文 素养。 2、 进一步 加强语 文教师 队伍建 设,让 “语文 研究小 组”, 充分发 挥学科 带头人 、骨干 教师的 示范作 用,重 视团队 合作智 慧、力 量。开 展“师 徒结对 ”活动 ,以老 带新, 不断提 高教师 的业务 素质。 3、 组织教 师开展 切实有 效的说 课沙龙 、评课 沙龙, 提高教 师说课 能力, 和评课 能力, 能够结 合主题 教研活 动,对 典型课 例进行 互动研 讨,开 展教例 赏析活 动。 4、 加强教 研组集 体备课 ,每周 以段为 单位组 织一次 集体备 课,分 析教材 ,赏析 重点课 文,进 行文本 细读, 交流教 学心得 。让备 课不再 是走场 ,形式 主义, 而是真 真实实 为提高 课堂效 率服务 ,提高 教师的 素质服 务。 5、 根据上 学期制 定的语 文常规 活动计 划,开 展形式 多样的 学习竞 赛活动 、过关 活动, 激发学 生学习 语文的 兴趣, 在自主 活动中 提高学 生的综 合实践 能力, 促进个 性和谐 发展。 6、 加强 学习质 量调查 、检测 工作, 及时分 析,寻 找得失 ,确保 完成各 项教学 指标。 三 、主要 工作及 具体措 施 ( 一)骨 干教师 示范、 把关, 当好“ 领头羊 ”。 1、 本学期 ,语文 研究小 组成员 继续充 分发挥 学科带 头人、 骨干教 师的示 范作用 ,重视 团队合 作智慧 、力量 。教研 组将围 绕“探 索实效 性语文 课堂教 学模式 ”这个 主题, 深入开 展精读 课文教 学有效 性研讨 活动。 低段( 1-2 年 级)则 继续进 行识字 教学的 有效性 的探讨 。分层 、有 序地开展 教研活 动,使 教研活 动更成 熟、有 效,切 实提高 我校语 文老师 的专业 水平。 2、 开展“ 师徒结 对”活 动,以 老带新 ,不断 提高教 师的业 务素质 。 ( 二)年 轻教师 取经、 学习, 争取出 成绩。 1、 为了提 高教学 质量, 促成新 教师迅 速成长 ,1—5 年教龄 新教师 每一学 期上 1 堂模仿 课和一 堂校内 研讨课 。上模 仿课的 内容可 以通过 观看名 师的关 盘、视 频或者 教学实 录等途 径,根 据个人 教学需 要,有 选择性 地进行 局部模 仿,从 而使新 教师形 成个人 的教学 风格 。 20 19 年 高二历 史第二 学期 教学工 作计划 范文 1

一 、指导 思想 高 二的历 史教学 任务是 要使学 生在历 史知识 、历史 学科能 力和思 想品德 、情感 、态度 、价值 观各方 面得到 全面培 养锻炼 和发展 ,为高 三年级 的文科 历史教 学打下 良好的 基础, 为高校 输送有 学习潜 能和发 展前途 的合格 高中毕 业生打 下良好 基础。 高 考的文 科综合 能力测 试更加 强调考 生对文 科各学 科整体 知识的 把握、 综合分 析问题 的思维 能力、 为解决 问题而 迁移知 识运用 知识的 能力。 教师在 教学中 要体现 多学科 、多层 次、多 角度分 析解决 问题的 通识教 育理念 。教师 要认真 学习和 研究教 材 ,转变 教学观 念,紧 跟高考 形 势的发展 ,研究 考试的 变化, 力争使 高二的 教学向 高三教 学的要 求靠拢 。 按 照《教 学大纲 》和《 考试说 明》的 要求, 认真完 成高二 阶段的 单科复 习工作 。坚持 学科教 学为主 ,落实 基础知 识要到 位,适 当兼顾 史地政 三个学 科的综 合要求 ,培养 提高学 生学科 内综合 的能力 。从学 生的实 际出发 ,落实 基础, 提高学 科思维 能力和 辩证唯 物主义 、历史 唯物 主义的理 论水平 。 二 、教学 依据和 教材使 用 根 据国家 对人才 培养的 需要和 普通高 校对考 生文化 素质的 要求, 参照《 历史教 学大纲 》和 xx 年《考 试说明 》进行 教学。 