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2019高考数学二轮复习第二编专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质配套作业文

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第 1 讲 三角函数的图象与性质

配套作业

一、选择题

1.已知 α 为锐角,且 sinα =45,则 cos(π +α )=(

)

A.-35

B.35

C.-45

D.45

答案 A 解析 因为 α 为锐角,且 sinα =45,所以 cosα =35.所以 cos(α +π )=-cosα =- 3 5.

2.函数 f(x)=tan???2x-π3 ???的单调递增区间是(

)

A.???kπ2 -π12,k2π +51π2 ???(k∈Z)

B.???kπ2 -π12,k2π +51π2 ???(k∈Z)

C.???kπ -1π2,kπ +51π2 ???(k∈Z)

D.???kπ -π6 ,kπ +51π2 ???(k∈Z)

答案 B

解析 当 kπ -π2 <2x-π3 <kπ +π2 (k∈Z)时,函数 y=tan???2x-π3 ???单调递增,解得k2π

-π12<x<k2π +51π2 (k∈Z),所以函数 y=tan???2x-π3 ???的单调递增区间是???k2π -π12,k2π +51π2 ???

(k∈Z),故选 B.

3.(2018·河南信阳月考)已知函数 f(x)=sin???2x+32π ???(x∈R),下面结论错误的是

()

A.函数 f(x)的最小正周期为 π

B.函数 f(x)是偶函数

1

C.函数 f(x)的图象关于直线 x=π4 对称

D.函数 f(x)在区间 ???0,π2 ???上是增函数
答案 C

解析 f(x)=sin???2x+32π ???=-cos2x,故其最小正周期为 π ,故 A 正确;易知函数 f(x) 是偶函数,B 正确;由函数 f(x)=-cos2x 的图象可知,函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x

=kπ2 (k∈Z) , C 错误;由函数 f(x)的图象易知,函数 f(x)在???0,π2 ???上是增函数,D 正确,

故选 C.

4.(2018·河北冀州中 学月考)若函数 f(x)=2sinω x(ω >0)的图象在(0,2π )上恰有一

个极大值和一个极小值,则 ω 的取值范围是( )

A.???34,1???

B.???1,54???

C.???34,45???

D.???34,54???

答案 D

解析 因为函数 f(x)=2sinω x(ω >0)的图象在(0,2π )上恰有一个极大值和一个极小

值,所以

??34×2ωπ <2π , ???54×2ωπ ≥2π ,

ω ∈???34,54???,故选 D.

5.(2018·山东临沂模拟)函数 f(x)=x+coxsx的图象为(

)

答案 A

解析 函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故排除 D;因为 f(-x)=(-x)+

-x -x

=-???x+coxsx???=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数,故排除 B;又 f???π2 ???=π2 +

cosπ2 π

=π2

>0,故排除

C,故选

A.

2

6.将函数 f(x)=sin2x+ 3cos2 x 的图象上的所有点向右平移π6 个单位长度,得到函

2

数 g(x)的图象,则 g(x)图象的一个对称中心是( )

A.???π3 ,0???

B.???π4 ,0???

C.???-π12,0???
答案 D

D.???π2 ,0???

解析 将函数 f(x)=sin2x+ 3cos2x=2sin???2x+π3 ??? 图象上所有的点向右平移π6 个 单位长度,得到函数 g(x)=2sin2x 的图象.函数 g(x)图象的对称中心横坐标满足 2x=kπ (k ∈Z),即 x=k2π (k∈Z).结合选项知应选 D.

7.如图,函数 f(x)=Asin(2x+φ )???A>0,|φ |<π2 ???的图象过点(0, 3),则 f(x)的函
数解析式为( )

A.f(x)=2sin???2x-π3 ???

B.f(x)=2sin???2x+π3 ???

C.f(x)=2sin???2x+π6 ???

D.f(x)=2sin???2x-π6 ???
答案 B

解析 由题意知,A=2,函数 f(x)的图象过点(0, 3),所以 f(0)=2sinφ = 3,由

|φ |<π2 ,得 φ =π3 ,所以 f(x)=2sin???2x+π3 ???.故选 B.

