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数学:3.1.1《两角和与差的余弦》教案(苏教版必修4)


第 1 课时:§3.1.1

两角和与差的余弦

【三维目标】 : 一、知识与技能 1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式,进一步体会向量方法的作用; 2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化归思想在三角变换中的作用; 3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明 二、过程与方法 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程, 体验和感受数学发现和创造的 过程,体会向量和三角函数的联系; 2.通过向量的手段证明两角差的余弦公式, 让学生进一步体会向量法作为一种有效手段 的同时掌握两角差的余弦函数;讲解例题,总结方法,巩固练习. 三、情感、态度与价值观 1.创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2.通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识; 理解掌握 两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 【教学重点与难点】 : 重点: 两角和与差的余弦公式的推导及其应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 【学法与教学用具】 : 1. 学法: (1)自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教法:启发式教学 3.教学用具:多媒体、实物投影仪. 【授课类型】 :新授课 【课时安排】 :1 课时 【教学思路】 :

一、创设情景,揭示课题 1.数轴两点间的距离公式: MN ? x1 ? x2 . 2.点 P( x, y) 是 ? 终边与单位圆的交点,则 sin ? ? y,cos ? ? x . 二、研探新知
两角和的余弦公式的推导(向量法) : 把 cos(? ? ? ) 看成两个向量夹角的余弦,考虑用向量的数量积来研究。 在 直角坐标 系 xOy 中, 以 Ox 轴为 始边分别 作角 ? , ? , 其终边 分别与单 位圆交 于

P1 (cos ? , sin ? ) , P2 (cos ? , sin ? ) ,则 ?P1OP2 ? ? ? ? 由于余弦函数是周期为 2? 的偶函数,
所以,我们只需考虑 0 ? ? ? ? ? ? 的情况。 设向量 a = OP 1 ? (cos ? , sin ? ) , b = OP 2 ? (cos ? , sin ? ) , 则

?

? ??

?

? ??

? ? ? ? a ? b =| a || b | cos(? ? ? ) = cos(? ? ? )

另一方面,由向量数量积的坐标表示,有 a ? b = cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,所以

? ?

cos(? ? ? ) = cos ? cos ? ? sin ? sin ?
这就是两角差的余弦公式。 【探究】 : 如图 3-1-2,在直角坐标系 xOy 中,单位圆 O 与 x 轴交于 P0 ,以 Ox 为始边分别作出 角 ? , ? , ? ? ? ,其终边分别和单位圆交于 P1 , P2 , P 3 ,由 P0 P3 ? P2 P1 ,你能否导出两角差的 余弦公式? 在 公 式
? ??

? ??

C(? ?? )





??





?









cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? . ( C(? ? ? ) )
这就是两角和的余弦公式 【说明】 : 公式 C(? ? ? ) 对于任意的 ? , ? 都成立。 【思考】 : “用 ? ? 代替 ? ”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义?你能直接利用向量的数 量积推出两角和的余弦公式吗?

三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例 1(教材 P92 例 1)利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

例 2(教材 P93 例 2)利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 750 , cos 150 , sin150 , tan 150 。 【举一反三】 : 1. 求值: (1) cos 1950
?

(2) cos 54 0 cos 36 0 ? sin 54 0 sin 36 0
?

(1) cos195 ? cos(180? ? 15? ) ? ? cos15 ? ?(cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? )

??

6? 2 4
? ? ? ?

? ? (2) cos54 cos36 ? sin 54 sin 36 ? cos(54 ? 36 ) ? 0 .

【点评】 :把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:

cos15? ? cos ? 60? ? 45? ? ,要学会灵活运用.
【思考】 :你会求① cos105?、②sin 75 、③cos 15 、④cos 吗?
0 0

? 3? ? 3? cos ?sin sin 的值 10 10 5 5

例 3(教材 P93 例 3)已知 sin ? ?

2 ? 3 3? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ) ,求 cos(? ? ? ) 3 2 5 2

的值 【思考】 :在上例中,你能求出 sin(? ? ? ) 的值吗? 【举一反三】 : 1.已知 cos ? ? ? 2.已知 sin ? ?

3 ? ? , ? ? ( , ? ) ,求 cos ( ? ? ) 的值. 5 2 4

4 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 cos ?? ? ? ? 的值. 5 13 ?2 ?

提示:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题.

3. 已知 cos(2α -β )=值
新疆

11 ? ? ? 4 3 ,sin (α -2β )= ,且 <α < ,0<β < ,求 cos(α +β )的 14 4 2 4 7

王新敞
奎屯

四、巩固深化,反馈矫正
教材 P94 练习第 2 题,第 3 题

五、归纳整理,整体认识
本节我们学习了两角和与差的余弦公式,要求同学们掌握公式 C(? ? ? ) 的推导,能熟练 运用 C(? ? ? ) 公式,注意 C(? ? ? ) 公式的逆用。在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符 号问题,学会灵活运用.

六、承上启下,留下悬念
1.用两点距离公式推导两角和与差的余弦公式。 2.预习两角和与差的正弦

七、板书设计(略) 八、课后记:


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