使用人 教社 x x 版高 中《世 界近现 代史》 下册( 选修) 为教材 。以人 教社新 版《世 界近现 代史教 学参考 书》下 册为教 参。教 学中要 注意教 学大纲 和《考 试说 明》的具 体要求 ,针对 性要强 。根据 新形势 下的考 试要求 ,教学 中应重 视对知 识系统 和线索 的梳理 ,重视 知识间 的横向 ,加深 对历史 知识理 解和运 用。 三 、教学 内容 《 世界近 现代史 》下册 提供了 自一战 后至上 个世纪 九十年 代的历 史发展 史实, 教师可 以根据 自己学 校和学 生的情 况自行 调整, 灵活安 排教学 内容。 提倡教 师尝试 多种形 式的教 学模式 ,积极 启发培 养学生 的历史 思维能 力。 四 、教学 安排 1. 每周 2 课时, 本学期 共 21 周 ,约 4 2 课时 。 月 下旬前 要复习 完世界 近现代 史下册 的前三 章。期 中安排 区统一 测试。 月 底提供 全册书 的练习 题一套 ,仅供 参考使 用。 4. 本学期 有《高 二历史 》单元 练习册 (海淀 区教师 进修学 校主编 ,中国 书店出 版)辅 助教学 ,由教 师组织 学生进 行练习 ,希望 教师及 时纠正 教学中 存在的 问题。 中 学-学年 度第二 学期教 学工作 计划 初 二物理 第二学 期教学 计划 1 201 9 年第 二学期 教学工 作计划 范文 小 学第二 学期教 学工作 计划范 本 201 9 学年 第二学 期教学 工作计 划 20X X 年体 育活动 第二学 期教学 工作计 划范文 第 二学期 教学工 作计划 范文 20X X 年高 一地理 第二学 期教学 工作计 划范文 20X X 年高 一历史 第二学 期教学 工作计 划范文 20X X~20X X 学年 度第二 学期教 学工作 计划

20 19 年 春学期 课题研 究计 划

研 究目标 1、 在四年 级科学 教学中 继续深 入实施 苏教版 小学科 学“生 命世界 ”主题 单元探 究活动 设计与 实施的 研究, 重点是 对《呼 吸和血 液循环 》 、 《它 们是怎 样延续 后代的 》这两 个单元 的探究 活动进 行重构 ,寻找 出更切 合学生 实际的 科学探 究活动 。在活 动的设 计中提 炼出一 定的教 学 策略。 2、 对前一 阶段的 研究情 况进行 总结与 反思, 在研究 中不断 修改与 完善实 验方案 ,提高 研究的 有效性 。 3、 在研究 过程中 实施探 究活动 设计的 成果分 析,并 撰写研 究报告 。 4、 取得一 定数量 和质量 的科研 成果。 (如教 学设计 、研究 课、教 学随笔 、论文 等) 5、 做好课 题结题 的准备 工作。 研 究措施 : 1、 依托课 题博客 ,构建 交流平 台。 课 题博客 的内容 在研究 过程中 不断积 累,这 为我们 的课题 研究搭 建了一 个较好 的交流 平台, 同时也 为后期 研究奠 定了坚 实的基 础。在 平时研 究的过 程中要 不断将 研究的 内容充 实到课 题博客 中,做 到信息 上传的 常态化 ,要把 一些文 字资料 、图片 资料、 音响资 料及时 上传, 使得 博客内容 丰富, 能反映 课题研 究的全 过程。 2、 借助他 山之石 ,提高 理论素 养。 各 成员自 选一本 与课题 有关的 书籍, 自学、 吸收、 消化, 结合自 己的教 学实践 ,写出 心得体 会,然 后与课 题组成 员一起 学习、 探讨。 定期分 享一些 相关的 研究信 息。 3、 参加市 课题组 教师专 题会议 ,落实 课题的 研究目 标和重 点,清 醒认识 到自我 实验现 状(优 势与不 足) , 明晰个 人的研 究任务 ,理清 工作思 路和研 究重点 ,有效 地开展 研究实 验。 4、 整理和 提炼研 究成果 ,形成 有过程 ,有效 益,有 精品, 有价值 的课例 、论文 、改进 意见等 等。 5、 写教案 分析, 在深思 中推动 课题研 究 2 01 9 年春 季学期 四年 级数学 教学计 划

