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抽象函数常见题型解法学生版

高考专项复习-----抽象函数常见题型及解法

抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形 式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的 某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽 象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再 由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx (k≠0) 幂函数 指数函数 对数函数 f(x)=xn f(x)=ax (a>0 且 a≠1) f(x)=logax (a>0 且 a≠1) f(x)=cosx f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或 f ( x ) ?
y f (x) f ( y)

]

f(x+y)=f(x)f(y) [ 或f ( x ? y) ? f ( x )
f ( y)

f(xy)=f(x)+f(y) [ 或f ( x ) ? f ( x ) ? f ( y)]
y

正、余弦函数 正切函数 余切函数

f(x)=sinx

f(x+T)=f(x)
f ( x ? y) ? f ( x ) ? f ( y) 1 ? f ( x )f ( y )
1 ? f ( x )f ( y ) f ( x ) ? f ( y)

f(x)=tanx f(x)=cotx

f ( x ? y) ?

目录:一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例 1.若函数 y = f(x)的定义域是[-2,2],则函数 y = f(x+1)+f(x-1)的定义域为 评析:已知 f(x)的定义域是 A,求 f ?? ? x ?? 的定义域问题,相当于解内函数 ? ? x ? 的不等式问题。
? 练习:已知函数 f(x)的定义域是 ?? 1,2? ,求函数 f ? ? log 1 ?3 ? x ?? 的定义域。 ? ? ?
2



例 2:已知函数 f ?log3 x ? 的定义域为[3,11],求函数 f(x)的定义域

?


-1 -1

评析: 已知函数 f ?? ? x ?? 的定义域是 A,求函数 f(x)的定义域。相当于求内函数 ? ? x ? 的值域。

练习:定义在 ?3,8? 上的函数 f(x)的值域为 ?? 2,2? ,若它的反函数为 f (x),则 y=f (2-3x)的定义域为 ,值域为 。 二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确 目标,细心研究,反复试验; 例 3.①对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______. ②R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数,则 f(2009)= .

例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_________.1 练习: 1. f(x)的定义域为 (0, ??) ,对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ,则 f ( 2) ? 2. 如果f ( x ? y) ? f ( x )f ( y), 且f (1) ? 2, 则 ( )

f (2) f (4) f (6) f (2000) ? ? ??? 的值是 f (1) f (3) f (5) f (2001)



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f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)

.(

)

3、对任意整数 x, y 函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ? 1 ,若 f (1) ? 1 ,则 f (?8) ? A.-1 B.1 C. 19 D. 43 )

4、函数 f(x)为 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,若 f (1) ? 2 ,则 f (2005) =(

A . 2005 B. 2 C.1 D.0 5、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f-1(x),又 Y=f(x)过点(2,1) ,Y=f(2x)的反函数为 Y=f-1(2x),则 Y=f-1(16)为 ( ) A)

1 8

B)

1 16

C)8

D)16

6、已知a为实数,且0 ? a ? 1, f ( x )是定义在[0, 1] 上的函数,满足f (0) ? 0, f (1) ? 1, 对所有x ? y , 均有f ( x? y ) ? (1 ? a ) f ( x ) ? af ( y ) 2 1 (1)求a的值( 2)求f ( )的值 7 三、值域问题

例 4.设函数 f(x)定义于实数集上, 对于任意实数 x、 y, f(x+y)=f(x)f(y)总成立, 且存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 求函数 f(x)的值域。

四、解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法, 例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)

x ?1? 例 6、设对满足 x≠0,x≠1 的所有实数 x,函数 f(x)满足, f ? x ? ? f ? ? ? ? 1 ? x ,求 f(x)的解析式。 ? x ?

