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高中数学 3.1.1《两角差的余弦公式》导学案 新人教A版必修4


3.1.1《两角差的余弦公式》
【学习目标】 通过公式的简单应用,使学生初步理解公 式的结构及其功能,并为建立其他和差公 式打 好基础。 【重点难点】 重点:两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点:探索过程的组织和引导。 【学法指导】 之前学习了三角函数的性质,以及平面向量的运算和应用,在此基础上,要考虑如何利用任意 角 ?,? 的正弦余弦值来表示 cos(? ? ? ) ,牢固的掌握这个公式,并会灵活运用公式进行下一节内 容的学习。预习《两角差的余弦公式》 ,体会两角差的余弦公式的推导过程 ,尤其是向量法的运用。 【知识 链接】 阅读课本相关内容,经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,进一步体会向量方法作用,并 回答以下问题: 1、如何用任意角 ?,? 的正弦余弦值来 表示 cos(? ? ? ) ;

2、如何求出 cos15 的值;

0

1、 会求 sin 75 的值吗?

0

提出疑惑 疑惑点 疑惑内容

【学习过程】 探究一: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45
0 0 0 0

0

, cos30

0

, cos15

0

(2) cos(45 ? 30 ) ? cos 45 ? cos30 是否成立?

探究二:两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法: 问:①怎样作出角 ? 、 ? 、 ? ? ? 的终边。
1

②怎样作出角 ? ? ? 的余 弦线 OM ③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。

2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。

例题整理 例1. 利用差角余弦公式求 cos15 的值
0

变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) cos(2? ? ? ) ? cos ?

例2.已知sinα=

4 π 5 ,α ? ( ,π),cosβ= ,β第三象限角,求cos(? ? ?)的值 5 2 13

变式训练:已知 sin ? ?

15 ? ,? 是第二象限角,求 cos (? ? )的值 。 17 3

2

【学习反思】 本节主要考察如何用任意角 ?,? 的正弦余弦值来表示 cos(? ? ? ) , 回顾公式

C (? ? ?)

的推导过

程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角 ? , ? 的任意性,特别要注意公 式既可正用、逆 用, 还可变用(即要活用).在求值的过程中, 还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解 决问题. 【基础达标】 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 75 ,cos105
0 0

2.求值

cos 750 cos300 ? sin 750 sin 300

3.化 简 cos(?

? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

1 5 4.已知?,? 为锐角, cos ? ? , sin (? ? ?) ? 3 ,求cos? 7 14

【拓展提升】 一、选择题 1. cos50 cos 20 ? sin 50 sin 20 的值为
0 0 0 0





A.

1 2

B.
0

1 3

C.

3 2


D.

3 3

2. cos(?15 ) 的值为



A.

2? 6 B. 4

6? 2 C. 4

6? 2 6? 2 D ? . 4 4

3

3.已知 cos ? ?

12 ? ? ?? , ? ? ? 0, ? ,则 cos(? ? ) 的值等于( 13 4 ? 2?



A.

5 2 13

B.

17 2 C. 26

7 2 26

D.

7 2 13

二、填空题 4.化简 cos(? ? 30 ) cos ? ? sin(? ? 30 )sin ? =
0 0

5.若 a ? cos 60 ,sin 60
0

?

?

0

? , b ? (cos15 ,sin15 ) ,则 a ? b =
0 0

?

? ?

三、解答题、 6.已知 sin ? ? ?

2 ? 3? ,? ? ? ? , 3 2 ?

3 ? ? ?? ? cos ? ? , ? ? ? 0, ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 4 ? ? 2?

4


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