一 、学生 的基本 情况分 析: 全 班共 40 人,其 中男生 15 人 ,女生 2 5 人。 学生的 数学基 础较一 般,多 数学生 能掌握 所学内 容,少 部分学 生由于 反映要 慢一些 ,学习 方法死 板,没 有人进 行辅导 ,加之 缺乏学 习的主 动性, 不能掌 握学习 的内容 。能跟 上课的 学生, 课上活 泼,发 言积极 ,上课 专心听 讲,完 成 作业认真 ,学习 比较积 极主动 ,课后 也很自 觉,当 然与家 长的监 督分不 开。部 分学生 解答问 题的能 力较强 ,不管 遇到什 么题, 只要读 了两次 ,就能 找到方 法,有 的方法 还相当 的简捷 。有的 学生只 能接受 老师教 给的方 法,稍 有一点 变动的 问题就 处理不 了。个 别学生 是老师 怎么教 也 不会。 二 、教材 分析 本 册的教 学内容: (1) 混合运 算和应 用题; ( 2)整 数和整 数四则 运算; ( 3)量 的计量; (4) 小数的 意义和 性质; ( 5)小 数的加 法和减 法; (6 )平行 四边形 和梯形 本 册的重 点:混 合运算 和应用 题是本 册的一 个重点 ,这一 册进一 步学习 三步式 题的混 合运算 顺序, 学习使 用小括 号,继 续学习 解答两 步应用 题的学 习,进 一步学 习解答 比较容 易的三 步应用 题,使 学生进 一步理 解和掌 握复杂 的数量 关系, 提高学 生运用 所学知 识解决 得意的 实际 问题的能 力,并 继续培 养学生 检验应 用题的 解答的 技巧和 习惯。 第二单 元整数 和整数 的四则 运算, 是在前 三年半 所学的 有关内 容的基 础上, 进行复 习、概 括,整 理和提 高。先 把整数 的认数 范围扩 展到千 亿位, 总结十 进制计 数法, 然后对 整数四 则运算 的意义 ,运算 定律加 以概括 总 结,这样 就为学 习小数 ,分数 打下较 好的基 础。第 四单元 量的计 量是在 前面已 学的基 础上把 所学的 计量单 位加于 系统整 理,一 方面使 学生所 学的知 识更加 巩固, 一方面 使学生 为学习 把单名 数或复 名数改 写成用 小数表 示的单 名数做 好准备 。 三 、教学 目标 ( 一)知 识与技 能: 1、 使学生 认识自 然数和 整数, 掌握十 进制计 数法, 会根据 数级正 确地读 、写含 有三级 的多位 数。 2、 使学生 理解整 数四则 运算的 意义, 掌握加 法与减 法、乘 法与除 法之间 的关系 。 3、 使学生 理解加 法和乘 法的运 算定律 ,会应 用它们 进行一 些简便 运算, 进一步 提高整 数口算 、笔算 的熟练 程度。 4、 使学生 理解小 数的意 义和性 质,比 较熟练 地进行 小数加 法和减 法的笔 算和简 单口算 。 5、 学生初 步认识 简单的 数据整 理的方 法,以 及简单 的统计 图表; 初步理 解平均 数的意 义,会 求简单 的平均 数。 6、 使学生 进一步 掌握四 则混合 运算顺 序,会 比较熟 练地计 算一般 的三步 式题, 会使用 小括号 ,会解 答一些 比较容 易的三 步计算 的文字 题。 7、 使学生 会解答 一些数 量关系 稍复杂 的两步 计算的 应用题 ,并会 解答一 些比较 容易的 三步计 算的应 用题; 初步学 会检验 的方法 。 8、 结合有 关内容 ,进下 培养学 生检验 的好习 惯,进 行爱祖 国,爱 社会主 义的教 育和唯 物辩证 观点的 启蒙教 育 ( 二)过 程与方 法 1 . 经历 从实际 生活中 发现问 题、提 出问题 、解决 问题的 过程, 体会数 学在日 常生活 中的作 用,初 步形成 综合运 用数学 知识解 决问题 的能力 。 