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北京市海淀区2017届高三数学一模试卷文科 含解析 精品

2017 年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|x2>4},则集合 A∩B 等于( A.{x|2<x<3} B.{x|x>1} C.{x|1<x<2} D.{x|x>2} ) )

2.圆心为(0,1)且与直线 y=2 相切的圆的方程为( A. (x﹣1)2+y2=1 B. (x+1)2+y2=1

C.x2+(y﹣1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 )

3.执行如图所示的程序框图,输出的 x 的值为(

A.4

B.3

C.2

D.1 )

4.若实数 a,b 满足 a>0,b>0,则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为(



A.

B.

C.

D.3 ,则( )

6.在△ABC 上,点 D 满足

A.点 D 不在直线 BC 上 B.点 D 在 BC 的延长线上 C.点 D 在线段 BC 上 7.若函数 D.点 D 在 CB 的延长线上 的值域为[﹣1,1],则实数 a 的取值范围是( C. (0,1] D. (﹣1,0) )

A.[1,+∞) B. (﹣∞,﹣1]

8.如图,在公路 MN 两侧分别有 A1,A2,…,A7 七个工厂,各工厂与公路 MN(图 中粗线)之间有小公路连接.现在需要在公路 MN 上设置一个车站,选择站址的 标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是( ①车站的位置设在 C 点好于 B 点; ②车站的位置设在 B 点与 C 点之间公路上任何一点效果一样; ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关. )

A.① B.② C.①③

D.②③

二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上) 9.已知复数 z=a(1+i)﹣2 为纯虚数,则实数 a= 10.已知等比数列{an}中,a2a4=a5,a4=8,则公比 q= . ,其前 4 项和 S4= .

11.若抛物线 y2=2px 的准线经过双曲线

的左焦点,则实数 p=



12.若 x,y 满足

则 的最大值是



13.已知函数 f(x)=sinωx(ω>0) ,若函数 y=f(x+a) (a>0)的部分图象如图所 示,则 ω= ,a 的最小值是 .

14.阅读下列材料,回答后面问题: 在 2014 年 12 月 30 日 CCTV13 播出的“新闻直播间”节目中,主持人说:“…加入此 次亚航失联航班 QZ8501 被证实失事的话,2014 年航空事故死亡人数将达到 1320 人.尽管如此,航空安全专家还是提醒:飞机仍是相对安全的交通工具.①世界 卫生组织去年公布的数据显示,每年大约有 124 万人死于车祸,而即使在航空事 故死亡人数最多的一年, 也就是 1972 年, 其死亡数字也仅为 3346 人; ②截至 2014 年 9 月,每百万架次中有 2.1 次(指飞机失事) ,乘坐汽车的百万人中其死亡人数 在 100 人左右.” 对上述航空专家给出的①、②两段表述(划线部分) ,你认为不能够支持“飞机仍是 相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ,你的理由是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 .) 15.已知等差数列{an}满足 a1+a2=6,a2+a3=10. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an+an+1}的前 n 项和. 16. b 两种“共享单车” 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有 a, (以下简称 a 型车,b 型车) .某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单车的使用 情况.

3 人租到 b 型车. (Ⅰ) 某日该学习小组进行一次市场体验, 其中 4 人租到 a 型车, 如 果从组内随机抽取 2 人,求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 a 型 车的概率; (Ⅱ)根据已公布的 2016 年该地区全年市场调查报告,小组同学发现 3 月,4 月 的用户租车情况城现如表使用规律.例如,第 3 个月租 a 型车的用户中,在第 4 个月有 60%的用户仍租 a 型车. 租用 a 型车 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 60% 40% 50% 50% 租用 b 型车

若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同.已知 2017 年 3 月该地区 租用 a,b 两种车型的用户比例为 1:1,根据表格提供的信息,估计 2017 年 4 月 该地区租用两种车型的用户比例. 17.在△ABC 中,A=2B. (Ⅰ)求证:a=2bcosB; (Ⅱ)若 b=2,c=4,求 B 的值. 18.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,E, F 分别是 PB,PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 FAC; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣EAD 的体积; (Ⅲ)求证:平面 EAD⊥平面 FAC.

