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异面直线导学案1

河北蒙中高三理科数学

NO:008

使用时间:2013 年 11 月 23 日

主备人:吕大海

课题

空间点、直线、平面之间的位置关系(2) 理解两条异面直线所成角的概念

学 习 目 标 重 点 难 点

理解两条异面直线所成角的概念



学 过 程





知识回顾
异面直线所成的角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做________,已知异面直线 a,b,经 过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′所成的__________叫做异面直线 a 与 b 所成的 π 0, ?,计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条 角(或夹角),两条异面直线所成的角 θ∈? ? 2? 相交直线所成的角. 求异面直线所成角一般用平移法: ①一作:即找或作平行线,作出异面直线所成的角. ②二证:即证明作出的角是异面直线所成的角. ③三求:解三角形,求出所作的角,注意为锐角或直角.

重难突破
探究 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中点,求异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值.

变式训练 1.(2010· 全国Ⅰ)直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异 面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

探究 2 (2009· 全国Ⅰ)已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上 的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( ) 3 5 7 3 A. B. C. D. 4 4 4 4

变式迁移 2 (2011· 淮南月考)在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,BC= 3,且 AD⊥BC, 13 3 对角线 BD= ,AC= ,求 AC 和 BD 所成的角. 2 2
学然后知不足,教然后知困。 礼记

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当堂检测 1.(2011· 宁德月考)

如图所示,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点,G、H、I、J 分别为 AF、AD、 BE、DE 的中点,将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.0° 2.(2009· 全国Ⅱ)已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直 线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( ) 10 1 3 10 3 A. B. C. D. 10 5 10 5 3.(2011· 三明模拟)正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 2,底面边长为 3,E 为 SA 的中点,则异 面直线 BE 和 SC 所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

4.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF;②AB 与 CM 所成的角为 60° ;③EF 与 MN 是异面直线;④MN∥CD.则正确结论 的序号是______.

5.(2009· 四川)如图所示,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中 点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________. 6. 如图所示, 正四面体 P—ABC 中, M 为棱 AB 的中点, 则 PA 与 CM 所成角的余弦值为________.

学然后知不足,教然后知困。

礼记

河北蒙中高三理科数学

NO:008

使用时间:2013 年 11 月 23 日

主备人:吕大海

7.(12 分)如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60° ,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60° . (1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值.

8.(14 分)(2011· 舟山模拟) 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,E 为 AB 的中点. (1)求证:AC⊥平面 BDD1; (2)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值. (3)求点 B 到平面 A1EC 的距离.

学然后知不足,教然后知困。

礼记


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