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2017届高考数学大一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 理


第一章 集合与常用逻辑用语

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在 量词

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; 2.理解全

称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.全称量词与存在量词
(1) 全称量词与全称命题:“所有”“每一个”“任何”“任意一 条”“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作 全称量词 。像这样含有__________ ___________ 全称量词 的命题,叫作全称命题。 (2) 存在量词与特称命题:“有些”“至少有一个”“有一个”“存 在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作 ____________ 存在量词 。像这样 含有 存在量词 的命题,叫作特称命题。 2.全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是__________ 特称命题 ;特称命题的否定是___________ 全称命题 。

3.逻辑联结词 (1)常用的逻辑联结词有“_____ 且 ”“____ 或 ”“_____ 非 ”。 (2)命题p或q、p且q、綈p的真假判断
p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p且q
真 假 假 假

p或q
真 真 真 假

綈p
假 假 真 真

基 础 自 测
[判一判]
(1)命题“5>6或5>2”是真命题。 ( √ 解析 ) 正确。该命题是“5>6”和“5>2”构成的“或”命题,只要有一

个是正确的,该命题就是真命题。
(2)命题p且q为假命题,则命题p、q都是假命题。( × ) 解析 错误。由真值表可判断,要使p且q为假命题,则p和q至少有一 个是假命题。 (3)“对顶角相等”是全称命题。(√ ) 解析 正确。由全称命题的概念可知。

解析 正确。若p是真命题,则綈p一定是假命题。 ( × ) 解析 错误。全称命题的否定为特称命题。

(4)命题p和綈p不可能都是真命题。(√

)

(5) 命 题 “ 对 任 意 x∈R , x2≥0” 的 否 定 是 “ 对 任 意 x∈R , x2<0” 。

[练一练]
1.(2015·课标全国Ⅰ卷)设命题p:存在n∈N,n2>2n,则綈p为( A.对任意n∈N,n2>2n )

B.存在n∈N,n2≤2n
C.对任意n∈N,n2≤2n D.存在n∈N,n2=2n 解析 C。 ∵p:存在n∈N,n2>2n,∴綈p:对任意n∈N,n2≤2n,故选

答案 C

2.(2015·广东梅州质检)下列命题中的假命题是( A.对任意x∈R,2x-1>0

)

B.对任意x∈N+,(x-1)2>0
C.存在x∈R,ln x<1 D.存在x∈R,tan x=2

解析 因为当x=1时,(x-1)2=0,所以B为假命题,故选B。
答案 B

3.命题p:对任意x∈R,sin x<1;命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则
下列结论是真命题的是( A.p且q ) B.綈p且q

C.p或綈q

解析 ∵p是假命题,q是真命题,∴綈p且q是真命题。
答案 B

D.綈p且綈q

4.(2015·浙江卷)命题“对任意n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式 是( ) A.对任意n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n

B.对任意n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n
C.存在n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0 D.存在n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0 解析 命题 “ 对任意 n∈N* , f(n)∈N* 且 f(n)≤n” 的否定为 “ 存在 n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0”,故选D。 答案 D

5 . (2015·江苏泰州中学期末 ) 由命题“存在 x∈R ,使 x2 +2x +m≤0” 是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是________ 。 1

解析 ∵“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,
∴“任意x∈R,使x2+2x+m>0”是真命题。 ∴Δ=4-4m<0,解得m>1,故a的值是1。

R

热点命题

深度剖析

考点一

含有逻辑联结词的命题的真假判断

5 【例 1】 (1)(2015· 河南洛阳一模)已知命题 p: 存在 x∈R, 使 sin x= ; 2 命题 q:任意 x∈R,都有 x2+x+1>0。给出下列结论:①命题“p 且 q”是 真命题;②命题“p 且綈 q”是假命题;③命题“綈 p 或 q”是真命题;④

命题“綈 p 或綈 q”是假命题,其中正确的是(

)

A.②④ C.③④

B.②③ D.①②③

5 【解析】 (1)因为对任意实数 x, |sin x|≤1,而 sin x= >1,所以 p 2 为假;因为 x2+x+1=0 的判别式 Δ<0,所以 q 为真。因而②③正确。故 选 B。 【答案】 B