19.已知椭圆 C: 离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,且|AB|=4,

(Ⅱ)设点 Q(4,0) ,若点 P 在直线 x=4 上,直线 BP 与椭圆交于另一点 M.判 断是否存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形?若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在, 说明理由. 20.已知函数 f(x)=ex﹣x2+ax,曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线与 x 轴 平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 g(x)=ex﹣2x﹣1,求函数 g(x)的最小值; (Ⅲ)求证:存在 c<0,当 x>c 时,f(x)>0.

2017 年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|x2>4},则集合 A∩B 等于( A.{x|2<x<3} B.{x|x>1} 【考点】交集及其运算. 【分析】解不等式求出集合 B,根据交集的定义写出 A∩B. 【解答】解:集合 A={x|1<x<3}, 集合 B={x|x2>4}={x|x<﹣2 或 x>2}, 则集合 A∩B={x|2<x<3}. 故选:A. C.{x|1<x<2} D.{x|x>2} )

2.圆心为(0,1)且与直线 y=2 相切的圆的方程为( A. (x﹣1)2+y2=1 B. (x+1)2+y2=1



C.x2+(y﹣1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】根据题意设圆方程为 x2+(y﹣1)2=r2,由圆心到直线的距离得到半径 r, 代入即可得到所求圆的方程 【解答】解:设圆方程为 x2+(y﹣1)2=r2,∵直线 y=2 与圆相切,∴圆心到直线 的距离等于半径 r,∴r=1 故圆的方程为:x2+(y﹣1)2=1,故选:C

3.执行如图所示的程序框图,输出的 x 的值为(



A.4

B.3

C.2

D.1

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 x 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 x=0,y=5 不满足条件 不满足条件 满足条件 故选:C. = = = ,执行循环体,x=1,y=4 ,执行循环体,x=2,y=2 ,退出循环,输出 x 的值为 2.

4.若实数 a,b 满足 a>0,b>0,则“a>b”是“a+lna>b+lnb”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】据 a,b 的范围结合函数的单调性确定充分条件,还是必要条件即可. 【解答】解:设 f(x)=x+lnx,显然 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵a>b,

∴f(a)>f(b) , ∴a+lna>b+lnb, 故充分性成立, ∵a+lna>b+lnb”, ∴f(a)>f(b) , ∴a>b, 故必要性成立, 故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要条件, 故选:C

5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为(



A.

B.

C.

D.3

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】将该几何体放入在长方体中,且长、宽、高为 2、1、1,该三棱锥中最长 棱为长方体的一条对角线,即可得出结论. 【解答】解:将该几何体放入在长方体中,且长、宽、高为 2、1、1, 该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线,长度为 故选 B. = ,

6.在△ABC 上,点 D 满足

,则(



A.点 D 不在直线 BC 上 B.点 D 在 BC 的延长线上 C.点 D 在线段 BC 上 D.点 D 在 CB 的延长线上

【考点】向量的三角形法则. 【分析】据条件,容易得出 ,可作出图形,并作 ,并连接 AD′,

这样便可说明点 D 和点 D′重合,从而得出点 D 在 CB 的延长线上. 【解答】解: = = 如图, ;



,连接 AD′,则:

= ∴D′和 D 重合; ∴点 D 在 CB 的延长线上. 故选 D.



7.若函数

的值域为[﹣1,1],则实数 a 的取值范围是( C. (0,1] D. (﹣1,0)



A.[1,+∞) B. (﹣∞,﹣1] 【考点】分段函数的应用.

【分析】根据函数 f(x)的解析式,讨论 x≤a 和 x>a 时,f(x)∈[﹣1,1],即 可求出 a 的取值范围. 【解答】解:函数 的值域为[﹣1,1],

当 x≤a 时,f(x)=cosx∈[﹣1,1],满足题意; 当 x>a 时,f(x)= ∈[﹣1,1], 应满足 0< ≤1,解得 x≥1; ∴a 的取值范围是[1,+∞) . 故选:A.

8.如图,在公路 MN 两侧分别有 A1,A2,…,A7 七个工厂,各工厂与公路 MN(图 中粗线)之间有小公路连接.现在需要在公路 MN 上设置一个车站,选择站址的 标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是( ①车站的位置设在 C 点好于 B 点; ②车站的位置设在 B 点与 C 点之间公路上任何一点效果一样; ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关. )

A.① B.② C.①③

D.②③

【考点】进行简单的合情推理. 【分析】根据最优化问题,即可判断出正确答案. 【解答】解:因为 A、D、E 点各有一个工厂相连,B,C,各有两个工厂相连,把 工厂看作“人”. 可简化为“A,B,C,D,E 处分别站着 1,2,2,1,1 个人(如图) ,求一点,使所 有人走到这一点的距离和最小”.把人尽量靠拢,显然把人聚到 B、C 最合适,靠 拢完的结果变成了 B=4,C=3,最好是移动 3 个人而不要移动 4 个人. 所以车站设在 C 点,且与各段小公路的长度无关 故选 C.

