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【学案导学 备课精选】2015年高中数学 第三章章末检测(B)(含解析)北师大版选修1-2


【学案导学 备课精选】2015 年高中数学 第三章章末检测(B)同步 练习(含解析)北师大版选修 1-2
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列推理过程是类比推理的是( )

1 A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为 2 B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 C.通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性 D.由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 2.下列有关三段论推理“自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数”的说法正确的 是( ) A.推理正确 C.大前提错误 B.推理形式不正确 D.小前提错误
2 2 2

3.勾股定理:在直角边长为 a、b,斜边长为 c 的直角三角形中,有 a +b =c .类比勾股 定理可得,在长、宽、高分别为 p、q、r,体对角线长为 d 的长方体中,有( A.p+q+r=d B.p +q +r =d C.p +q +r =d
2 2 2 3 3 3 2 2 2 2

)

3

D.p +q +r +pq+pr+qr=d

2

1 3 1 1 5 1 1 1 7 4.观察式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?,则可归纳出一般式子为( 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 1 A.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n 2n-1 1 1 1 2n+1 B.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n-1 C.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n D.1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n 2n+1 5.若 a,b,c 均为实数,则下面四个结论均是正确的:

)

①ab=ba;②(ab)c=a(bc);③若 ab=bc,b≠0,则 a-c=0;④若 ab=0,则 a=0 或

b=0.
对向量 a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论:
-1-

①a·b=b·a; ②(a·b)c=a(b·c); ③若 a·b=b·c,b≠0,则 a=c; ④若 a·b=0,则 a=0 或 b=0. 其中结论正确的有( A.0 个 ) C.2 个 D.3 个 )

B.1 个

6.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=

an- 3 * (n∈N ),则 a2 010 等于( 3an+1
D. 3 2

A.0

B.- 3

C. 3

7.由“正三角形的内切圆切于三边的中点” ,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个 侧面( )

A.各正三角形内任一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 8.已知 1+2×3+3×3 +4×3 +?+n×3 ( ) 1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 C.a=0,b=c= 4 1 B.a=b=c= 4 D.不存在这样的 a,b,c )
2 3

n-1

=3 (na-b)+c 对一切 n∈N 都成立,那么

n

*

9.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( ①2 006 能被 2 整除; ②一切偶数都能被 2 整除; ③2 006 是偶数. A.①②③ C.②③① 10.有以下结论: B.②①③ D.③②①

①已知 p +q =2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2; ②已知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x +ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1,用反证 法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1. 下列说法中正确的是( A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确
-22

3

3

)

C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 11.定义 A*B、B*C、C*D、D*B 分别对应下列图形,

那么下面的图形中,可以表示 A*D,A*C 的分别是(

)

A.(1),(2) C.(2),(4)
3

B.(2),(3) D.(1),(4)

12.已知 f(x)=x +x,a,b,c∈R,且 a+b>0,a+c>0,b+c>0,则 f(a)+f(b)+f(c) 的值( ) B.一定等于零 D.正负都有可能

A.一定大于零 C.一定小于零

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) → 1 → → 13.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,则AD= (AB+AC).将上述命题类比到四面体中去, 2 得到一个类比命题:________________________________. 14.对于“求证函数 f(x)=-x 在 R 上是减函数” ,用“三段论”可表示为:大前提是“对 于定义域为 D 的函数 f(x),若对任意 x1,x2∈D 且 x2-x1>0,有 f(x2)-f(x1)<0,则函数 f(x) 在 D 上是减函数” ,小前提是“__________________________”,结论是“f(x)=-x 在 R 上 是减函数” . 15. 在古希腊,毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,?这些数叫做三角形 数,这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示),则三角形数的一般表达式 f(n)= __________.
3 3

16.下面的四个不等式: ①a +b +c ≥ab+bc+ca; 1 a b ②a(1-a)≤ ;③ + ≥2; 4 b a
2 2 2

-3-

④(a +b )·(c +d )≥(ac+bd) . 其中不成立的有________个.

2

2

2

2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)设 f(x)=x +ax+b, 1 求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
2

?1 ? ? 1? ? 1? 18.(12 分)已知函数 f(x)=lg? -1?,x∈?0, ?.若 x1,x2∈?0, ?且 x1≠x2,求证: ?x ? ? 2? ? 2?
1 ?x1+x2? >f? ?. 2 ? 2 ?

19.(12 分)已知 a>0,b>0,a+b=1, 求证:

a+ +

1 2

b+ ≤2.

1 2

-4-

20.(12 分) 如图所示,△ABC 是正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2a,

CD=a,F 是 BE 的中点.

(1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求证:AF⊥BD.

-5-

21.(12 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a≠0)中的 a,b,c 均为整数,且 f(0),f(1) 均为奇数,求证:方程 f(x)=0 无整数根.

2

-6-

22.(12 分)观察下表: 1, 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15, ? 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2 008 是第几行的第几个数?