2. 初步了 解运筹 的思想 ,培养 从生活 中发现 数学问 题的意 识,初 步形成 观察、 分析及 推理的 能力。 ( 三)情 感态度 价值观 1. 体会学 习数学 的乐趣 ,提高 学习数 学的兴 趣,建 立学好 数学的 信心。 2. 养成认 真作业 、书写 整洁的 良好习 惯。 四 、教学 措施: 1. 加强思 想教育 、学习 目的性 教育, 使学生 进一步 端正学 习态度 。 2. 以学生 为主体 ,提倡 启发式 教学, 注重尝 试教学 ,激发 学生求 知欲。 3. 重视抓 课堂教 学改革 ,采用 多种方 法调动 学 2 01 9 年高 二下学 期体 育教师 工作计 划范 文

一 、教学 工作的 计划 (1 )学生 情况分 析:本 学期本 人任教 高一年 的学生 选项为 两个女 子武术 教学班 和一个 男子武 术教学 班,都 是新生 进入平 山中学 的,高 二年选 项为女 子武术 教学班 ,都出 现一些 人数参 差不齐 的现象 ,但也 基本上 是上个 学期选 项时的 基本情 况,对 于学习 时起到 这个项 目的连 续 性有一定 的帮助 。学习 时也能 了解到 教师的 教学意 图,这 样方便 教学的 总体安 排,也 可在一 定程度 上增加 一些技 术难度 与要求 。 (2 )教材 与教辅 分析: ① 分析教 材与教 辅的内 容与结 构:这 个学期 采用 2 个学分 同时选 项,这 样有利 于全学 期的学 习计划 与安排 ,不用 再教基 本功, 本学期 本人计 划在高 一年的 教学内 容是田 径与基 本体操 (广播 操)及 初级长 拳结合 进行教 学,高 二选项 安排校 本课程 “武术 剑”里 的一个 套路进 行教 学,再结 合表演 的方式 配合进 行的实 用技能 进行教 学,这 样有利 于学生 的学习 兴趣, 从内容 与结构 上的安 排是注 重学生 的学习 过程, 特别是 动作的 到位, 学不在 多,而 在精。 ② 分析教 材的特 点与重 点、难 点:教 材的特 点为有 利于学 生的学 习,兴 趣比较 浓,对 于学习 过程比 较注重 ,方便 学生的 素质不 同者的 学习; 重点在 于武德 ,这是 本个项 目开设 的重点 ,也是 教学过 程中最 重最重 的重点 ,让学 生知道 学习的 基本意 图,也 让学生 能自我 控制; 难点 在于如何 去掌握 套路的 实用技 能,提 高学以 致用, 能有防 身的本 领。 ③ 提出教 学任务 :在全 面发展 体能的 基础上 ,进一 步发展 灵敏、 力量, 速度和 有氧耐 力,武 德的培 养;引 导学生 学会合 理掌握 练习与 讨论的 时间, 了解实 现目标 时可能 遇到的 困难。 在不断 体验进 步和成 功的过 程中, 表现出 适宜的 自信心 ,形成 勇于克 服困难 积极向 上,乐 观开 朗的优良 品质; 认识现 代社会 所必需 的合作 和竞争 意识, 在武术 学习过 程中学 会尊重 和关心 他人, 将自身 健康与 社会需 要相, 表现出 良好的 体育道 德品质 ,结合 本身项 目去了 解一些 武术名 人并能 对他们 进行简 单的评 价;加 强研究 性的学 习,去 讨论与 研究技 能的实 用性, 加强同 学 之间的讨 论交流 的环节 。 (3 )教学 目标: ① 总体目 标:建 立“健 康第一 ”的理 念,培 养学生 的健康 意识和 体魄, 在必修 田径教 学的基 础上进 一步激 发学生 学习“ 初级长 拳”、 “剑” 的兴趣 ,培养 学生的 终身体 育意识 ,以学 生身心 健康发 展为中 心,重 视学生 主体地 位的同 时关注 学生的 个体差 异与不 同需求 ,确保 每一 个学生都 受益, 以及多 样性和 选择性 的教学 理念, 结合学 校的实 际情况 ,设计 本教学 工作计 划,以 满足学 生选项 学生的 需求, 加深学 生的运 动体验 和理解 ,保证 学生在 高一年 田径必 修基础 上再加 上“长 拳”来 引导男 女生学 习体育 模块的 积极性 ,再结 合高二 年的 “剑” 选项课 的学 习中修满 2 学分 。