二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上) 9.已知复数 z=a(1+i)﹣2 为纯虚数,则实数 a= 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用纯虚数的定义即可得出. 【解答】解:复数 z=a(1+i)﹣2=a﹣2+ai 为纯虚数, ∴a﹣2=0,a≠0, 则实数 a=2 故答案为:2. 2 .

10. a2a4=a5, a4=8, 已知等比数列{an}中, 则公比 q=

2

, 其前 4 项和 S4=

15 .

【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【分析】设等比数列{an}的公比为 q,由 a2a4=a5,a4=8,可得 解得 a2,q,利用求和公式即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q,∵a2a4=a5,a4=8, ∴ q2=a2q3, =8,解得 a2=q=2. q2=a2q3, =8,

∴a1=1. 其前 4 项和 S4= 故答案为:2,15. =15.

11.若抛物线 y2=2px 的准线经过双曲线 【考点】抛物线的简单性质.

的左焦点,则实数 p=

4 .

【分析】求出抛物线的准线 x=﹣ 经过双曲线的右焦点(﹣2,0) ,即可求出 p. 【解答】解:因为抛物线 y2=2px 的准线经过双曲线 所以抛物线的准线为 x=﹣ , 依题意,直线 x=﹣ 经过双曲线的右焦点(﹣2,0) , 的左焦点,∴p>0,

所以 p=4 故答案为:4.

12.若 x,y 满足 【考点】简单线性规划.

则 的最大值是



【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目 标函数的最大值. 【解答】解:满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示: 则 的几何意义表示平面区域内的点 与点(0,0)的斜率的最大值,由 解得 A(1, ) 显然过 A 时,斜率最大,最大值是 , 故答案为: .

13.已知函数 f(x)=sinωx(ω>0) ,若函数 y=f(x+a) (a>0)的部分图象如图所 示,则 ω= 2 ,a 的最小值是 .

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期,从而由周期公式 求 ω,然后由图象过的已知点求出 a. 【解答】解:由已知函数图象得到 又 y=f(x+a) )=sinω(x+a)且( 所以 sin2( +a)=1,所以 π,所以 T=π,所以 ,1)在图象上, ,k∈Z, =2,

+2a=2kπ ;

所以 k 取 0 时 a 的最小值为 故答案为:2; .

14.阅读下列材料,回答后面问题: 在 2014 年 12 月 30 日 CCTV13 播出的“新闻直播间”节目中,主持人说:“…加入此 次亚航失联航班 QZ8501 被证实失事的话,2014 年航空事故死亡人数将达到 1320 人.尽管如此,航空安全专家还是提醒:飞机仍是相对安全的交通工具.①世界 卫生组织去年公布的数据显示,每年大约有 124 万人死于车祸,而即使在航空事 故死亡人数最多的一年, 也就是 1972 年, 其死亡数字也仅为 3346 人; ②截至 2014 年 9 月,每百万架次中有 2.1 次(指飞机失事) ,乘坐汽车的百万人中其死亡人数 在 100 人左右.” 对上述航空专家给出的①、②两段表述(划线部分) ,你认为不能够支持“飞机仍是 相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ① ,你的理由是 数据①虽是同类数

据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系; 数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关;但是可以做 如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x,这样每百万人乘机死亡人数 2.1 人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数 【考点】收集数据的方法. .

【分析】根据题意,利用数据的收集,分类,归纳,分析可得结论 【解答】解:选①,理由为:数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞 机出行的总人数的关系; 数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关;但是可以 做如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x,这样每百万人乘机死亡人 数 2.1 人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数. 故答案为:①;数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人 数的关系; 数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关;但是可以 做如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x,这样每百万人乘机死亡人 数 2.1 人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 .) 15.已知等差数列{an}满足 a1+a2=6,a2+a3=10. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an+an+1}的前 n 项和. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I)利用等差数列的通项公式即可得出. (II)利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d, 因为 a1+a2=6,a2+a3=10,所以 a3﹣a1=4, 所以 2d=4,d=2. 又 a1+a1+d=6,所以 a1=2, 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n. (Ⅱ)记 bn=an+an+1,所以 bn=2n+2(n+1)=4n+2, 又 bn+1﹣bn=4(n+1)+2﹣4n﹣2=4, 所以{bn}是首项为 6,公差为 4 的等差数列, 其前 n 项和 .