第三章

推理与证明(B) 答案

1.B 2.A 3.B
-7-

4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9.C 10.D 11.C 12.A 13.在四面体 A—BCD 中,G 为△BCD 的重心, → 1 → → → 则AG= (AB+AC+AD) 3 14. 对于任意 x1, x2∈R 且 x2-x1>0, 有 f(x2)-f(x1)=-x2+x1=-(x2-x1)(x2+x1x2+x1)
3 3 2 2

x1?2 3 2? ?? =-(x2-x1)·??x2+ ? + x1?<0 2? 4 ? ??
15.

n(n+1)
2

1×2 2×3 3×4 解析 当 n=1 时,1= ;当 n=2 时,3= ;当 n=3 时,6= ;当 n=4 时, 2 2 2 4×5 n(n+1) 10= ;?,猜想:f(n)= . 2 2 16.1 解析 由 a +b +c -(ab+bc+ca) = 1 2
2 2 2

1 = ≥0, 2 故①正确. 1 1 ? 1?2 2 由 -a(1-a)= -a+a =?a- ? ≥0, 4 4 ? 2? 故②正确. (a +b )·(c +d )-(ac+bd)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=a c +a d +b c +b d -a c -2acbd-b d
2 2 2 2 2

2 2

=a d +b c -2abcd=(ad-bc) ≥0,故④正确. ∵ + ≥2 或 + ≤-2,∴③不正确.

a b b a

a b b a

-8-

1 1 1 17.证明 假设|f(1)|< ,|f(2)|< ,|f(3)|< , 2 2 2 1 1 于是有- <1+a+b< ① 2 2 1 1 - <4+2a+b< ② 2 2 1 1 - <9+3a+b< ③ 2 2 ①+③,得-1<10+4a+2b<1, 所以-3<8+4a+2b<-1, 3 1 所以- <4+2a+b<- . 2 2 1 1 由②知- <4+2a+b< ,矛盾, 2 2 1 所以假设不成立,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 18.证明 要证原不等式成立,只需证明

? 1 -1?? 1 -1?>? 2 -1?2, ?x1 ??x2 ? ?x1+x2 ? ? ?? ? ? ?
1 事实上,∵0<x1,x2< ,x1≠x2, 2

? 1 ?? 1 ? ? ∴? -1?? -1?-? ?x1
1

??x2

2 -1? ?2 ? ?x1+x2 ? 4 4 2+ (x1+x2) x1+x2



x1x2 x1 x2
2

1 1 - - -

(x1-x2) (1-x1-x2) = >0. x1x2(x1+x2)2

? 1 ?? 1 ? ? 2 -1?2, ∴? -1?? -1?>? ? ?x1 ??x2 ? ?x1+x2 ? ?? 1 ?? 1 ?? ? 即有 lg?? -1?? -1??>lg? ??x1 ??x2 ??
1 ?x1+x2? 故 >f? ?. 2 ? 2 ? 1 19.证明 ∵1=a+b≥2 ab,∴ab≤ . 4 1 1 ∴ (a+b)+ab+ ≤1. 2 4 ∴ 2 -1? ?2, ?x1+x2 ?

?a+1??b+1?≤1. ? 2?? 2? ? ?? ?
-9-

从而有 2+2

?a+1??b+1?≤4. ? 2?? 2? ? ?? ? ?a+1??b+1?≤4. ? 2?? 2? ? ?? ?

? 1? ? 1? 即?a+ ?+?b+ ?+2 ? 2? ? 2?
∴? ∴

? ?

a+ + a+ +
1 2

1 2

b+ ? ≤4. b+ ≤2.
1 2

1? 2 2?

20.证明 (1)取 AB 的中点 G,连接 FG,CG, 1 可得 FG∥AE,FG= AE, 2 又 CD⊥平面 ABC,AE⊥平面 ABC,

1 ∴CD∥AE,CD= AE, 2 ∴FG∥CD,FG=CD. 又∵FG⊥平面 ABC, ∴四边形 CDFG 是矩形,DF∥CG,CG? 平面 ABC,

DF?平面 ABC,∴DF∥平面 ABC.
(2)Rt△ABE 中,AE=2a,AB=2a,F 为 BE 的中点,∴AF⊥BE,∵△ABC 是正三角形, ∴CG⊥AB,∴DF⊥AB, 又 DF⊥FG,FG∩AB=G, ∴DF⊥平面 ABE,DF⊥AF, 又∵DF∩BE=F,∴AF⊥平面 BDF, 又 BD? 平面 BDF,∴AF⊥BD. 21.证明 假设方程 f(x)=0 有一个整数根 k, 则 ak +bk+c=0.① 因为 f(0)=c,f(1)=a+b+c 均为奇数, 所以 a+b 必为偶数, 当 k 为偶数时,令 k=2n (n∈Z), 则 ak +bk+c=4n a+2nb+c=2n(2na+b)+c 必为奇数,与①式矛盾; 当 k 为奇数时,令 k=2n+1 (n∈Z),
2 2 2

- 10 -

则 ak +bk+c=(2n+1)(2na+a+b)+c 为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数,必为奇 数,也与①式矛盾,故假设不成立. 综上可知方程 f(x)=0 无整数根. 22.解 (1)由表知,每行的第一个数为偶数,所以第 n+1 行的第一个数为 2 ,所以第 n 行的最后一个数为 2 -1. (2)由(1)知第 n-1 行的最后一个数为 2
n n-1 n n

2

-1,第 n 行的第一个数为 2

n-1

,第 n 行的最后

一个数为 2 -1.又由观察知,每行数字的个数与这一行的第一个数相同,所以由等差数列求 和公式得,

Sn=

2

n-1

(2

n-1

+2 -1) 2n-3 2n-2 n-2 =2 +2 -2 . 2
11 11

n

(3)因为 2 =1 024,2 =2 048,又第 11 行最后一个数为 2 -1=2 047,所以 2 008 是 在第 11 行中,由等差数列的通项公式得,2 008=1 024+(n-1)·1, 所以 n=985,所以 2 008 是第 11 行的第 985 个数.

10

- 11 -


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