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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第2章 1 离散型随机变量及其分布列]


第二章

§1

一、选择题 1.若随机变量 X 的分布列如下表所示,则表中 a=( X=xi P(X=xi) 1 A. 2 5 C. 6 [答案] B 1 1 1 1 [解析] 根据随机变量的分布列的性质可得 a=1- - - = . 2 6 6 6 1 1 2.离散型随机变量 ξ 所有可能值的集合为{-2,0,3,5},且 P(ξ=-2)= ,P(ξ=3)= , 4 2 1 P(ξ=5)= ,则 P(ξ=0)的值为( 12 A.0 1 C. 6 [答案] C [解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有 P(ξ=-2)+P(ξ=0)+P(ξ=3)+P(ξ=5) ) 1 B. 4 1 D. 8 1 1 2 2 1 6 1 B. 6 D.0 3 1 6 ) 4 a

1 1 1 1 =1,所以 +P(ξ=0)+ + =1.解得 P(ξ=0)= . 4 2 12 6 a 1 3.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(ξ=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P( 2 n?n+1? 5 <ξ< )的值为( 2 2 A. 3 4 C. 5 [答案] D [解析] 因为 P(ξ=n)= a a a a a 5 (n=1,2,3,4),所以 + + + =1,所以 a= ,因为 2 6 12 20 4 n?n+1? ) 3 B. 4 5 D. 6

1 5 5 1 5 1 5 P( <ξ< )=P(ξ=1)+P(ξ=2)= × + × = .故选 D. 2 2 4 2 4 6 6

二、填空题 4.设随机变量 ξ 的可能取值为 5,6,7,?,16 这 12 个值,且取每个值的概率均相同, 则 P(ξ>8)=________,P(6<ξ≤14)=________. [答案] [解析] 2 2 3 3 因为 P(ξ=5)+P(ξ=6)+?+P(ξ=16)=1,且 P(ξ=5)=P(ξ=6)=?=P(ξ=

1 16),所以 P(ξ=5)=P(ξ=6)=?=P(ξ=16)= ,则 P(ξ>8)=P(ξ=9)+P(ξ=10)+?+P(ξ 12 1 2 1 2 =16)= ×8= .P(6<ξ≤14)=p(ξ=7)+P(ξ=8)+?+P(ξ=14)= ×8= . 12 3 12 3 5.设随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 1 1 3 2 m 3 1 4 4 1 6

则 m=________,η=ξ-3 的分布列为________. [答案] 1 4 η P -2 1 3 -1 1 4 0 1 4 1 1 6

1 [解析] 首先由 P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1,得 m= .再由随机变量 ξ 和 η 4 =ξ-3 表示的试验结果是相同的,可以求出 η=ξ-3 对应的概率,列出分布列. 三、解答题 6.旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条线路. (1)求 3 个旅游团选择 3 个不同线路的概率; (2)求选择甲线路的旅游团数的分布列. A3 3 4 [解析] (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为 3 = . 4 8 33 27 C1 32 27 3· (2)设选择甲线路的旅游团数为 ξ,则 ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 = , 4 64 4 64 C2 3 9 C3 1 3· 3 P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3 = .所以 ξ 的分布列为 4 64 4 64 ξ=k P(ξ=k) 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

一、选择题 1.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 则 k 的值为( 1 A. 2 C.2 [答案] B nk [解析] 由分布列的性质可知 =1,∴k=1. n k 1 5 2.设离散型随机变量 X 的分布列 P(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,则 P( <X< )等于( 15 2 2 1 A. 2 1 C. 6 [答案] D 1 5 1 2 1 [解析] P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= + = . 2 2 15 15 5 3.某人练习射击,共有 5 发子弹,击中目标或子弹打完则停止射击,射击次数为 X, 则“X=5”表示的试验结果为( A.第 5 次击中目标 C.前 4 次均未击中目标 [答案] C [解析] 本题易错选为 A,其实“X=5”只能说明前 4 次均未击中目标,而第 5 次射击 有可能击中目标,也有可能子弹打完而未击中目标. 4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ 去描述 1 次试验的成功次数, P(ξ=0)等于( A.0 1 C. 3 [答案] C [解析] 设 ξ 的分布列为 ξ P 0 p 1 2p ) 1 B. 2 2 D. 3 ) B.第 5 次未击中目标 D.前 5 次均未击中目标 1 B. 9 1 D. 5 ) ) B.1 D.3 1 k n 2 k n 3 k n ? ? n k n

