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2018版高考数学大一轮复习高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题试题理

高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题试题 理 北师大 版

π 1.(2016·全国甲卷)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图像的 12 对称轴为( A.x= C.x= ) B.x= D.x=


2

π - (k∈Z) 6


2

π + (k∈Z) 6



π - (k∈Z) 2 12



π + (k∈Z) 2 12

答案 B π 解析 由题意将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度后得到函数的解析式为 y= 12 π? π π kπ π ? 2sin?2x+ ?,由 2x+ =kπ + (k∈Z)得函数的对称轴为 x= + (k∈Z),故选 B. 6? 6 2 2 6 ? 2.在△ABC 中,AC·cos A=3BC·cos B,且 cos C= A.30° C.60° 答案 B 解析 由题意及正弦定理得 sin Bcos A=3sin Acos B, ∴tan B=3tan A,∴0°<A<90°,0°<B<90°, 又 cos C= 5 , 5 B.45° D.120° 5 ,则 A 等于( 5 )

2 5 故 sin C= ,∴tan C=2,而 A+B+C=180°, 5 tan A+tan B ∴tan(A+B)=-tan C=-2,即 =-2, 1-tan Atan B 将 tan B=3tan A 代入,得 4tan A 2 =-2, 1-3tan A

1 ∴tan A=1 或 tan A=- ,而 0°<A<90°, 3 则 A=45°,故选 B. 3.在 Rt△ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 A.2 C.5 B.4 D.10
1

PA2+PB2 等于( PC2

)

答案 D 解析 将△ABC 的各边均赋予向量, 则

PA2+PB2 PA2+PB2 = PC2 →2 PC





→ → 2 → → 2 ?PC+CA? +?PC+CB? = →2

PC



→2 → → → → →2 →2 2PC +2PC·CA+2PC·CB+CA +CB →2

PC



→ 2 → → → → 2 2|PC| +2PC·?CA+CB?+|AB| → 2 |PC|

→ 2 → 2 → 2 → 2 2|PC| -8|PC| +|AB| |AB| = = -6 → 2 → 2 |PC| |PC| =4 -6=10.
2

? π? m 4.已知函数 f(x)=sin?x+ ?- 在[0,π ]上有两个零点,则实数 m 的取值范围为( 3? 2 ?
A.[- 3,2] C.( 3,2] 答案 B 解析 ∈? B.[ 3,2) D.[ 3,2]

)

m m ? π? 如图,画出 y=sin?x+ ?在[0,π ]上的图像,当直线 y= 与其有两个交点时, 3 2 2 ? ?

? 3 ? ,1?,所以 m∈[ 3,2). ?2 ?

π 5.若函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )在一个周期内的图像如图所示,M,N 分别 2 → → 是这段图像的最高点和最低点,且OM·ON=0(O 为坐标原点),则 A=________.

答案

7 π 12

2

π 7π 解析 由题意知 M( ,A),N( ,-A), 12 12 → → π 7π 2 又∵OM·ON= × -A =0, 12 12 ∴A= 7 π. 12

题型一 三角函数的图像和性质 π π 2ω x 例 1 已知函数 f(x)=sin(ω x+ )+sin(ω x- )-2cos ,x∈R(其中 ω >0). 6 6 2 (1)求函数 f(x)的值域; π (2)若函数 y=f(x)的图像与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离均为 ,求函数 y=f(x) 2 的单调增区间. 解 (1)f(x)= =2( 3 1 3 1 sin ω x+ cos ω x+ sin ω x- cos ω x-(cos ω x+1) 2 2 2 2

3 1 π sin ω x- cos ω x)-1=2sin(ω x- )-1. 2 2 6

π 由-1≤sin(ω x- )≤1, 6 π 得-3≤2sin(ω x- )-1≤1, 6 所以函数 f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题设条件及三角函数图像和性质可知,y=f(x)的周期为 π , 2π 所以 =π ,即 ω =2. ω π 所以 f(x)=2sin(2x- )-1, 6 π π π 再由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 6 3 所以函数 y=f(x)的单调增区间为 π π [kπ - ,kπ + ](k∈Z). 6 3 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为 y=Asin(ω x +φ )+k 的形式,然后将 t=ω x+φ 视为一个整体,结合 y=sin t 的图像求解.

