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(人教版)高中数学选修2-2课件:章末高效整合1_图文

数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 知能整合提升 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 一、导数的概念和几何意义 1.导数定义的等价形式 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数可以有不同的等价表示形式, 如 f′(x0) = l i m → Δx 0 f?x0+Δx?-f?x0? = l i m → Δx x x0 f?x?-f?x0? =l i m → h 0 x-x0 f?x0+h?-f?x0? f?x0?-f?x0-h? =l i m 等,其关键是保证自变量的 h h h→0 改变量和函数值的改变量的一致性. 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 [说明 ] (1) 函数y = f(x)在点x0 处的导数 f′(x0)是一个常数, 而函数y=f(x)在一个区间上的导数指的是这个函数在这个区间 上每点处的导数构成的一个函数,它实际上是“导函数”的简 称; (2) 函数 y = f(x) 和它的导数 y′=f′(x) 具有相同的定义域,并 且y′=f′(x)在定义域上点x0处的函数值就是函数y=f(x)在点x0处 的导数值,这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函 数的导数,再求这个导数在点x0处的函数值; (3)并不是所有的函数在其定义域上每一点处都有导数,如 函数y=|x|在点0处就没有导数,但这个函数在定义域的其他点 处都有导数. 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 2.导数的几何意义 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f(x) 在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0). 利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点是 不是切点,常见的类型有两种,一是求“在某点处的切线方 程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即 可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不 一定是切点,可先设切点为 Q(x1 , y1) ,则切线方程为 y - y1 = f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 y0-y1=f′(x1)(x0-x1). 又y1=f(x1), ① ② 由①②求出x1,y1的值, 即求出了过点P(x0,y0)的切线方程. 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 二、导数的运算 1.导数的四则运算法则 导数的四则运算法则主要指和、差、积、商的导数计算法 则,即和的导数:(u+v)′=u′+v′,差的导数:(u-v)′= ?u? u′-v′,积的导数:(uv)′=u′v+uv′,商的导数:?v?′ ? ? u′v-v′u = (v≠0). v2 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 2.常用函数的导数 除掌握好导数的四则运算法则外还需要牢记一些常用函数 的导数,以提高解题效率.常见的有以下 8 个:(1)c′=0(c 为 常数), (2)(xn)′=nxn-1(n∈Q*), (3)(sin x)′=cos x, (4)(cos x)′ 1 1 =-sin x,(5)(ln x)′=x ,(6)(logax)′=xln a,(7)(ex)′=ex, (8)(ax)′=axln a. 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 3.复合函数的求导法则 设复合函数μ=g(x)在点x处可导,y=f(μ)在点μ处可导,则 复 合 函 数 f[g(x)] 在 点 x 处 可 导 , 且 f′(x) = f′(μ)·g′(x) , 即 yx′ = yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变 量. [ 说明 ] 求导数时,先化简再求导是导数计算的基本原 则.一般情况下,有四类函数求导数在解题时较容易出错,需 要特别注意,即分式函数、对数函数、三角函数和复合函数. 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 三、导数的应用 1.导数与函数的单调性 (1) 在某个区间 (a , b) 内,如果 f′(x)>0 ,那么函数 y = f(x) 在 这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数y =f(x)在这个区 间内单调递减. [说明] f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函 数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0, ∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 (2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一, 其步骤为: ①求导数f′(x); ②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; ③确定并指出函数的单调增区间、减区间. 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔 开,绝对不能用“∪”连接. 数学 选修2-2 第一章 导数及其应用 知能整合提升 热点考点例析 章末质量评估 2.导数与函数的极值和最值 函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性,而不是 函数在整个定义域内的性质;函数的最值是个整体性概念,最 大值必是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必是整个 区间上的所有函数值中的最小值. (1)应用导数求函数极值的一般步骤: ①确定函数f(x)的定义域; ②解方程f′(x)=0的根; ③检验f′(x)=0的根

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