(2)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2,在命题 ①p且q;②p或q;③p且(綈q);④(綈p)或q中,真命题是( A.①③ C.②③ 【解析】 B.①④ D.②④ 由不等式的性质,得p真,q假。由“或、且、非”的 )

真假判断得到①假,②真,③真,④假。
【答案】 C

【规律方法】

骤:

“ p 或 q”“p 且 q”“ 綈 p” 形式命题真假的判断步

(1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p、q的真假; 题:一假则假;对于“p或q”命题:一真则真;对“綈p”命题与“p”命题 真假相反。

(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”形式命题的真假。对于“p且q”命

变式训练1

(1)(2014·辽宁卷)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若

a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题

中真命题是(
A.p或q

)
B.p且q D.p或(綈q)

C.(綈p)且(綈q) 解析

对命题 p中的 a与 c可能为共线向量,故命题 p为假命题。由

a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题。故p或q为真命题。故选A。 答案 A

(2)如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列结论:

①命题“p 且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或
q”是真命题;④命题“p或q”是假命题。其中正确的结论是( A.①③ B.②④ )

C.②③
解析

D.①④
“非 p或非 q”是假命题,则 “p且q”为真命题, “p或 q”

为真命题,从而①③正确。

答案 A

考点二

全称命题、特称命题

全称命题、特称命题的真假及其否定以其独特的形式成为高考命题的 亮点,常和其他数学知识相结合,以选择题、填空题的形式出现。 角度一:全称命题、特称命题的真假判断 1.(2015· 皖南八校联考)下列命题中,真命题的是( 1 A.存在 x0∈R,sin +cos = 2 2 2 B.任意 x∈(0,π),sin x>cos x C.任意 x∈(0,+∞),x2+1>x D.存在 x0∈R,x2 0 +x0=-1
2x0 2x0

)

解析 对于 A 选项:对任意 x∈R, sin + cos =1,故 A 为假命题; 2 2 π 1 3 对于 B 选项:存在 x0= , sin x0= , cos x0= , sin x0<cos x0,故 B 为假 6 2 2
? 1?2 3 ? 命题;对于 C 选项:x +1- x= x- ? + >0 恒成立,故 C 为真命题;对 2? 4 ?
2

2x

2x

? 1? 3 于 D 选项:x2+ x+1=?x+ ?2+ >0 恒成立,不存在 x0∈R,使 x2 0+x0=-1 2? 4 ?

成立,故 D 为假命题。 答案 C

2.下列命题中是假命题的是(
? π? ? A.对任意 x∈ 0, ?,x>sin x 2? ?

)

B.存在 x0∈R,sin x0+cos x0=2 C.对任意 x∈R,3x>0 D.存在 x0∈R,lg x0=0

? π? 解析 对任意 x∈?0, ?,设单位圆与角 x 的终边交于点 P(x,y),与 x 2? ?

轴的正半轴交于点 A(1,0),作 PM⊥x 轴于点 M,由正弦函数的定义知 MP
? π? ? = sin x, AP 的长 l=x,由 S 扇形 OAP>S△ OAP?x>sin x,故对任意 x∈ 0, ?, 2? ?

x>sin x,即选项 A 是真命题;因为 sin x+ cos x= 2sin(x+ φ)≤ 2<2,故选 项 B 是假命题; 由指数函数的值域知对任意 x∈R,3x>0 是真命题, 即选项 C 是真命题;因为 x0=1 时,lg x0=lg 1=0,故存在 x0∈R,lg x0=0 是真命 题,即选项 D 是真命题。故选 B。 答案 B

角度二:全称命题、特称命题的否定 3.(2015·湖北卷)命题“存在x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 ( ) A.存在x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 B.存在x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 C.对任意x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D.对任意x?(0,+∞),ln x=x-1 解析 C。 “ 存在 x0∈M , p” 的否定是 “ 对任意 x∈M , 綈 p” 。故选

答案 C

4.(2015· 湖北省稳派教育质量检测)已知 f(x)=3sin x-πx,命题 p:对
? π? 任意 x∈?0, ?,f(x)<0,则( 2? ?

)

? π? A.p 是假命题,綈 p:对任意 x∈?0, ?,f(x)≥0 2? ? ? π? B.p 是假命题,綈 p:存在 x0∈?0, ? ,f(x0)≥0 2? ? ? π? C.p 是真命题,綈 p:存在 x0∈?0, ? ,f(x0)≥0 2? ? ? π? D.p 是真命题,綈 p:对任意 x∈?0, ?,f(x)>0 2? ?

