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2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数的图象及性质_图文

2.1.2 第一课时 指数函数及其性质 指数函数的图象及性质 实例一 ...... 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,…,一个细胞分裂x次,得到的细胞的 x y ? 2 (x ? N ) . 个数y与x的函数关系式是: 实例二 《庄子· 逍遥游》记载:一尺之椎,日取其 半,万世不竭.意思是一尺长的木棒,一天截取一 半,很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x 1 x y? ( ) 次,剩余长度y与x的关系是 2 . 截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次 1 x * y ? ( ) (x ? N ) 2 木棰 剩余 1 尺 2 1 尺 4 1 尺 8 1 尺 16 1 x ( ) 尺 2 探究点一、指数函数的概念 形如y=2x, y 1 x ? ( ) 的函数是指数函数.那么,指 2 数函数是怎样定义的呢? 一般地,函数____ y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函 数,其中x是自变量,函数的定义域是__. R 思考一:在指数函数y=ax中,为什么要规定a>0,且 a≠1呢? x ? 当 x > 0 时, a 恒等于0 ? 提示:若a=0,? , x 0时,a 无意义 ? ?当x< 若a<0,比如y=(-4)x,这时对于x= 1 (n∈N*)在 2n 实数范围内函数值无意义. 若a=1,y=1x=1是一个常量,因此对它就没有研究的必 要,为了避免上述各种情况,所以规定 a>0且a≠1. 思考二:要确定函数y=ax(a>0,且a≠1)的解析式, 关键需要确定哪个量? 提示:要确定函数y=ax(a>0,且a≠1)的解析式, 关键需要确定底数a的值. 例一、下列函数中是指数函数的函数序号是 (2) x ( 2 ) y ? 3 ; () 1 y?x; (3)y ? ?4x; . 2 (4) y ? ? ?3? ; x (5) y ? x x 2 x ?1 . 自变量仅有 这一种形式 y ? 1? a 系数为1 底数为正数且不为1 注意三点: (1)底数:大于0且不等于1的常数; (2)指数:自变量x; (3)幂系数为1. 例二、已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象 经过点(3,π ),求f(0),f(1),f(-3)的值. 解:指数函数的图象经过点(3,π),有f(3)=π, 即 a3=π 于是 f ? x ? ? ? 解得 a ? ? x 3 1 3 所以 f (0) ? ? ? 1, f (1) ? ? ? ? , f (?3) ? ? 0 3 1 3 ?1 ? 1 ? 探究点二、指数函数的图象 1.如何来研究指数函数的性质呢? 用描点法作出下列两组函数的图象, 然后写出其一些性质: () 1y?2 x -2 x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y=2x 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4 y y?2 x 1 0 1 x x 1 x y? ( ) 2 -2 4 -1.5 2.83 -1 2 y -0.5 1.41 0 1 0.5 0.71 1 0.5 1.5 0.35 2 0.25 ?1? y?? ? ?2? x 1 0 1 x 1 x (2) y ? 3 与 y ? ( ) 的图象. 3 x 图象 列表: x y=3x … -3 -2 -1 0 1 1 1 3 0.33 2 9 0.11 3 27 0.037 … … … … 0.037 27 0.11 9 0.33 3 y=3 -x … y ?1? y?? ? ?3? x y ?3 x 关于y轴对称 1 0 1 x y ?1? y?? ? ?2? ?1? y?? ? 3? ? x x y ?3 x y?2 x 关于y轴对称 1 0 1 x y y y y ?1? y?? ? ?2? x ?1? y?? ? ?3? x y ? 3x y ? 2x y=ax (0<a<1) y=ax (a>1) 1 1 1 0 1 1 1 x 0 0 0 x x x (1)图象可向左、右两方无限伸展 图象共同特征: (2)图象都在x轴上方 (3)都经过坐标为(0,1)的点 y y ? ax (a ? 1) y ? a x (0 ? a ? 1) y 1 0 x 1 0 x 图象自左至右逐渐上升 图象自左至右逐渐下降 探究点三、指数函数的性质 0<a<1 y ? ax y a>1 y y ? ax ( a ? 1) 图象 1 0 x 1 0 x 定义 域 值域 R (0,+∞) (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 性质 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 【提升总结】 指数函数图象和性质的巧记 (1)指数函数图象的巧记方法:一定二近三单调, 两类单调正相反. (2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单调, 性质不同因为a,分清是(0,1),还是(1,+∞),依 靠图象记性质. 例三、比较下列各题中两个值的大小 ?1?1.7 ,1.7 ; ? 2 ? 0.8 0.3 3.1 3 1.7 , 0.9 . ? ? 2.5 3 ?0.1 , 0.8 ?0.2 ; 根据指数 函数的性 质 解:(1)根据函数y=1.7x的性质,1.72.5<1.73。 (2)根据函数y=0.8x的性质,0.8-0.1<0.8-0.2。 (3)根据函数y=1.7x的性质,1.70.3>1.70=1, 根据函数y=0.9x的性质,0.93.1<0.90=1, 所以1.70.3>0.93.1 【变式练习】 用“>”或“<”

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