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云南师范大学附属中学2016届高考数学适应性月考试题(四)文


云南师范大学附属中学 2016 届高考适应性月考(四) 数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x | x2 ? 4}, N ? {x | log2 x ? 1} ,则 M ? N ? ( A. [?2, 2] B. {2} C. (0, 2] D. ( ??, 2] ) )

2.设 i 是虚数单位,复数 A.-2 B.2

a?i 是纯虚数,则实数 a=( 2?i 1 1 C. ? D. 2 2

3.某班级有 50 名学生,现用系统抽样的方法从这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学 生随机编号为 1~50 号,并按编号顺序平均分成 10 组(1~5 号,6~10 号,?,46~50 号) , 若在第三组抽到的编号是 13,则在第七组抽到的编号是( A.23 B.33 C.43 D.53 )

4.已知向量 a, b ,其中 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 和 b 的夹角是( A.

? ?

?

?

?

? ?

?

?



? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

5.若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x ,? ? 0 ,x ? R , 又 f ( x1 且 | x1 ? x2 | ) ? 2 , f ( x2 ) ? 0 , 的最小值为 A.

1 3

3? ,则 ? 的值为( 2 2 4 B. C. D.2 3 3



? x ? y ?1 ? 6.已知变量 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 3 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值是( ? x?0 ?
A.4 B.3 C.2 D.1 )



7.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值为( A.2 B.3 C.4 D.5

-1-

8.抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到它的焦点 F 的距离为 5, O 为坐标原点, 则 ?PFO 的面积为 ( A.1 B.



3 2

C.2

D.

5 2


9. 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.20 B.24 C.16 D. 16 ?

3 10 2

10. 数列 {an } 是等差数列,若 值时,n 等于( A.17 B.16
2

a9 ? ?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取得最小正 a8

) C.15
2

D.14

10.已知圆 C: x ? y ? 2 x ?1 ? 0 ,直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,圆 C 上任意一点 P 到直线 l 的 距离小于 2 的概率为( )
-2-

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 4

?1 ? x ? 1, x ? 2 12. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,方程 f ( x) ? ax ? 0 恰有 3 个不同实根,则实数 a 的取 ? ? ln x, x ? 2
值范围是( A. ( ) B. (0, )

ln 2 1 , ) 2 e

1 2

C. (0, )

1 e

D. ( , )

1 1 e 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数,当 x ? [0, ] 时, f ( x) ? x ? 1 ,则

3 2

5 f( )? 2

.

14.已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为 3 和 6 的矩形,则该正三棱柱的体积 是 .

15. ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面积 S ? (b ? c)2 ? a 2 ,则

sin A ?
16.点 P 为双曲线

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的一点,其右焦点为 F2 ,若直线 PF2 的斜 a 2 b2
.

率为 3 ,M 为线段 PF2 的中点,且 | OF2 |?| F2 M | ,则该双曲线的离心率为

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (2 cos

?

?x

? ?x , 3) , b ? (3cos ,sin ? x) , ? ? 0 , 2 2

设函数 f ( x) ? a ? b ? 3 的部分图象如图所示,A 为图象的最低点,B,C 为图象与 x 轴的交点, 且 ?ABC 为等边三角形,其高为 2 3 . (1)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (2)若 f ( x0 ) ?

? ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

-3-

18. (本小题满分 12 分) 某校联合社团有高一学生 126 人,高二学生 105 人,高三学生 42 人,现用分层抽样的方法从 中抽取 13 人进行关于社团活动的问卷调查.设问题的选择分为“赞同”和“不赞同”两种, 且每人都做出了一种选择.下面表格中提供了被调查学生答卷情况的部分信息. (1)完成下列统计表:

(2)估计联合社团的学生中“赞同”的人数; (3)从被调查的高二学生中选取 2 人进行访谈,求选到的两名学生中恰好有一人“赞同”的 概率. 19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 ,
0

侧面 SAB ? 底面 ABCD,并且 SA ? SB ? AB ? 2 ,F 为 SD 的中点. (1)证明: SB / / 平面 FAC; (2)求三棱锥 S ? FAC 的体积.