加强 学习“ 长拳” 以及“ 剑”的 基本套 路,提 升学习 的的兴 趣,提 升学生 本身的 素质, 特别是 武德的 培养。 ② 具体目 标: 运 动参与 :a 养成 良好的 练武的 锻炼习 惯。b 根据科 学锻炼 的原则 ,制定 并实施 个人锻 炼计划 。c 学 会评价 体育锻 炼效果 的主要 方法。 运 动技能 :a 认识 武术运 动项目 的价值 ,并关 注国内 外重大 体赛事 。b 有 目的的 提高技 术战术 水平, 并进一 步加强 技、战 术的运 用能力 。c 学 习并掌 握社会 条件下 活动的 技能与 方法, 并掌握 运动创 伤时和 紧急情 况下的 简易处 理方法 。 身 体健康 :a 能通 过多种 途径发 展肌肉 力量和 耐力。 b 了解 一些疾 病等有 关知识 ,并理 解身体 健康在 学习、 生活中 和重要 意义。 c 形成 良好的 生活方 式与健 康行为 。 心 理健康 :a 自觉 通过体 育活动 改变心 理状态 ,并努 力获得 成功感 。b 在 武术练 习活动 中表现 出调节 情绪的 意愿与 行为。 c 在具 有实用 技能练 习中体 验到战 胜困难 带来喜 悦。 社 会适应 :a 在学 习活动 中表现 出良好 的体育 道德与 合作创 新精神 。b 具 有通过 各种途 径获取 体育与 健康方 面知识 和方法 的能力 。 (4 )教学 措施: 采 用教师 示范与 讲解, 学生讨 论,练 习,教 师评价 ,再进 行个别 指导, 后进行 学生练 习,最 后进行 展示与 学生的 综合评 价相结 合的方 式方法 ,培养 学生的 良好的 学习习 惯、学 习方法 更好地 完成教 学任务 ,达到 教学目 标;实 行培优 扶中辅 差, ,采 用学习 小组的 建立, 加强学 习 小组的相 互学习 、相互 讨论、 相互研 究的功 能,提 升学习 的效率 ;加强 多边学 科的整 合,特 别是加 强心理 健康的 教育, 加强运 动力学 、运动 医学等 进行学 习,以 提升学 生的运 动自我 保护意 识与能 力。 二 、教学 研究的 计划 (1 )课题 研究: 加强校 本课程 “剑” 、“平 山初级 长拳” 的开发 与教学 ;做好 “趣味 奥运会 进入校 园”课 题的开 题准备 。做为 “青春 期健康 教育进 入校园 ”课题 组的成 员,协 助课题 组进行 研究, 开展活 动。 (2 )校本 教研: 加强校 本课程 的开发 ,加强 体育备 课组的 教研能 力,做 为备课 组长的 我与其 他老师 加强讨 论校本 的研究 与开发 ,本次 校本开 发重点 放在“ 剑”、 “初级 长拳” 、“花 样篮球 ”三个 项目上 ,有所 侧重。 (3 )论文 撰写: 结合课 题研究 的内容 进行撰 写。 (4 )校际 、教研 组、备 课组教 研活动 :做为 晋江市 兼职中 学体育 教研员 及校际 组成员 ,积极 参加校 际组开 展的各 项活动 ,加强 提升在 校际组 的教研 水平, 做好兼 职教研 员的本 职工作 ,协助 教研员 开展教 研活动 ;积极 参加教 研组的 各项活 动,提 升教研 水平; 做为备 课组长 的 我,我计 划是积 极组织 本组老 师一起 提高高 中的课 改力度 与水平 ,集中 老师的 备课时 间与讨 论在备 课过程 中出现 的一系 列问题 ,针对 选项会 出现的 问题进 行沟通 ,加强 学习过 程的评 价,协 调选项 内容的 评价标 准及认 证过程 。 高 二下学 期语文 备课组 工作计 划 高 二下学 期化学 教学计 划 高 二下学 期语文 教学工 作计划 关 于高二 下学期 班主任 工作计 划范文 20X X 学年 高二下 学期班 主任工 作计划 范文 20X X 高二 下学期 班主任 工作计 划 高 二下学 期工作 计划范 文 20X X 年高 二下学 期地理 教学计 划 高 二下学 期物理 教学计 划 2 高 二下学 期语文 教学计 划

