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3、振动习题课


P.41. 4. 一质点在X轴上作简谐振动, 选取该质点向 右运动通过A点时作为计时起点(t=0), 经过2秒后质 点第一次经过B点, 再经过2秒后质点第二次经过B 点, 若已知该质点在A、B两点具有相同的速率, 且 AB=10cm, 求 (1) 质点的振动方程 解(1) A、B两点速率相同 (2) 质点在A点处的速率. 则两点在平衡位置对 称处,取两点的中点 DA BC O . . . . . 为原点O,则有: ? x v0 x A ? ?5cm, xB ? 5cm 设C、D为振幅位置,质点从A到B需2秒,则从

O到B需1秒。而它从 O ? B ? C ? B ? O需4 s

正好是半个周期,即

T / 2 ? 4 s ?T ? 8 s 2? ? ? x ? A cos( t ? ? ) ? A cos( t ? ? )
T 4
5 x0 ? A cos ? ? x A ? ?5 , cos ? ? ? A

从A→B需时间2s

则x B ? A cos(

?

则t = 0在A点,t =2s在B点

5 sin ? ? ? A 50 2 2 由 sin ? ? cos ? ? 2 ? 1 A

2

? ? ) ? ? A sin ? ? 5

A2 ? 50

? A ? 50 ? 5 2 ( cm )
5 5 2 而 sin? ? ? ? ? ?? A 2 5 2

5 5 2 cos? ? ? ? ? ?? A 2 5 2 5 3 ? 5 ? ? ? ? 或? ?, x ? 5 2 cos( t ? ? ) 4 4 4 4
(2) t ? 0

v ? ??A sin( ? t ? ? ) 5 ? 2 v A ? v0 ? ??A sin ? ? ? ? 5 2 ? ( ? )
? 3.93m ? s ?1
4 4 2

代入

P.41. 5. 劲度为K1的轻弹簧与劲度为K2的弹簧如图 连接, 在K2 的下端挂一质量为m的物体, (1) 证明当 m在竖直方向发生微小位移后, 系统作简谐振动。 (2) 将m从静止位置向上移动a, 然后释放任其运动 写出振动方程(取物体开始运动为计时起点, X轴向 下为正方向) (1) 证明:
k1 l1 平衡时有 2 k1 l1 ? k 2 l 2 ? mg k1 l1 k2l2 mg mg 得 l ? l2 ? k2 1 等效 2k1 k2 k2l2 等效弹簧伸长量 m 2k1 ? k 2 l ? l1 ? l 2 ? mg mg 2k1 k 2

k1

k1

k
kl

m
mg
x

2k1 ? k 2 l ? l1 ? l 2 ? mg 2k1 k 2
平衡时等效弹簧 kl ? mg 得

k1
k1 l1 k2l2

k1
k1 l1

2k1 k 2 mg k? ? l 2k1 ? k 2

k
kl

取静平衡位置为坐标原点向下 k 2 l 2
为x轴正向,则物在x处时受合力

k2

等效

m
mg

m
mg
x

F ? mg ? k (l ? x ) ? ? kx
即 F ? ? kx 可见物体所受合力为线性回复力

所以系统做简谐振动

(2) 解:

设振动表达式为 x ? Acos(? t ? ? )
??? k ? m 2k1 k 2 m ( 2k1 ? k 2 )

2k1 k 2 ?k? 2k1 ? k 2

t = 0 时, x0 = ? a, v0 = 0

A?

2 x0 ?

?

2 v0 2

? x0 ? a

由 x0 = ? a = acos? 得 cos? = ?1, 即 ? = ?

? ? 2k1k2 ? 振动表达式为 x ? a cos? ?t ??? ? m( 2k1 ? k2 ) ?

P.42.4. 一质点同时参与了三个简谐振动, 它们的振动

方程分别为x1=Acos(?t+?/3),x2=Acos(?t+5?/3),
x3 =A COS(?t+?),其合成运动的运动方程为x = 0。
? A1
? A3
5? 3

解:作旋转矢量图
? A? x

?
?

3

已知A1=A2=A3=A
? ? 且 A? ? A1 ? A2 ? A ? ? ? ? ? A合 ? ( A1 ? A2 ) ? A3 ? A? ? A3 ? 0

? A2

∵ A合=0

∴ x=0

P.42.5. 已知两谐振动的位置时间及速度时间曲线 如图所示, 求它们的振动方程.
x(cm)

2 1
?

?? ?

4 3

x0 = –1

-1 -2

1

t(s)
t=0

x

(a)

?

x0 1 ?? (a) 解: t = 0时,cos? ? A 2 ∵ t 稍大于零时,x增大,且? 逆时针方向

?? ?

4 3

?? ? ? ?