-4-

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

ln x a ? , g ( x) ? f ( x) ? x ,若 x ? 1 是函数 g ( x) 的极值点. x ?1 2x n 恒成立,求整数 n 的最大值. x

(1)求实数 a 的值; (2)若 f ( x) ?

21. (本小题满分 12 分)如图,过椭圆 ? : 椭圆相交于

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 内一点 A(0,1) 的动直线 l 与 a 2 b2

???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | ? | AN |?| AM | ? | BN | ?若存在,求出定点 B 的坐标,若不存在,请说明理由.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】
-5-

如图,?ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E,?BAC 的平分线与 BC 相交于点 D,求证: (1) EA ? ED ; (2) DB ? DE ? DC ? BE .

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? y ? 3 ? 2 sin t ?

, (t 为参数) ,在以原点 O

为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

? ? ? cos(? ? ) ? ? 2 ,A,B 两点的极坐标分别为 A(2, ), B (2, ? ) .
4 2
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是圆 C 上任一点,求 ?PAB 面积的最小值. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (1)解不等式: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ; (2)已知 a ? 2 ,求证: ?x ? R, f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

-6-

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(四) 文科数学参考答案

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】
∴M ? N ? (0, 2] ,故选 C. 1. M ? [?2,2],N ? (0,2],

1 C

2 D

3 B

4 B

5 A

6 D

7 B

8 C

9 A

10 C

11 D

12 A

2.

a ? i (a ? i)(2 ? i) (2a ? 1) ? (a ? 2)i 1 是纯虚数,∴2a ? 1 ? 0 ,∴a ? ,故选 D. ? ? 2?i 5 5 2 50 ? 5 ,由系统抽样的特点,可得所抽编号成等差数列,由等差数列性质知 10

3.抽样间隔为

a7 ? a3 ? 4 ? 5 ? 33 ,故选 B. ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 4 . 由 题 意 知 , a ?( a? b )? a ? ? a b ?0, 所 以 a ?b ? 1 , 设 a 与 b 的 夹 角 为 ? , 则

? ? a ?b 1 π co? s ? ? ? ? , ∴? ? ,故选 B. 3 |a| ?| b | 2

-7-

π? T 3π 1 ? | x1 ? x2 | 的最小值为 ? 5.因为 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ?, ,所以 T ? 6 π ,所以 ? ? ,故选 A. 3? 4 2 3 ?
1) 时, 6.作出可行域如图 1 中阴影部分,目标函数过点 (0,

最小值为 1,故选 D.

7.由程序框图知,输出的结果为 s ? log 2 3 ? log3 4 ? …? log k (k ? 1)
? log2 (k ? 1) ,当 k ? 7 时, s ? 3 ,故选 B.

8.抛物线的焦点为 F (1,0) ,准线 l: x ? ?1 ,设点 P ( x,y ) ,则 x ? 1 ? 5 ,∴x ? 4 , y ? ?4 ,

1 ∴S△PFO ? ? 4 ? 1 ? 2 ,故选 C. 2
9.该几何体为一个正方体截去三棱台 AEF ? A1 B1 D1 ,如图 2 所示, 截面图形为等腰梯形 B1 D1 FE , EF ? 2, B1D1 ? 2 2, B1E ? 5 , 梯形的高 h ? 5 ?
1 3 2 9 1 3 2 ? , ? ,所以 S梯形B1D1FE ? ? ( 2 ? 2 2) ? 2 2 2 2 2

所以该几何体的表面积为 20,故选 A.

10.∵数列 {an } 的前 n 项和有最大值,∴数列 {an } 为递减数列,又 且 a8 ? a9 ? 0 ,又 S15 ?

a9 ? ?1 , ∴a8 ? 0,a9 ? 0 a8

15 ( a1 ? a 16( a ? a ) 1 5) ? 15 a 0, S ? 1 16 8 ? 1 6 2 2

? 8 ( 8a ? ) 0 ? ,故当 n ? 15 9a

时, Sn 取得最小正值,故选 C. 11.圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ,圆心 (1,0) ,半径 r ? 2 ,因为圆心到直线的距离是 3,所以圆上
-8-

到直线距离小于 2 的点构成的弧所对弦的弦心距是 1 ,设此弧所对圆心角为 ? ,则
cos

?
2

?

1 2

?