16. b 两种“共享单车” 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有 a, (以下简称 a 型车,b 型车) .某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单车的使用 情况. 3 人租到 b 型车. (Ⅰ) 某日该学习小组进行一次市场体验, 其中 4 人租到 a 型车, 如 果从组内随机抽取 2 人,求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 a 型 车的概率; (Ⅱ)根据已公布的 2016 年该地区全年市场调查报告,小组同学发现 3 月,4 月 的用户租车情况城现如表使用规律.例如,第 3 个月租 a 型车的用户中,在第 4 个月有 60%的用户仍租 a 型车. 租用 a 型车 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 60% 40% 50% 50% 租用 b 型车

若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同.已知 2017 年 3 月该地区 租用 a,b 两种车型的用户比例为 1:1,根据表格提供的信息,估计 2017 年 4 月 该地区租用两种车型的用户比例. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (Ⅰ)依题意租到 a 型车的 4 人为 A1,A2,A3,A4;租到 b 型车的 3 人为 B1,B2,B3;设事件 A 为“7 人中抽到 2 人,至少有一人租到 a 型车”,则事件 为“7 人中抽到 2 人都租到 b 型车”.利用列举法能求出抽取的 2 人中至少有一人在市场 体验过程中租到 a 型车的概率. (Ⅱ)依题意,市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%,租用 b 型车的比例为 50%40%+50%50%=45%,由此能同市场 4 月租用 a,b 型车的用户比 例. 【解答】解: (Ⅰ)依题意租到 a 型车的 4 人为 A1,A2,A3,A4;租到 b 型车的 3 人为 B1,B2,B3; 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人,至少有一人租到 a 型车”,

则事件 为“7 人中抽到 2 人都租到 b 型车”. 如下列表格所示:

从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况,事件 发生共有 3 种情况, 所以事件 A 概率 .

(Ⅱ)依题意,市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%, 租用 b 型车的比例为 50%40%+50%50%=45%, 所以市场 4 月租用 a,b 型车的用户比例为 .

17.在△ABC 中,A=2B. (Ⅰ)求证:a=2bcosB; (Ⅱ)若 b=2,c=4,求 B 的值. 【考点】余弦定理的应用. 【分析】 (Ⅰ)由正弦定理 ,得 ,即可证明:a=2bcosB;

(Ⅱ)若 b=2,c=4,利用余弦定理,即可求 B 的值. 【解答】 (Ⅰ)证明:因为 A=2B, 所以由正弦定理 得 ,得 ,所以 a=2bcosB. ,

(Ⅱ)解:由余弦定理,a2=b2+c2﹣2bccosA, 因为 b=2,c=4,A=2B, 所以 16cos2B=4+16﹣16cos2B, 所以 ,

因为 A+B=2B+B<π,所以 所以 ,所以 .



18.在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,E, F 分别是 PB,PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 FAC; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣EAD 的体积; (Ⅲ)求证:平面 EAD⊥平面 FAC.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)连接 BD,与 AC 交于点 O,连接 OF,推导出 OF∥PB,由此能证明 PB∥平面 FAC. (Ⅱ)由 PA ⊥平面 ABCD ,知 PA 为棱锥 P ﹣ ABD 的高.由 S △ PAE=S △ ABE ,知 ,由此能求出结果. (Ⅲ)推导出 AD⊥PB,AE⊥PB,从而 PB⊥平面 EAD,进而 OF⊥平面 EAD,由此 能证明平面 EAD⊥平面 FAC. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 BD,与 AC 交于点 O,连接 OF, 在△PBD 中,O,F 分别是 BD,PD 的中点, 所以 OF∥PB, 又因为 OF? 平面 FAC,PB?平面 FAC, 所以 PB∥平面 FAC. 解: (Ⅱ)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA 为棱锥 P﹣ABD 的高. 因为 PA=AB=2,底面 ABCD 是正方形,

所以

=



因为 E 为 PB 中点,所以 S△PAE=S△ABE, 所以 .