生积极性 ,要求 作业在 课堂上 完成, 并及时 反馈。 4. 做好后 进生的 辅导工 作,实 施“课 内补课 ”的方 法,组 织互帮 互学。 5. 培养学 生的分 析、比 较和综 合能力 。 6. 培养学 生的抽 象、概 括能力 。 7. 培养学 生的迁 移类推 能力。 8. 培养学 生思维 的灵活 性。 五 、课时 安排 四 年级下 学期数 学教学 安排了 7 2 课时 的教学 内容。 各部分 教学内 容教学 课时大 致安排 一 、混合 运算和 应用题 (11 课 时) 1、 混合运 算 2 课 时 2、 两、三 步计算 的应用 题 8 课 时 3、 整理和 复习 1 课时 二 、整数 和整数 四则运 算(18 课时) 1、 十进制 计数法 2 课时 2、 加法的 意义和 运算定 律 3 课 时 3、 减法的 意义和 运算定 律 3 课 时 4、 乘法的 意义和 运算定 律 4 课 时 5、 除法的 意义 4 课时 6、 整理和 复习 2 课时 三 、量的 计量(6 课时) 1、 常用的 计量单 位 2 课 时 2、 名数的 改写 4 课时 四 、小数 的意义 和性质 (17 课 时) 1、 小数的 意义和 读写法 2 课时 2、 小数的 性质和 小数的 大小比 较 3 课 时 3、 小数点 位置移 动引起 小数大 小的变 化 4 课 时 4、 小数和 复名数 3 课时 5、 求一个 小数的 近似数 2 课时 6、 整理和 复习 2 课时 五 、小数 的加法 和减法 (3 课时 ) 小 管家 1 课时 六 、三角 形、平 行四边 形和梯 形(10 课时) 1、 角的度 量 1 课 时 2、 垂直和 平行 2 课时 3、 三角形 2 课时 4、 平行四 边形和 梯形 3 课时 5、 整理和 复习 2 课时 七 、总复 习(6 课 时) XX 年 2 月 26 日 向纵深发 展。 6、 做好论 文的撰 写、参 评工作 。 活 动安排 : 二 月份: 课例展 示交流 。王钧 、李汪 俊、罗 建上研 究课; 课题成 员进行 子课题 研究交 流。 三 月份: 课例展 示交流。 (姚爱 祥)组 织课题 学习, 程中华 、戴辉 文、孙 小娟上 研究课 ;课题 成员进 行子课 题研究 交流。 四 月份: 课例展 示交流。 (姚爱 祥)组 织课题 学习, 刘华波 、曹辉 、钱芸 上研究 课;课 题成员 进行子 课题研 究交流 。 五 月份: 课题研 究小结 2、 组织年 轻教师 开展会 诊式课 堂教学 诊断活 动、同 课异构 活动、 同构异 教活动 ,有效 ,切实 提高我 校年轻 语文老 师的专 业水平 ,获得 快速成 长。 3、 选拔教 龄 2— —3 年 新教师 参加区 教研室 组织的 区新生 代课堂 教学比 赛,并 做好指 导、培 训工作 。 ( 三)教 研形式 稳中有 变,踏 实而生 动。 1、 继续组 织两周 一次的 专题学 习沙龙 和互动 式评课 沙龙, 结合教 研活动 的主题 组织好 教师学 习、交 流。听 展示课 的教师 对听课 内容进 行精心 、系统 的评点 ,写成 评课稿 ,在两 周一次 的互动 式教学 研讨沙 龙中进 行交流 、探讨 。与往 年不同 的是, 在保证 互动评 课活动 开展同 时 ,不影响 正常教 学,本 学期安 排 8 次 集体评 课活动 ,其他 评课通 过 qq 群来交 流、研 讨。

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