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2013年高考真题——文科数学(陕西卷)精校版_Word版含答案

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

文科数学
注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. 2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的 试卷类型信息. 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交 回.

第一部分(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每 小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M, 则 CR M 为 (A) (-∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (??,1] 2. 已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于 (A) ? 2 (C) ? 2 或 2 (B) (D) 0
2

(D) [1, ??)

3. 设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是
log (A) loga b· c b ? logc a log (B) loga b· a a ? loga b

(C) loga (bc) ? loga b oga c

(D) loga (b ? c) ? loga b ? loga c
输入 x If x≤50 Then y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x-50) End If 输出 y

4. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61

5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标 准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区 间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为 二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 6. 设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (C) 0.25 (D) 0.45

(A) 若 z 2 ? 0 , 则 z 是实数 (C) 若 z 是虚数, 则 z 2 ? 0

(B) 若 z 2 ? 0 , 则 z 是虚数 (D) 若 z 是纯虚数, 则 z 2 ? 0

7. 若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 (A) -6 (B) -2 (C) 0 (D) 2 8. 已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形 9. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (C) [2x] = 2[x] (B) [x +

1 ] = [x] 2

1 (D) [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) 11. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 9

.

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 13. 观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

.

x

40m

40m … 照此规律, 第 n 个等式可为 . 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其 边长 x 为 (m). 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 设 a, b∈R, |a-b|>2, 则关于实数 x 的不等式 | x ? a | ? | x ? b |? 2 的解集

是 . B. (几何证明选做题) 如图, AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 ?A ? ?C , PD = 2DA = 2, 则 PE = .
? x ? t2 C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 ? (t 为参数)的焦点坐标 ? y ? 2t

C B D P E A

是 . 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)
1 b 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· . 2 (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

17. (本小题满分 12 分) 设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ?
1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比数列. 1? q

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,

AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

D A O B C

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年 龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: C D E 组别 A B 人数 5 0 10 0 15 0 15 0 5 0

(Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. A B C D E 组别 人数 抽取人数 5 0 10 0 6 15 0 15 0 5 0

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的

评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 20. (本小题满分 13 分) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?
(Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? 答案: 1.【答案】B 2. 【答案】C3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】D 6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】B9. 【答案】A10. 【答案】D 11. 【答案】

5 12. 【答案】 3? 13. 【答案】 4

(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2n ?1? 3 ? 5?? (2n ?1)
14. 【答案】20 15. A 【答案】R B 【答案】 6. C 【答案】 (1, 0)
b 16【解】 f ( x) ? a· = cos x ? 3 sin x ?

1 3 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) 。 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ? (Ⅱ)

?
6

), 最小正周期为 ? 。

? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, x ? ) ? [- , ],由标准函数 y ? sin x在[- , ]上的图像知, (2 . 2 6 6 6 6 6
f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . 2 ? 2?
17【解】(Ⅰ) 设公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d

?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? 2 S n ? (a1 ? a n ) ? (a 2 ? a n ?1 ) ? ? ? (a n ?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? ?S n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ? a1

? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ?

n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

(Ⅱ) a1 ? 1 q ? 0,由题知q ? 1。 ,

?n ? N *,S n ?
?1 a n ? ? n ?1 ?q

1? qn 1 ? q n?1 1 ? q n q n ? q n?1 ? an?1 ? S n?1 ? S n ? ? ? ? qn 1? q 1? q 1? q 1? q
? a n ? q n ?1,n ? N * .

n ?1 n?2

所以, 数列 an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列。 {

18【解】 (Ⅰ) 设 B1 D1线段的中点为 1 . O

? BD和B1 D1是ABCD ? A1 B1C1 D1的对应棱? BD // B1 D1 .

同理, AO和A1O1是棱柱ABCD? A1 B1C1 D1的对应线段 ?
? AO // A1O1且AO // OC ? A1O1 // OC且A1O1 ? OC ? 四边形A1OCO1为平行四边形 ? A1O // O1C.且A1O ? BD ? O, O1C ? B1 D1 ? O1 ? 面A1 BD // 面CD1 B1 .(证毕)
(Ⅱ) ? A1O ? 面ABCD? A1O是三棱柱 1 B1 D1 ? ABD的高 . A 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在RT?A1OA中,A1O ? 1.

三棱柱 A1 B1 D1 ? ABD 的体积 V A1B1D1 ? ABD ? S ?ABD ? A1O ?
所以, 三棱柱A1 B1 D1 ? ABD 的体积VA1B1D1 ?ABD ? 1 .

1 ? ( 2 ) 2 ?1 ? 1 . 2

19【解】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽取 6 人,从 100 人中抽取 9 人。 (Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的

概率为

2 · 3

B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概率为

2 · 6
现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率

P?

2 2 2 ? ? . 3 6 9
2 . 9

所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为 20.【解】 (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则

| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ?1 4 3

所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为

(Ⅱ) P(0, 3), 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题知: 1 ? 0 ? x2,y1 ? 3 ? y2 2x 2 椭圆 的上下顶点坐标分别是0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m ( 斜率 k 存在。 设直线m方程为: y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ?

? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? ? ? ? ?k ?? 2 x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率 k ? ?

3 2

21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1. 当 m ? (0, 点; (Ⅲ)
f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) > 2 b?a

e2 e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ( , ?) 2 个公共 ? ,有 1 个公共点; m ? 当 有 4 4 4

(Ⅱ) (Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x ,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k= g' (1) .

1 ? k ? g' (1) ? 1 .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 x 1 2 (Ⅱ) 证明曲线 y=f(x)与曲线 y ? x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下。 2 g' (x) ?

令h( x) ? f ( x) ?

1 2 1 x ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2

h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, ' ' (0) ? 0 ,h
因此,

当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减 当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增 ; ? y ? h' ( x) ? h' (0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一 个零点x ? 0
所以,曲线 y=f(x)与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2

(Ⅲ) 设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x 。

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( , ?)上单调递增, 0?
且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 而g (0) ? 0, ,

所以在(0,??)上g ( x) ? 0 。

?当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a


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