3

5 2 已知函数 f(x)=5sin xcos x-5 3cos x+ 3(其中 x∈R),求: 2 (1)函数 f(x)的最小正周期; (2)函数 f(x)的单调区间; (3)函数 f(x)图像的对称轴和对称中心. 5 5 3 5 3 解 (1)因为 f(x)= sin 2x- (1+cos 2x)+ 2 2 2 1 3 π =5( sin 2x- cos 2x)=5sin(2x- ), 2 2 3 2π 所以函数的周期 T= =π . 2 π π π (2)由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 12 12 所以函数 f(x)的单调增区间为 π 5π [kπ - ,kπ + ](k∈Z). 12 12 π π 3π 由 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 5π 11π 得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z), 12 12 所以函数 f(x)的单调减区间为 5π 11π [kπ + ,kπ + ](k∈Z). 12 12 π π kπ 5π (3)由 2x- =kπ + (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 3 2 2 12 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x=


2



5π (k∈Z). 12

π kπ π 由 2x- =kπ (k∈Z),得 x= + (k∈Z), 3 2 6 所以函数 f(x)的对称中心为( 题型二 解三角形 4 π 例 2 (2016·江苏)在△ABC 中,AC=6,cos B= ,C= . 5 4 (1)求 AB 的长;


2



π ,0)(k∈Z). 6

? π? (2)求 cos?A- ?的值. 6? ?
4 解 (1)由 cos B= ,0<B<π , 5
4

3 2 则 sin B= 1-cos B= , 5 π AC AB 又∵C= ,AC=6,由正弦定理,得 = , 4 sin B π sin 4 6 AB 即 = ? AB=5 2. 3 2 5 2 3 4 2 (2)由(1)得 sin B= ,cos B= ,sin C=cos C= , 5 5 2 7 2 则 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= , 10 cos A=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C) =- 2 , 10

π π 7 2- 6 ? π? 则 cos?A- ?=cos Acos +sin Asin = . 6? 6 6 20 ? 思维升华 根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在做有关角的范围问 题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,正确对结果进行取舍. (2017·江西新余一中调研)在△ABC 中, 角 A, B, C 对边分别为 a, b, c, 且 btan

A,ctan B,btan B 成等差数列.
(1)求角 A; (2)若 a=2,试判断当 bc 取最大值时△ABC 的形状,并说明理由. 解 (1)因为 btan A,ctan B,btan B 成等差数列, 所以 btan A=(2c-b)tan B. sin A sin B 由正弦定理得 sin B· =(2sin C-sin B)· , cos A cos B 又因为 0<B<π ,所以 sin B≠0, 所以 sin Acos B=2sin Ccos A-cos Asin B, 即 sin(A+B)=2sin Ccos A, 所以 sin C=2sin Ccos A, 又因为 0<C<π ,所以 sin C≠0, 1 所以 cos A= ,而 0<A<π , 2 π 所以 A= . 3

5

(2)由余弦定理得 a =b +c -2bccos 所以 4=b +c -bc≥2bc-bc=bc, 当且仅当 b=c 时取等号. 即当 b=c=2 时,bc 取得最大值, 此时△ABC 为等边三角形.
2 2

2

2

2

π , 3

题型三 三角函数和平面向量的综合应用 3? ? 例 3 已知向量 a=?sin x, ?,b=(cos x,-1). 4? ? (1)当 a∥b 时,求 cos x-sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a = 3,b=2,sin B= 解 (1)因为 a∥b, 3 所以 cos x+sin x=0, 4 3 所以 tan x=- . 4 cos x-2sin xcos x 1-2tan x 8 2 cos x-sin 2x= = = . 2 2 2 sin x+cos x 1+tan x 5 (2)f(x)=2(a+b)·b 1 =2(sin x+cos x,- )·(cos x,-1) 4 π? 3 3 ? =sin 2x+cos 2x+ = 2sin?2x+ ?+ . 4? 2 2 ? 由正弦定理 = ,得 sin A sin B
2 2

