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【创新设计-课堂讲义】2019学年高中数学(苏教版必修5)配套课件:第三章 不等式 3.4.1_图文

第3章 § 3.4基本不等式 (a≥0,b≥0) 学习 目标 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 结论. 证明 重要不等式及证明 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”),请证明此 ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0, ∴a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”. 答案 知识点二 1.内容: 基本不等式 a+b ab≤ 2 ,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2.证明: ∵a+b-2 ab=( a)2+( b)2-2 a· b =( a- b)2≥0. ∴a+b≥2 ab. a +b ∴ ab≤ 2 ,当且仅当 a=b 时,等号成立. 3.两种理解: (1)算术平均数与几何平均数: a +b 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为 2 ,几何平均数为 ab ; 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数. 答案 (2)几何意义: 如图所示,以长度为a+b的线段AB为直径作圆,在直径AB上取一点C, 使AC=a,CB=b,过点C作垂直于直径AB的弦DD′,连接AD,DB, 易证Rt△ACD ∽ Rt△DCB,则CD2=CA· CB,即CD= ab . a+b 这个圆的半径为 2 ,显然它大于或等于 CD, a +b 即 2 ≥ ab,当且仅当点 C 与圆心 O 重合, 即 a=b 时,等号成立. 知识点三 基本不等式的常用推论 2 2 ?a+b?2 a + b ? ? 2 (a,b∈R); (1)ab≤ ? 2 ? ≤ b a (2)a+b≥ 2 (a,b 同号); b a b a -2 2 (3)当 ab>0 时,a+b≥ ;当 ab<0 时,a+b≤ ; (4)a2+b2+c2≥ ab+bc+ca (a,b,c∈R). 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 利用基本不等式比较大小 例1 设0<a<b,则下列不等式中正确的是________. a+b ①a<b< ab< 2 ; a+b ③a< ab<b< 2 ; a+b ②a< ab< 2 <b; a+b ④ ab<a< 2 <b. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 ④ 若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是_____. ②a+b≥2 ab; b a ④a+b≥2. ①a2+b2>2ab; 1 1 2 ③a+b> ; ab 解析 对于①,应该为a2+b2≥2ab,漏等号,故①错误; 对于②,当 a<0,b<0 时,ab>0,但 a+b<2 ab,故②不成立; 对于③,当a<0,b<0时,ab>0,故③不成立; b a b a ba 对于④,∵ab>0,则a>0 且b>0,∴a+b≥2 a· b=2, b a 当且仅当a=b,即 a=b 时,取“=”.故④正确. 解析答案 题型二 用基本不等式证明不等式 例2 证明 1 1 1 已知 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,证明:a+b+c ≥9. 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c = a + b + c b a c a c b =3+(a+b)+(a+c )+(b+c) ≥3+2+2+2=9. 1 当且仅当 a=b=c=3时,等号成立. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知a,b,c为正数,且a+b+c=1, 证明:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 证明 (1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b) ≥2 bc· 2 ac· 2 ab=8abc. 1 当且仅当 b=c=a=3时,等号成立. 解析答案 返回 当堂检测 1.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个 a +b 是________. 解析 ∵0<a<1,0<b<1,a≠b,∴a+b>2 ab,a2+b2>2ab. ∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择. 而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1). 又∵0<a<1,0<b<1, ∴a(a-1)<0,b(b-1)<0, ∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b, ∴a+b最大. 解析答案 4 2 2.设a、b是实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是________. 解析 ∵a+b=3, ∴2a+2b≥2 2a· 2b=2 2a+b=2 8=4 2. 解析答案 a=2 3.不等式a2+4≥4a中,等号成立的条件为________. 解析 令a2+4=4a, 则a2-4a+4=0, ∴a=2. 解析答案 a +b 1 4.若 a>b>1,P= lg a· lg b,Q=2(lg a+lg b),R=lg 2 ,则它们的 R>Q>P 大小关系是__________. 解析 ∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴Q>P, a+b 1 1 又 Q=2(lg a+lg b)=2lg ab=lg ab<lg 2 =R, ∴R>Q>P. 解析答案 课堂小结 a+b 1.两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式, 2 2 对于“当且仅当…时,取‘=’”这句话的含义要有正确的理解. a+b 一方面:当 a=b 时, 2 = ab; a+b 另一方面:当 2 = ab时,也有 a=b. 2.由基本不等式变形得到的常见的结论 ?a+b?2 a2+b2 ?≤ (1)ab≤? (a,b∈R); 2 ? 2 ? a+b (2) ab≤ 2 ≤ a2+b2 + ( a , b ∈ R ); 2

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