? π? 解析 ∵f′(x)=3cos x-π,∴当 x∈?0, ?时,f′(x)<0,函数 f(x)单 2? ? ? π? 调递减,即对任意 x∈?0, ?,f(x)<f(0)=0 恒成立,∴p 是真命题。又全称 2? ?

命题的否定是特称命题,
? π? ? ∴綈 p:存在 x0∈ 0, ?,f(x0)≥0。故选 C。 2? ?

答案

C

【规律方法】 全(称)特命题问题的常见类型及解题策略 (1)全(特)称命题的真假判断。①要判断一个全称命题是真命题,必须 对限定的集合 M中的每个元素 x验证 p(x)成立,但要判断一个全称命题为假 命题,只要能举出集合 M中的一个 x=x0,使得p(x0)不成立即可。②要判断 一个特称命题为真命题,只要在限定的集合 M中,找到一个x=x0,使p(x0)

成立即可,否则这一特称命题就是假命题。
(2)对全(称)特命题进行否定的方法。①找到命题所含的量词,没有量 词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词。②对原命题的结论进行

否定。

考点三 利用逻辑联结词或量词探求参数问题

【例 2】

? π? ? (1)(2015· 山东卷)若“对任意 x∈ 0, ?,tan x≤m”是真命 4? ?

1 。 题,则实数 m 的最小值为________

【解析】 由题意知 m≥(tan x)max。
? π? ∵ x∈?0, ?, 4? ?

∴tan x∈[0,1]。∴m≥1。故 m 的最小值为 1。

(2)(2015·锦州月考 ) 命题p:关于 x的不等式 x2 +2ax+4>0 对一切x∈R 恒成立,命题q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求

实数a的取值范围。
【解】 设 g(x)=x2+2ax+ 4,由于关于 x的不等式 x2+2ax+4>0对一 切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点,

故Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2。
又∵函数f(x)=(3-2a)x是增函数, ∴3-2a>1。∴a<1。

又由于p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假。

?-2<a<2, ①若 p 真 q 假,则? ?a≥1,

∴1≤a<2;
?a≤-2或a≥2, ②若 p 假 q 真,则? ?a<1,

∴a≤-2。 综上可知,所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[1,2)。

【规律方法】 (1)根据命题的真假性求参数的方法步骤: ①求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围;②判断命题p,q 的真假性;③根据命题的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解

参数的取值范围。
(2)全称命题可转化为恒成立问题。

变式训练 2 (1) 命题“存在x∈R,2x2 - 3ax + 9<0”为假命题,则实数 a [-2 2,2 2] 的取值范围为__________________ 。

解析 因题中的命题为假命题,则它的否定 “任意 x∈ R,2x2- 3ax+ 9≥0” 为真命题,也就是常见的 “ 恒成立 ” 问题,因此只需 Δ= 9a2 - 4×2×9≤0,即-2 2≤a≤2 2。

(2)已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对

任 意 x 恒 成 立 。 若 命 题 q 或 (p 且 q) 真 、 綈 p 真 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
________ (1,2) 。 解析 由于綈p真,所以p假,则p且q假,又q或(p且q)真,故q真,即

命题 p 假、 q 真。当命题 p 假时,即方程 x2 - mx + 1 = 0 无实数解,此时 m2 -
4<0,解得-2<m<2;当命题q真时,4-4m<0,解得m>1。所以所求的m的 取值范围是1<m<2。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个关系——逻辑联结词与集合的关系 “且”“或”“非”三个逻辑联结词,对应着集合中的

“交”“并”“补”。
⊙2类否定——全称命题和特称命题的否定 p:存在x0∈M,綈p(x0)。 (1)全称命题的否定是特称命题:全称命题 p :对任意 x∈M ,p(x) ;綈 (2) 特称命题的否定是全称命题:特称命题 p :存在 x0∈M , p(x0) ; 綈

p:对任意x∈M,綈p(x)。

⊙3点提醒——命题否定中的易错点

(1) 注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前
提。 (2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现

量词,再进行否定。
(3)注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,“且”的否定 为“或”。


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