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【精品】第04讲 概率统计-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编


2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 04 讲:概率统计 1、 (2009 一试 8)某车站每天 8∶0 0 ~ 9∶0 0 , 9∶0 0 ~ 1 0∶0 0 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的 , 且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 到站时刻 8∶1 0 8∶3 0 8∶5 0 9∶1 0 9∶3 0 9∶5 0 概率 1 6 1 2 1 3 一旅客 8∶2 0 到车站,则它候车时间的数学期望为(精确到分) . 【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间(分) 概率 候车时间的数学期望为 1 0 ? 1 2 ? 30 ? 1 3 10 1 2 30 1 3 1 6 50 ? 1 6 1 2 70 ? 1 6 1 3 90 ? 1 6 ? 50 ? 1 36 ? 70 ? 1 12 ? 90 ? 1 18 ? 27 2、 (2010 一试 6)两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则 轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、 (2012一试8)某情报站有 A , B , C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上 周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概 率是.(用最简分数表示) 【答案】 61 243 【解析】用 P k 表示第 k 周用 A 种密码的概率,则第 k 周末用 A 种密码的概率为 1 ? Pk .于是,有 Pk ? 1 ? 1 3 (1 ? Pk ), k ? N ,即 Pk ? 1 ? 1 4 3 4 1 3 ? 1 4 ? ? 1 3 3 4 ( Pk ? 1 3 1 1? 3 ? ) 由 P1 ? 1 知, ? Pk ? ? 是首项为 ,公 4? 4 4 ? 比为 ? 1 3 的等 比数列.所以 Pk ? ? (? ) k ?1 ,即 Pk ? (? ) k ?1 ? 1 4 ,故 P7 ? 61 243 4、 (2014 一试 8)设 A , B , C , D 是空间四个不共面的点,以 1 2 的概率在每对点之间连一条边,任意两点之 间是否连边是相互独立的,则 A , B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间 折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 点 相 连 , 且 B 与 C , D 中 至 少 一 点 相 连 , 这 样 的 情 况 数 为 ( 2 ? 1)( ? 2 ? 1)? 9 (3 ) 无 A B 边 , 也 无 C D 边 , 此 时 A C , C B 相 连 有 2 种 情 况 , A D , D B 相 连 也 有 2 种 情 况 , 但 是 其 中 AC , C B , AD , D B均 相 连 的 情 况 被 重 复 了 一 次 , 故 A, B可 用 折 线 连 接 的 情 况 数 为 2 2 2 2 2 2 2 + 2 -1= 7 . 以 上 三 类 情 况 数 的 总 和 为 32+9+7= 48, 故 A,B可 用 折 线 连 接 的 概 率 为 48 64 = 3 4 . 5、 (2015 一试 5)在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为 ABCD-EFGH,它共有 12 条棱,从中任意选出 3 条棱的方法共有

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