π ?? ? π ?? 6 ? ,求 f(x)+4cos?2A+ ??x∈?0, ??的取值范围. 6 ?? ? 3 ?? 3 ?

a

b

asin B sin A= = b

3× 2

6 3



2 , 2

π 3π 所以 A= 或 A= . 4 4 π 因为 b>a,所以 A= . 4 π? π? 1 ? ? 所以 f(x)+4cos?2A+ ?= 2sin?2x+ ?- , 6? 4? 2 ? ? π ?π 11π ? ? π? 因为 x∈?0, ?,所以 2x+ ∈? , , 3? 12 ? 4 ?4 ? ? 所以 π? 3 1 ? -1≤f(x)+4cos?2A+ ?≤ 2- . 6? 2 2 ?
6

π π 1? ? 3 所以 f(x)+4cos(2A+ )(x∈[0, ])的取值范围是? -1, 2- ?. 6 3 2? ?2 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具, 是一个载体, 通常是用向量的数量积运算或性质 转化成三角函数问题. (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、 余弦定理进行转化, 注意角的范围对变形过程的影 响. → → 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC=2,cos

B= ,b=3,求:
(1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 解 (1)由BA·BC=2,得 c·acos B=2. 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a +c =b +2accos B. 又 b=3,所以 a +c =9+2×2=13. 解?
?ac=6, ? ? ?a +c =13,
2 2 2 2 2 2 2

1 3

得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos B = 1 2 2 2 1-? ? = , 3 3
2

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9
因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cos C= 1-sin C=
2

4 2 2 7 1-? ?= . 9 9

于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C 1 7 2 2 4 2 23 = × + × = . 3 9 3 9 27

7

π 5π 3 1.已知函数 f(x)=Asin(x+ ),x∈R,且 f( )= . 4 12 2 (1)求 A 的值; 3 π 3π (2)若 f(θ )+f(-θ )= ,θ ∈(0, ),求 f( -θ ). 2 2 4 5π 5π π 2π 解 (1)∵f( )=Asin( + )=Asin 12 12 4 3 = 3 3 A= ,∴A= 3. 2 2 π ), 4

(2)由(1)知 f(x)= 3sin(x+ 故 f(θ )+f(-θ )

π π 3 = 3sin(θ + )+ 3sin(-θ + )= , 4 4 2 ∴ 3[ 2 2 3 (sin θ +cos θ )+ (cos θ -sin θ )]= , 2 2 2

3 6 ∴ 6cos θ = ,∴cos θ = . 2 4 π 10 2 又 θ ∈(0, ),∴sin θ = 1-cos θ = , 2 4 3π 30 ∴f( -θ )= 3sin(π -θ )= 3sin θ = . 4 4 2.(2016·山东)设 f(x)=2 3sin(π -x)sin x-(sin x-cos x) . (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)把 y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再把得到的图像向 π ?π ? 左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图像,求 g? ?的值. 3 ?6? 解 (1)f(x)=2 3sin(π -x)sin x-(sin x-cos x) =2 3sin x-(1-2sin xcos x) = 3(1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x- 3cos 2x+ 3-1 π? ? =2sin?2x- ?+ 3-1. 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 12 12 所 以
2 2 2

f(x)

















?kπ -π ,kπ +5π ? ? 12 12 ? ? ?

8

π 5π ? ? ? ? (k∈Z)?或?kπ - ,kπ + ??k∈Z??. 12 12 ? ? ? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x- ?+ 3-1, 3? ? 把 y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变).