小结:通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常,给某些变量适 当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。 例 7.已知 f(x)是多项式函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 小结:如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n∈N; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*; ③f(2)=4 同时成立?若存在,求出函数 f(x)的解析式;若不存在,说明理由. 小结:对于定义在正整数集 N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推 法来求解. 例9、已知 f ( x) 是定义在R上的偶函数,且 f ( x ? ) ? f ( x ? ) 恒成立,当 x ? ?2, 3? 时, f ( x) ? x ,则当

3 2

1 2

x ? (?2, 0) 时,函数 f ( x) 的解析式为( D )
A. x ? 2 B. x ? 4 C. 2 ? x ? 1 D. 3 ? x ? 1
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小结:利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间,利用已知区间的表达式求未知区间的表达式,是求 解析式中常用的方法。 练习:1、 设y ? f ( x)是实数函数(即x, f ( x)为实数), 且f ( x) ? 2f ( ) ? x, 求证 :| f ( x) |? 2.(2006 重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式。

1 x

2 2. 3

3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0,

(1)求 f (0) 的值;

(2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f(x1)+2<logax2 成立时,求 a 的取值范围.

1 2

1 2

方法提炼 怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题.
五、单调性问题 (抽象函数的单调性多用定义法解决) 例 10.设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x) 在[-3,3]上的最大值和最小值.

练习:设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), R 上为增函数。

求证:f(x)在

例 11、已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2
2

练习: 已知函数 f(x)的定义域为 R, 且对 m、 n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- f(x)是单调递增函数;

1 1 )=0,当 x>- 时, f(x)>0.求证: 2 2

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例 12、定义在 R 上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围.

+

练习 1 : 已知f ( x)是定义在(0,??)上的单调增函数,对于任意的m、n(m, n ? (0,??))满足 f (m) ? f (n) ? f (mn ), 且a、b(0 ? a ? b)满足 f (a ) ? f (b) ? 2 f ( a?b ) 2 2

(1)求f (1);.......( 2)若f (2) ? 1 ,解不等式f ( x) ? 2;......... ..( 3)求证: 3?b ? 2?

练习 2、 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f (a)·f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数;(4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.

关键点注:解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是证明单调性的关
键,这里体现了向条件化归的策略 练习 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 f (a) ? f (b) >0
a?b

(1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2)<0 对 x∈ [-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围。

练习 4、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1. 试判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.

练习5、奇函数f ( x)在(??,0)上单调递减,且f (2) ? 0,则( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0的解集为( C

)

A、 (?2,?1) ? (1,2) B、 (?3,1) ? (2, ? ?) ??C、 (?3,?1) D、 (?2,0) ? (2, ? ?) 六、奇偶性问题 例 13. (1)已知函数 f(x)(x≠0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(x﹒y)=f(x)+f(y),试判断函数 f(x)的奇偶 性。
(2)已知 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是( A.x=1 B.x=2 C.x=- )

1 2

D.x=

1 2

注:若由奇偶性的定义看复合函数,一般用一个简单函数来表示复合函数,化繁为简。F(x)=f(2x+1)为偶函数, 则 f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于 x=1 对称。
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例 14:已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1? f ( x ? y ) ? 求证:f(x)是奇函数。

f ( x) f ( y ) ? 1 ,(2)存在正常数 a,使 f(a)=1. f ( y ) ? f ( x)

例 15:设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1) 。求实数 a 的取值
2 2

范围。

(设计理由:此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题,所以本题弹性较大,可以作一些条件变换如:

f (a ? 1) ? f (1)或f (a ? 1) ? f (1 ? 2a) 等;也可将定义域作一些调整)
例 16:定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.
x x x

练习:1、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; n (3)若 f(2)=2,un=f(2 ) (n∈N*),求证:un+1>un (n∈N*). 2.定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明f(x)为减函数;若函数f(x)在[-3,3)上总有f(x)≤6成立,试确定f(1)应满足的条件;

1 1 (3)解关于x的不等式 f (ax 2 ) ? f (x) ? f (a 2 x) ? f (a ), (n是一个给定的自然数 , a ? 0) n n

3、已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有 (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论; (2)解不等式:f(x+

f (a) ? f (b) >0. a?b

1 1 )<f( ); 2 x ?1

(3)若 f(x)≤m2-2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈[-1,1](p 是常数)恒成立,求实数 m 的取值范围.