证明: (Ⅲ)因为 AD⊥平面 PAB,PB? 平面 PAB, 所以 AD⊥PB, 在等腰直角△PAB 中,AE⊥PB, 又 AE∩AD=A,AE? 平面 EAD,AD? 平面 EAD, 所以 PB⊥平面 EAD, 又 OF∥PB, 所以 OF⊥平面 EAD, 又 OF? 平面 FAC, 所以平面 EAD⊥平面 FAC.

19.已知椭圆 C: 离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,且|AB|=4,

(Ⅱ)设点 Q(4,0) ,若点 P 在直线 x=4 上,直线 BP 与椭圆交于另一点 M.判 断是否存在点 P, 使得四边形 APQM 为梯形?若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在, 说明理由. 【考点】直线与椭圆的位置关系.

【分析】 (Ⅰ)由|AB|=4,得 a=2.又

,b2=a2﹣c2,联立解出即可得出.

(Ⅱ)假设存在点 P,使得四边形 APQM 为梯形.由题意知,显然 AM,PQ 不平 行,可得 AP∥MQ, 作 MH⊥AB 于 H,可得 , .设点 M(x1,y1) ,P(4,t) ,过点 M ,解得 x1,代入椭圆方程,即可得出.

【解答】解: (Ⅰ)由|AB|=4,得 a=2. 又因为 ,所以 c=1,所以 b2=a2﹣c2=3, .

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)假设存在点 P,使得四边形 APQM 为梯形. 由题意知,显然 AM,PQ 不平行,所以 AP∥MQ, 所以 ,所以 .

设点 M(x1,y1) ,P(4,t) , 过点 M 作 MH⊥AB 于 H,则有 所以|BH|=1,所以 H(1,0) ,所以 x1=1, 代入椭圆方程,求得 所以 P(4,±3) . , ,

20.已知函数 f(x)=ex﹣x2+ax,曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线与 x 轴 平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 g(x)=ex﹣2x﹣1,求函数 g(x)的最小值; (Ⅲ)求证:存在 c<0,当 x>c 时,f(x)>0. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)求得 f(x)的导数,可得切线的斜率,由条件可得 a 的方程,解方 程可得 a 的值; (Ⅱ)求出 g(x)的导数,可得单调区间和极值,且为最值; (Ⅲ)显然 g(x)=f'(x) ,且 g(0)=0,运用零点存在定理可得 g(x)的零点范

围,可设 g(x)=f'(x)存在两个零点,分别为 0,x0.讨论 x<0 时,0<x<x0 时, x>x0 时,g(x)的符号,可得 f(x)的极值,进而得到 f(x)在(﹣∞,0)上单 调递增,即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)=ex﹣x2+ax 的导数为: f′(x)=ex﹣2x+a, 由已知可得 f′(0)=0,所以 1+a=0,得 a=﹣1. (Ⅱ)g'(x)=ex﹣2,令 g'(x)=0,得 x=ln2, 所以 x,g'(x) ,g(x)的变化情况如表所示: x g'(x) g(x) (﹣∞,ln2) ﹣ 递减 ln2 0 极小值 (ln2,+∞) + 递增

所以 g(x)的极小值,且为最小值为 g(ln2)=eln2﹣2ln2﹣1=1﹣2ln2. (Ⅲ)证明:显然 g(x)=f'(x) ,且 g(0)=0, 由(Ⅱ)知,g(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增. 又 g(ln2)<0,g(2)=e2﹣5>0, 由零点存在性定理,存在唯一实数 x0∈(ln2,2) ,满足 g(x0)=0, 即 , ,

综上,g(x)=f'(x)存在两个零点,分别为 0,x0. 所以 x<0 时,g(x)>0,即 f'(x)>0,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增; 0<x<x0 时,g(x)<0,即 f'(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减; x>x0 时,g(x)>0,即 f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增, 所 以 f ( 0 ) 是 极 大 值 , f ( x0 ) 是 极 小 值 , , 因为 g(1)=e﹣3<0, 所以 ,所以 f(x0)>0, ,

因此 x≥0 时,f(x)>0. 因为 f(0)=1 且 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,

所以一定存在 c<0 满足 f(c)>0, 所以存在 c<0,当 x>c 时,f(x)>0.

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