则“ξ=0”表示试验失败,“ξ=1”表示试验成功,设失败率为 p,则成功率为 2p. 1 ∴由 p+2p=1 得 p= .应选 C. 3 5.设 X 是一个离散型随机变量,则下列不能够成为 X 的概率分布列的一组数是( A.0,0,0,1,0 B.0.1,0.2,0.3,0.4 C.p,1-p(p 为实数) 1 1 1 1 D. , ,?, , (n∈N+) 1×2 2×3 ?n-1?· n n [答案] C [解析] 随机变量的分布列具有两个性质:①非负性;②概率之和为 1.可以根据这两个 性质解决. A、B 显然满足性质,适合. C 中,设 p=3,显然 1-p=-2<0 不满足非负性. 1 1 1 1 D 中有 + +?+ + 1×2 2×3 ?n-1?· n n 1 1 1 1 1 1 =1- + - +?+ - + =1, 2 2 3 n-1 n n 故选 C. [点评] 在处理随机变量分布列的有关问题时,应充分利用分布列的性质求解. 二、填空题 6.已知离散型随机变量 X 的概率分布列如下: X P 则 m 的值为________. [答案] 0.1 3 [解析] 由分布列的性质(2),可得 m+0.3+ m+0.45=1,解得 m=0.1. 2 [点评] 根据概率分布求参数的值(范围),是离散型随机变量的分布列的性质的重要应 用之一,主要是根据分布列的性质列出方程,通过解方程求出参数即可. c 7.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= (c 为常数),k=1,2,3,则 P(0.5<ξ<2.5)= k?k+1? ________. [答案] 8 9 0 m 1 0.3 2 3 m 2 3 0.45 )

4 3 4 [解析] 由 P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1, 得 c= , P(0.5<ξ<2.5)=1-P(ξ=3)=1- 3 3×4 8 = . 9 三、解答题 k 8.设随机变量 X 的分布列为 P(X= )=ak,(k=1,2,3,4,5). 5 (1)求常数 a 的值; 3 (2)求 P(X≥ ); 5 1 7 (3)P( <X< ). 10 10 [分析] 分布列有两条重要的性质:Pi≥0,i=1,2,?;P1+P2+?+Pn=1 利用这两

1 2 3 4 3 1 7 条性质可求 a 的值.(2)(3)由于 X 的可能取值为 、 、 、 、1.所以满足 X≥ 或 <X< 的 X 5 5 5 5 5 10 10 1 2 3 4 值,只能是在 、 、 、 、1 中选取,且它们之间在一次实验中没有联系,只要求得满足条 5 5 5 5 件各概率之和即可. 1 [解析] (1)由 a· 1+a· 2+a· 3+a· 4+a· 5=1 得 a= . 15 k 1 (2)因为分布列为 P(X= )= k(k=1、2、3、4、5) 5 15 3 3 4 3 4 5 4 解法一:P(X≥ )=P(X= )+P(X= )+P(X=1)= + + = . 5 5 5 15 15 15 5 3 1 2 1 2 4 解法二:P(X≥ )=1-[P(X= )+P(X= )]=1-[ + ]= . 5 5 5 15 15 5 (3)因为 1 7 1 2 3 1 7 1 2 <X< ,只有 X= 、 、 时满足,故 P( <X< )=P(X= )+P(X= )+P(X 10 10 5 5 5 10 10 5 5

3 1 2 3 2 = )= + + = . 5 15 15 15 5 [点评] 随机变量并不一定要取整数值.它的取值一般来源于实际问题,且有其特定的 含义,因此,可以是 R 中的任意值.但这并不意味着可以取任何值.它只能取分布列中的 值.而随机变量取某值时,其所表示的某一实验发生的概率值,必须符合性质. 9.设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 X 表示方程 x2+bx+c =0 的实根的个数(重根按一个计),求 X 的分布列. [分析] 用随机变量 X 表示方程 x2+bx+c=0 的实根的个数,易知 X 有 0,1,2 三个可能 取值,随机变量对应的随机事件可用 Δ=b2-4c 与 0 的大小表示. [解析] 由题意,X 的可能取值为 0,1,2. 随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b,c)|b,c=1,2,?,6},元素总个数为 36.

X=0 对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c<0,b,c=1,2,?,6},元素个数为 17; X=1 对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c=0,b,c=1,2,?,6},元素个数为 2; X=2 对应的结果构成的集合为{(b,c)|b2-4c>0,b,c=1,2,?,6},元素个数为 17. 17 1 17 由此可知,P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= , 36 18 36 故 X 的分布列为 X=xi P(X=xi) 0 17 36 1 1 18 2 17 36

[点评] 本题将分布列和方程相结合,解题关键是理清方程有根的条件,进而计算出试 验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数.比如方程实根个数为 1,则 Δ=0, 利用它找到骰子之间的关系. 10.(2014· 福州模拟)某学院为了调查本校学生 2014 年 9 月“健康上网”(健康上网是指 每天上网不超过两个小时)的天数情况,随机抽取了 40 名本校学生作为样本,统计他们在该 月 30 天内健康上网的天数, 并将所得的数据分成以下六组: [0,5], (5,10], (10,15], ?, (25,30], 由此画出样本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名,设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的 人数,求 Y 的分布列. [解析] (1)由图可知,健康上网天数未超过 20 天的频率为(0.01+0.02+0.03+0.09)×5 =0.15×5=0.75, 所以健康上网天数超过 20 天的学生人数是 40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2.
1 C2 29 C1 5 C2 3 30 10C30 10 P(Y=0)= 2 = ;P(Y=1)= 2 = ;P(Y=2)= 2 = . C40 52 C40 13 C40 52

所以 Y 的分布列为: Y P 0 29 52 1 5 13 2 3 52


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