π 2 2 ? π π π ,所以所求概 ,所以 ? ,即 ? ? , ? 所对的弧长为 ? 2 ? 2 2 2 2 4 2

2π 1 2 率为 ? ,故选 D. 2π ? 2 4

12.当直线 y ? ax 与曲线 y ? ln x 相切时,设切点为 ( x0,ln x0 ) ,切线斜率为 k ? 程为 y ? ln x0 ?

1 ,则切线方 x0

1 1 ( x ? x0 ) ,切线过点 (0,0) ,∴? ln x0 ? ?1,x0 ? e > 2 ,此时 a ? ;当直 x0 e

ln 2) 时, a ? 线 y ? ax 过点 (2,

ln 2 ? ln 2 1 ? , ? ,故选 A. .结合图象知 a ? ? 2 ? 2 e?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
3 ?5? ?5 ? ? 1? ?1? 1 13. f ? ? ? f ? ? 3 ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? ? 1 ? . 2 ?2? ?2 ? ? 2? ? 2? 2

13

14
3 3 或3 3 2

15

16
(1,2]

3 2

8 17

14.若正三棱柱的高为 6 时,底面边长为 1,V ? 时,底面边长为 2, V ? 15.由余弦定理 cos A ?

1 3 3 3 ?1?1? ?6 ? ;若正三棱柱的高为 3 2 2 2

1 3 ? 2? 2? ?3 ? 3 3 . 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 , ∴b2 ? c2 ? a2 ? 2bc cos A , 2bc 1 ∵S ? (b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? a2 ? 2bc ? 2bc(cos A ? 1) ,又 S ? bc sin A , 2

1 1 ∴2bc(cos A ? 1) ? bc sin A ,∴cos A ? 1 ? sin A , 2 4
1 8 ?1 ? ∴sin 2 A ? ? sin A ? 1? ? 1, ∴sin A ? . 即 cos A ? sin A ? 1, 4 17 ?4 ?
2

16 . 设 左 焦 点 为 F1 , 则 | P F | 2 |O M?| 1 ?
| PF | |F 1 |? | P F 2 ≥ 1 F 2 |

c c , ∵| PF2 | ? | PF1 |? 2a , ∴| PF2 |? ? 2a , 又 2 2

c ∴c ? 2a≥2c, ∴2a≥c, ∴e ? ≤2 ,∴e ? (1,2] . a

-9-

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得

得? ?

π , 4

????????????????????????????(4 分)

? πx π ? 故 f ( x) ? 2 3 sin ? ? ? , ? 4 3?

所以函数 f ( x) 的值域为 [?2 3, 2 3] . (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?
8 3 , 5

????????????????(6 分)

π? π? 4 ? πx ? πx 由(Ⅰ)有 f ( x0 ) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ,即 sin ? 0 ? ? ? , 3? 3? 5 ? 4 ? 4 πx π ? π π? ? 10 2 ? 由 x0 ? ? ? , ? ,得 0 ? ? ? ? , ? , 4 3 ? 2 2? ? 3 3?

3 ? πx π ? ? 4? 所以 cos ? 0 ? ? ? 1 ? ? ? ? , 3? 5 ?5? ? 4
?? πx π π? π? ? πx 故 f ( x0 ? 1) ? 2 3 sin ? 0 ? ? ? ? 2 3 sin ?? 0 ? ? ? 4 4 3 4 3? ? ? ?? ? 2 3? 2 ? ? πx0 π ? π ?? ? πx sin ? ? ? ? cos ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 4 3? 3 ?? ? 4 π? 4? ?

2

? 4 3? 7 6 ? 6 ?? ? ? ? . 5 ? 5 5?