? π? 得到 y=2sin?x- ?+ 3-1 的图像. 3? ?
π 再把得到的图像向左平移 个单位, 3 得到 y=2sin x+ 3-1 的图像, 即 g(x)=2sin x+ 3-1. π ?π ? 所以 g? ?=2sin + 3-1= 3. 6 ?6? → → → → 3.已知△ABC 的面积为 2,且满足 0<AB·AC≤4,设AB和AC的夹角为 θ . (1)求 θ 的取值范围;
2 π (2)求函数 f(θ )=2sin ( +θ )- 3cos 2θ 的值域. 4

解 (1)设在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 1 则由已知 bcsin θ =2,0<bccos θ ≤4, 2 可得 tan θ ≥1, π π 又∵θ ∈[0,π ],∴θ ∈[ , ). 4 2
2 π (2)f(θ )=2sin ( +θ )- 3cos 2θ 4

π =1-cos( +2θ )- 3cos 2θ 2 π =(1+sin 2θ )- 3cos 2θ =2sin(2θ - )+1, 3 π π ∵θ ∈[ , ), 4 2 π π 2π ∴2θ - ∈[ , ). 3 6 3 π ∴2≤2sin(2θ - )+1≤3. 3 ∴函数 f(θ )的值域是[2,3]. π? ? 4.函数 f(x)=cos(π x+φ )?0<φ < ?的部分图像如图所示. 2? ?

9

(1)求 φ 及图中 x0 的值;

? 1? ? 1 1? (2)设 g(x)=f(x)+f?x+ ?,求函数 g(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 3? ? 2 3?
解 (1)由题图得 f(0)= 3 3 ,所以 cos φ = , 2 2

π π 因为 0<φ < ,故 φ = . 2 6 由于 f(x)的最小正周期等于 2, 所以由题图可知 1<x0<2, 故 7π π 13π <π x0+ < , 6 6 6 π? 3 3 ? 得 cos?π x0+ ?= , 6 2 2 ? ?

由 f(x0)=

π 11π 5 所以 π x0+ = ,x0= . 6 6 3

? ? 1? π ? ? 1? (2)因为 f?x+ ?=cos?π ?x+ ?+ ? ? 3? ? ? 3? 6 ?
π? ? =cos?π x+ ?=-sin π x, 2? ?

? 1? 所以 g(x)=f(x)+f?x+ ? ? 3?
π? ? =cos?π x+ ?-sin π x 6? ? =cos π xcos = = π π -sin π xsin -sin π x 6 6

3 1 cos π x- sin π x-sin π x 2 2 3 3 cos π x- sin π x 2 2

= 3sin?

?π -π x?. ? ?6 ?

π π 2π ? 1 1? 当 x∈?- , ?时,- ≤ -π x≤ . 6 6 3 ? 2 3? 1 ?π 所以- ≤sin? -π 2 ?6

x? ?≤1,

?

π π 1 故当 -π x= ,即 x=- 时,g(x)取得最大值 3; 6 2 3
10

π π 1 3 当 -π x=- ,即 x= 时,g(x)取得最小值- . 6 6 3 2 5.(2016·玉山一中模拟)已知向量 a=(2cos x, 3),b=(1,sin 2x),函数 f(x)=a·b. (1)求函数 f(x)的解析式与对称轴方程; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=3,c=1,ab=2 3,且 a>b, 求 a,b 的值. 解 (1)由题意得 f(x)=(2cos x, 3)·(1,sin 2x) =2cos x+ 3sin 2x π =2sin(2x+ )+1, 6 ∴对称轴方程为 x=
2 2 2



π + (k∈Z). 2 6

π (2)f(C)=2sin(2C+ )+1=3, 6 π ∴sin(2C+ )=1, 6 π π π ∴2C+ = ,∴C= , 6 2 6

b2+a2-c2 3 ∴cos C= = . 2ab 2
即 a +b =7,(*) 将 ab=2 3代入(*)式可得 a + 解得 a =3 或 4, ∴a= 3或 2,∴b=2 或 3, ∵a>b,∴a=2,b= 3.
2 2 2 2

12

a2

=7,

11


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