8.为了得到函数 y=sin???2x-π6 ???的图象,可以将函数 y=cos2x 的图象(

)

A.向右平移π6 个单位长度

B.向右平移π3 个单位长度

C.向左平移π6 个单位长度

D.向左平移π3 个单位长度

3

答案 B
解 析 ∵ y = sin ???2x-π6 ??? = cos ???π2 -???2x-π6 ?????? = cos ???23π -2x??? = cos ???2x-23π ??? = cos???2???x-π3 ??????,∴将函数 y=cos2x 的图象向右平移π3 个单位长度,故选 B.
9.(2018·河南洛阳统考)已知 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若

f(x)≤???f???π6 ??????对一切 x∈R 恒成立,且 f???π2 ???>0,则 f(x)的单调递增区间是( )

A.???kπ -π3 ,kπ +π6 ???(k∈Z)

B.???kπ +π6 ,kπ +23π ???(k∈Z)

C.???kπ ,kπ +π2 ???(k∈Z)

D.???kπ -π2 ,kπ ???(k∈Z)

答案 B

解析

f(x) = asin2x + bcos2x =

a2+b2 sin(2x +

φ ),其中

tanφ

b =a.∵

f(x)≤???f???π6 ??????,∴x=π6 是函数 f(x)图象的一条对称轴,即π3 +φ =π2 +kπ (k∈Z). 又∵f???π2 ???>0,∴φ 的取值可以是-56π , ∴f(x)= a2+b2sin???2x-56π ???.由 2kπ -π2 ≤2x-56π ≤2kπ +π2 (k∈Z),得 kπ +π6
≤x≤kπ +2π3 (k∈Z),故选 B. 10.如果存在正整数 ω 和实数 φ 使得函数 f(x)=sin2(ω x+φ )的图象如图所示(图象
经过点(1,0)),那么 ω 的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

答案 B

解析 因为 f(x)=sin2(ω x+φ )=12-12 cos2(ω x+φ ),所以函数 f(x)的最小正周期

T=22ωπ =ωπ ,由题图知T2<1,且34T>1,即43<T<2,又 ω 为正 整数,所以 ω 的值为 2,故选

4

B.

11.将函数 f(x)=2sin???2x+π6 ???的图象向左平移π12个单位长度,再向上平移 1 个单位

长度,得到 g(x)的图象,若 g(x1)·g(x2)=9,且 x1,x2∈[-2π ,2π ],则 2x1-x2 的最大

值为( )

A.256π

B.4912π

C .356π

D.174π

答案 B

解析 由题意可得,g(x)=2sin???2x+π3 ???+1,所以 g(x)max=3,又 g(x1)·g(x2)=9,

所以 g(x1)=g(x2)=3,由 g(x)=2sin???2x+π3 ???+1=3,得 2 x+π3 =π2 +2kπ (k∈Z),即 x

=π12+kπ (k∈Z),因为 x1,x2∈[-2π ,2π ],所以(2x1-x2)max=2×???1π2+π ???-???1π2-2π ???
=491π2 ,故选 B.

二、填空题

12.已知 tanθ =2,则 1+cos2θ =________.

6 答案 5

解析

1+cos2θ

=ssiinn22θθ

+2cos2θ +cos2θ

=ttaann22θθ

+2 6 +1=5.

13.(2018·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=cos???3x+π6 ???在[0,π ]的零点个数为______.
答案 3 解析 ∵0≤x≤π ,∴π6 ≤3x+π6 ≤196π .

由题可知,当 3x+π6 =π2 ,3x+π6 =32π ,或 3x+π6 =52π 时,f(x)=0.

解得 x=π9 ,49π ,或79π .

故函数 f(x)=cos???3x+π6 ???在[0,π ]上有 3 个零点. 14.(2018·山西康杰中学联考)若函数 f(x)=sin(ω x+φ )???ω >0且|φ |<π2 ???在区间 ???π6 ,23π ???上是单调递减函数,且函数值从 1 减小到-1,则 f???π4 ???=________.

3 答案 2

5

解析 由题意可得,函数的周期为 2×???2π3 -π6 ???=π ,即2ωπ =π ,∴ω =2,∴f(x) =sin(2x+φ ).由 sin???2×π6 +φ ???=1,|φ |<π2 可得 φ =π6 ,∴f(x)=sin???2x+π6 ???,∴ f???π4 ???=sin???π2 +π6 ???=cosπ6 = 23.
15.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )???A>0,ω >0,|φ |<π2 ???的部分图象如图所示,将函 数 y=f(x)的图象向左平移43π 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)在区 间???π2 ,5π2 ???上的最大值为________.

32 答案 2 解析 由题图可知函数 y=f(x)的周期为 4π , ∴ω =12.
又∵点???π3 ,0???,???0,-23???在函数 y=f(x)的图象上,

??Asin???π6 +φ ???=0,

???Asinφ =-32,

且|φ |<π2 ,∴φ =-π6 ,A=3,

则 f(x)=3sin???x2-π6 ???. ∴g(x)=3sin???12???x+4π3 ???-π6 ???=3cosx2. 由 x∈???π2 ,5π2 ???,可得x2∈???π4 ,54π ???, 则 3cosx2∈???-3,3 2 2???,即 g(x)的最大值为3 2 2.

6


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