??????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 赞同 高一 高二 高三 4 3 1 不赞同 2 2 1 合计 6 5 2

- 10 -

??????????????????????????????(3 分)

4 3 1 (Ⅱ) ?126 ? ?105 ? ? 42 ? 168 (人) . 6 5 2

?????????????(6 分)

(Ⅲ)设高二学生中“赞同”的三名学生的编号为 1,2,3, “不赞同”的两名学生的编号为 4,5,
(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) ,共 10 种结 选出两人有 (1,2),

果,
(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) ,共 其中恰好有一人“赞同” ,一人“不赞同”的有 (1,4),

6 种结果满足题意,且每种结果出现的可能性相等, 所以恰好有一人“赞同”的概率为 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 3,连接 BD 交 AC 于点 E,连接 EF, ∵ABCD 是菱形,∴EB ? ED ,
∴EF∥SB ,

6 3 ? . 10 5

?????????????(12 分)

? EF ? 平面FAC, 又? ? SB ? 平面FAC,

∴ SB∥平面FAC .?????????????(6 分)

(Ⅱ)解:如图 4,取 AB 的中点 O,连接 SO,OD, 过 F 作 FG∥SO 交 OD 于点 G,
∵SO ? 平面ABCD , ∴FG ? 平面ACD ,

且 FG ?

1 3 SO ? , 2 2

S△ACD ?

1 ?2 ?2sin120? ? 3 , 2

- 11 -

∴三棱锥 S? FAC 的体积 V三棱锥S ? FAC ? V三棱锥S ? ACD ? V三棱锥F ? ACD

1 1 1 1 ? V三棱锥S ? ACD ? ? ? 3 ? 3 ? . 2 2 3 2

?????????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分)
1 ( x ? 1) ? ln x a 1 ? x ? 2? 解: (Ⅰ) g ?( x) ? f ?( x) ? , 2 ( x ? 1) 2x 2 x 2 x 1

依题意, g ?(1) ? 0 ,据此,
1 ? (1 ? 1) ? ln1 a 1 1 ? ? ? 0 ,解得 a ? 2 . (1 ? 1)2 2 ? 12 2 1

?????????????(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? 于是 n ?

ln x 1 n ln x 1 n ? ,由 f ( x) ? ,得 ? ? , x ?1 x x x ?1 x x

x ln x ? 1 对 x ? 0 恒成立, x ?1 ln x ? x ? 1 x ln x 令 h( x) ? , ? 1 ,则 h?( x ) ? ( x ? 1) 2 x ?1
记 t ( x) ? ln x ? x ? 1 ,求导得 t ?( x) ? 可知 t ( x ) 在区间 (0,? ?) 上递增,
1 1 ?1? ?1? 由 t ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? 1 ? 0,t ? ? ? ?1 ? ? 1 ? 0 , e e ?e ? ?e? ? 1 1? 可知 ?x0 ? ? 2 , ? 使得 t ( x0 ) ? 0 ,即 h?( x0 ) ? 0 , ?e e?

1 ?1 ? 0 , x

当 x ? (0,x0 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递减;
? ?) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 递增, 当 x ? ( x0,

所以 h( x) min ? h( x0 ) ?

x0 ln x0 ?1. x0 ? 1

∵t ( x0 ) ? ln x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,
- 12 -

∴ln x0 ? ? x0 ? 1 ,

∴h( x)min ?

x0 ln x0 1? ? 1 ? 1 ? 1 ? x0 ? ?1 ? , 1? 2 ? , x0 ? 1 e ? ? e

故当 n ? h( x) 恒成立时,只需 n ? (??,0] ,又 n 为整数, 所以,n 的最大值是 0. 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 b ? 2 ,点 ( 2, 1) 在椭圆上, 所以 ?????????????????????(12 分)

2 1 ? ? 1 ,解得 a ? 2 , a 2 b2

所以椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

????????????????(4 分)

???? ? ???? ???? ? ???? (Ⅱ)当直线 l 平行于 x 轴时,则存在 y 轴上的点 B,使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,设
B(0,y0 )( y0 ? 1) ;

当直线 l 垂直于 x 轴时, M (0, 2),N (0, ? 2) ,
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | | AM | 若使 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,则 ???? ? ???? , | BN | | AN |



| y0 ? 2 | | y0 ? 2 |

?

2 ?1 2 ?1

,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 .

所以,若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件,则点 B 的坐标只可能是 (0,2) . ??????????????????????????????(6 分)
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? | BM | | AM | 下面证明:对任意直线 l,都有 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | ,即 ???? ? ???? . | BN | | AN |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立; 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 .
( x2,y2 ) , 设 M,N 的坐标分别为 ( x1,y1 ),
? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kx ? 2 ? 0 , 2 ? y ? kx ? 1 ?