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七、周期性与对称性问题(由恒等式 简单判断:同号看周期,异号看对称) ... 编号 周 期 性 对 称 性 1

f ?x ? a ? ? f ?x ? a ? →T=2 a

f ?x ? a? ? ? f ?? x ? a? →对称中心(a,0)? y ? f ? x ? a ? 是奇函数
f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? →对称轴 x ?
a?b ; 2

f ?x ? a? ? f ?? x ? a? →对称轴 x ? a ? y ? f ? x ? a ? 是偶函数;

2

f ?a ? x? ? f ?b ? x? →T= b ? a

f ?a ? x ? ? ? f ?b ? x ?→对称中心 (

a?b ,0) ; 2

3

f(x)= -f(x+a)→T=2 a

4 5

f ?a ? x ? ? ? f ?b ? x ? →T=2 b ? a
f(x)=± f(x)=1-

1 →T=2 a f ?x ?

?a ? ,0 ? ?2 ? ?a?b ? ,0 ? f ?a ? x ? ? ? f ?b ? x ?→对称中心 ? ? 2 ? ?a b? f(x)= b-f(-x+a)→对称中心 ? , ? ? 2 2?
f(x)= -f(-x+a)→对称中心 ?

6 结论:(1) 函数图象关于两条直线 x=a,x=b 对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b| (2) 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线 x=a,及点 M(b,0)对称,则函数 y=f(x)是周期函数,且 T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于 x ?

1 ? f (x) ? 0? →T=3 a f ?x ? a ?

b?a b?a 对称;y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点 ( ,0) 对称 2 2

(可以简单的认为: 一个函数的恒等式, 对应法则下的两式相加和的一半为对称轴: 两个同法则不同表达式的函数, 对应法则下的两式相减等于 0,解得的 x 为对称轴) 例 17:①已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = – f (x),则 f (6)的值为( ) A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 ②函数 f(x)对于任意的实数 x 都有 f(1+2x)=f(1-2x),则 f(2x)的图像关于 练 习 : ( 2010 重 庆 ) 已 知 函 数 f ? x ? 满 足 : f ?1? ? 对称。

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? , 则 4

f ? 2010 ? =_____________.
例 18. 已知函数 y=f(x)满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002 ,求 f ?x ? ? f ?2002 ? x ? 的值。 例 19. 奇函数 f (x)定义在 R 上,且对常数 T > 0,恒有 f (x + T ) = f (x),则在区间[0,2T]上,方程 f (x) = 0 根的个数最小值为( )C A. 3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 例 20.① f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且 f(x)在[5,9]上单调。 求 a 的值。
?1 ?1

②设 y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称, 3 且当 x [2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2) (a 为常数且 a R) (1)求 f(x); (2)是否存在 a [2,6]或 a (6,+∞),使函数 f(x)的图象的最高点位于直线 y=12 上? 若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
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练习 1、函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f ( x) 的图象关于 2、函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? ?

对称。

1 ,且 f (3) ? 1,则 f (2010 ) ? f ( x)



3、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 4 、已知函数 y ? f (2 x ?1) 是定义在 R 上的奇函数,函数 y ? g ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数,若 x1 ? x2 ? 0 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ( ) A)2 B)0 C)1 D)-2 5.设 f(x)是 R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当 0≤x≤1,时,f(x)=x,则 f(7.5)= 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)+f(x)=3,则 f-1(x)+f-1(3-x)= . 7、 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最 小值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8、 设函数 f(x)的定义域为[1,3],且函数 f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当 x 求当 x [1,2]时,f(x)的解析式. [2,3]时 f(x)= 2x,

1 2

1 2

在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________ . 八、综合问题 例 21. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。 ,

9、 (09 山东) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)

有,且当 x>0 时,0<f(x)<1。 ,

评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解题的关键性 步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 例 22.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

(1)解不等式f (3x ? x 2 ) ? 4, ; (2)解方程[f (x )]2 ?

1 f (x ? 3) ? f (2) ? 1. 2

x?y ) 例 23. 定义在(?1,1)上的函数f ( x )满足 : (1)对任意x, y ? (?1,1), 都有f ( x ) ? f ( y) ? f ( 1 ? xy
1 1 1 1 (2)当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数; (Ⅱ) f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 ) ? f ( ). 11 19 3 n ? 5n ? 5

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