4 3

3 2

x0 = –1

x
A=2 t=0

?

t = 1s

4 ∴ ?? ? 3 ∵ t = 1s时,x第一次为零 4 3 此时的相位 ?t ? ? ? ? 3 2 ? 3? 4? ? ∴?? ?t ? ? ? 6 2 3 6

10 0

v(cm/s) . 1 . 2 (b) . 3 . 4

4 ∴ x ? 2 cos( t ? ? ) cm 6 3 (b) 解: 设 x ? A cos(? t ? ? )
t 由图知vm ? ?A ? 10cm ? s ?1 (?/10)s t ? 0时 v0 ? ??A sin ? ? 10

?

则 v ? ??A sin(? t ? ? )

-10

v(cm/s)
10

T
. 1 . 2 . 3 . 4

10 10 sin ? ? ? ?? ? ?1 ?A vm
3 ∴? ? ? 2

0
-10

t (?/10)s

由图知
2? T ? 4? ? ( s) 10 5

?

(b)

2? ?? ? 5( s ?1 ) T

10 A? ? ? 2( cm ) ? 5

vm

3 ? x ? 2 cos(5t ? ? )cm 2

例1、手持一块平板,平板上放一质量为0.50kg的砝码, 现使平板在竖直方向振动,设此振动为简谐振动,频 率为2Hz,振幅为0.04m,问: (1)位移最大时砝码对平板的正压力多大? (2)以多大振幅振动时,会使砝码脱离平板? (3)如果振动频率加倍,则砝码随板保持一起振动的 振幅上限为何? 解: m受力分析如图,取x轴向上 x N 砝码的振动表达式为
O? a

。 m
mg

x

x ? A cos(? t ? ? ) 牛顿运动方程 N ? mg ? ma ? N ? m( g ? a ) ? m( g ? ? 2 x ) ? m( g ? 4? 2? 2 x )

x N O? x mg

砝码对平板的正压力

N ? ? ? N ? ? m( g ? 4? 2? 2 x )
(1)位移正向最大,x =A

a

。 m

N ? ? ? m( g ? 4? 2? 2 A) ? ?1.74 N
位移负向最大,x = ?A

? ? ? m( g ? 4? 2? 2 A) ? ?8.06 N N
2 2

(2) 砝码脱离平板条件,N= 0,即 m( g ? 4? ? x ) ? 0

g 处可脱离平板 可见,砝码在 x ? 2 2 4? ? g A ? 2 2 ? 6.2 ? 10?2 m 要使砝码达到此x处,则需 4? ?

(3) 若 ? ? ? 2?,则 Amax

g g ? 2 2? ? 1.55 ? 10?2 m 4? ? ? 16? 2? 2

例2、接上题,如手持这块平板沿水平方向振动,频 率为2Hz,振幅为0.02m,砝码并不打滑,问: (1)此时砝码与平板之间的静摩擦力多大? (2)设砝码与平板之间的静摩擦系数为0.6,问在砝码 不致于滑动时振幅可加大到多大? (3)如果振动频率增为十倍,则振幅多大时砝码就要 滑动? N 解: m受力分析如图,取x轴向右 a (1) f ? ma ? ? m? 2 x ? ?4? 2 m? 2 x 。 m

? ?4? m? x ? ?79x
2 2

mg
O
?

x

?

x

fmax ? 79 A ? 1.58( N )

(2)砝码受到的静摩擦力 不打滑条件 f ? fm

fm ? ? N ? ? mg
即 4? m?
2 2

?g ?g ? A? 得 x ? ? 3.7 ? 10?2 ( m ) 2 2 4? ? 4? 2? 2
(3) f ? ? ma? ? ? m? ? x ? ?4? m? ? x
2 2 2

x ? ? mg

? ?4? m(10? ) x ? 100 ? (?4? m? x )
2 2 2 2

滑动条件: f ? ? fm

即 100 ? 4? 2 m? 2 x ? ? mg

1 ?g A ?4 ? A? ? 得 x ? ? 3.7 ? 10 (m ) 2 2 100 4? ? 100

例3、质量m=10g的子弹,以u=1000m·-1的速度射入 s 置于光滑平面上的木块并嵌入木块中,致使弹簧压 缩而作谐振动。若木块质量M=4.99kg,弹簧的劲度 系数为k=8×103N· -1,求振动的振幅。以平衡位置 m 为原点,位移以向右为正,写出振动表达式。
m

? u

M

? ? O

k

子弹与木块碰撞动量 解: 守恒
x

mu=(m+M)V0

m 10 ? 10?3 ?1 u? ? 1000 ? 2( m ? s ) 得 V0 ? ?3 m?M 10 ? 10 ? 4.99

x0 ? 0, V0 ? 2m ? s ?1 , ? ?

k 8 ? 103 ? ? 40( s ?1 ) m?M 5

A?

4 x ? 2 ? 0? ? 0.05( m ) ? 1600
2 0

V02

设 x ? A cos(?t ? ? ), 由 x0 ? A cos? ? 0 得 cos? ? 0

由 V0 ? ??A sin?>0, 得 sin?<0
? ???

?
2

x ? 0.05 cos(40t ?

?
2

)( m )


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