其判别式 ? ? (4k )2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 ,

- 13 -

4k 2 , ,x1 x2 ? ? 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 1 1 x ? x2 ? 2k . 因此, ? ? 1 x1 x2 x1 x2
所以, x1 ? x2 ? ? 易知点 N 关于 y 轴对称的点 N ? 的坐标为 (? x2,y2 ), 又 k BM ?
k BN ? ? y1 ? 2 kx1 ? 1 1 ? ?k? , x1 x1 x1

y2 ? 2 kx2 ? 1 1 1 ? ? ?k ? ?k? , ? x2 ? x2 x2 x1

所以 k BM ? k BN ? ,即 B,M,N ? 三点共线,
???? ? ???? ? ???? ? | BM | | BM | | x1 | | AM | ? ? ? ???? . 所以 ???? ? ???? | BN | | BN ? | | x2 | | AN |

???? ? ???? ???? ? ??? ? 故存在与点 A 不同的定点 B (0,2) ,使得 | BM | ?| AN |?| AM | ?| BN | .
????????????????????????????(12 分) 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)∵∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠DAE=∠DAC+∠EAC, 而∠ABD=∠EAC,∠BAD=∠DAC,∴∠ADE=∠DAE,

∴EA ? ED .

??????????????????????????(5 分)

??ABE ? ?CAE, (Ⅱ)∵? ??AEB ? ?CEA,
∴△ABE∽△CAE , ∵?ABE ? ?CAE ,

∴ ∴

AB BE AB DB ,又∵ , ? ? AC AE AC DC DB BE ,即 DB ? AE ? DC ? BE , ? DC AE

由(Ⅰ)知 EA ? ED ,
∴DB ? DE ? DC ? BE .

??????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 4:坐标系与参数方程】

? ? x ? ?5 ? 2 cos t, 解: (Ⅰ)由 ? ? ? y ? 3 ? 2 sin t, ? x ? 5 ? 2 cos t, ? 得? ? ? y ? 3 ? 2 sin t,
- 14 -

消去参数 t,得 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 , 所以圆 C 的普通方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 .
π? ? 由 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 , 4? ?



2 2 ? cos ? ? ? sin ? ? ? 2 , 2 2

即 ? cos? ? ? sin ? ? ?2 , 换成直角坐标系为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ??????????????(5 分)

? π? 0) 在直线 l 上, (Ⅱ)∵A ? 2, ?,B(2,π) 化为直角坐标为 A(0,2),B(?2, ? 2?

并且 | AB |? 2 2 , 设 P 点的坐标为 (?5 ? 2 cos t, 3 ? 2 sin t ) ,

? π? ?6 ? 2cos ? t ? ? | ?5 ? 2 cos t ? 3 ? 2 sin t ? 2 | ? 4? 则 P 点到直线 l 的距离为 d ? , ? 2 2 4 ∴dmin ? ?2 2, 2 1 所以 △PAB 面积的最小值是 S ? ?2 2 ?2 2 ? 4 . ??????????(10 分) 2 | ?5 ? 3 ? 2 | (说明:用几何法和点到直线的距离公式求 d ? ) ? 2 ? 2 2 也可参照给分. 2
24. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 5:不等式选讲】 (Ⅰ)解: f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? 4 ,即 | x ? 1| ? | x |? 4 ,

3 ①当 x≤0 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 x ? ? , 2 ∴? 3 ? x≤0 是不等式的解; 2

②当 0 ? x≤1 时,不等式为 1 ? x ? x ? 4 ,即 1 ? 4 恒成立,
∴0 ? x≤1 是不等式的解;

③当 x ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? x ? 4 ,即 x ?

5 , 2

∴1 ? x ?

5 是不等式的解. 2
????????????????(5 分)

? 3 5? 综上所述,不等式的解集为 ? ? , ? . ? 2 2?

(Ⅱ)证明:∵a ? 2 ,
- 15 -

∴f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 2 | ?a | x ? 2 | ?| ax ? 2 | ? | ax ? 2a | ?| ax ? 2 | ? | 2a ? ax | ≥ | ax ? 2 ? 2a ? ax |?| 2a ? 2 |? 2 , ∴?x ? R,f (ax) ? af ( x) ? 2 恒成立.

????????????????(10 分)

- 16 -


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