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高考数学概率与统计部分知识点梳理

高考复习专题之:概率与统计
一、概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.

) ?0 时称为不可能事件 P(A)=0; 1. 随机事件 A 的概率 0 ? P( A) ? 1, 其中当 P( A) ? 1 时称为必然事件; 当 P( A
注:求随机概率的三种方法: (一)枚举法 例 1 如图 1 所示,有一电路 AB 是由图示的开关控制,闭合 a,b,c,

d,e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路形成通
路的概率是 .

分析:要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可。 解:闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有 10 种,分别是 ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de, 其中能形成通路的有 6 种,所以 p(通路)=

6 3 = 10 5

评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现 的结果比较少的事件的概率计算. (二)树形图法 例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负, 其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明出虎牌,则小刚胜;又 如, 两人同时出象牌,则两人平局.如果用 A、B、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用 A1、B1、C1 分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少? 分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结 果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解:画树状图如图树状图。由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果 有 9 种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有 3 种.所 以 P(一次出牌小刚胜小明)=

1 3

点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结 果,通过画树形图的方法来计算概率 (三)列表法 例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位 数.请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成的两位数是 6 的倍数 的概率. 分析:本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是偶数的可能 情况和组成两位数
-1-

是 6 的倍数的可能情况。 解:列的表格如下:根据表格可得两位数有:23,24,32,34,42,43.所 以(1)两位数是偶数的概率为

2 1 .(2)两位数是 6 的倍数的概率为 . 3 3

点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可 能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 2.等可能事件的概率(古典概率): P(A)=

m 。 n

3、互斥事件:(A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生)。计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B)。 4、对立事件:(A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一 个发生)。计算公式是:P(A)+ P(B)=1;P( A )=1-P(A); 5、独立事件: (事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) 。 提醒:(1)如果事件 A、B 独立,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也 都是独立事件;(2)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个不发 生的概率是 1-P(A ? B)=1-P(A)P(B);(3)如果事件 A、B 相互独立,那么 事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1-P( A ? B )=1-P( A )P( B )。 6、独立事件重复试验:事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 的概率 P n (k ) ? Cn p (1 ? p) .....k 次 .
k k n ?k

(是二项

展开式 [(1 ? p) ? p]n 的第 k+1 项),其中 p 为在一次独立重复试验中事件 A 发生的概率。 提醒:(1)探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类 或分步)转化思想处理,把所求的事件:转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识);转化为若干个互 斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率;看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率,但要注意公式的使用条件。(2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之, 事件对立是事件互斥的充分非必要条件;(3)概率问题的解题规范:①先设事件 A=“?”, B=“?”;②列 式计算;③作答。 二、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰 好出现这些结果中的一个, 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随 机变量.若ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变量.一般地,若ξ 是随机变量, f ( x) 是 连续函数或单调函数,则 f (? ) 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列.
?
x1 x2

?

xi
-2-

?

P

p1

p2

?

pi

?

有性质:① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ; ② p 1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 . 注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: ? ? [0,5] 即 ? 可以取 0~ 5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次
k n ?k 的概率是: P(ξ ? k) ?C k [其中 k ? 0,1, ? , n, q ? 1 ? p ] np q

于是得到随机变量ξ 的概率分布如下:我们称这样的

k n ?k 随机变量ξ 服从二项分布,记作 ? ~B(n·p),其中 n,p 为参数,并记 Ck ? b(k;n ? p) . np q

⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每次试验只有两种结 果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小, 而每次抽取时又只有两种试验结果, 此时 可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布: “? ? k ” 表示在第 k 次独立重复试验时, 事件第一次发生, 如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 A k , 事 A 不发生记为 A k , P (Ak ) ? q ,那么 P(ξ ? k) ? P(A1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据相互独立事件的概率乘法分式:
k ?1 P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ? P(A k ?1 )P(Ak ) ?q p (k ? 1,2,3, ?) 于是得到随机变量ξ 的概率分布列.

?

1 q

2 qp

3
q2p

? ?

k
q k ?1 p

? ?

P

我们称ξ 服从几何分布,并记 g(k,p) ?q k ?1 p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3? 5. ⑴超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ? n ? N) 件,则其中的次品数ξ 是 一离散型随机变量,分布列为 P (ξ ? k) ?
k k CM ?C Nn??M n CN

? (0 ? k ? M,0 ? n ? k ? N ? M) .〔分子是从 M 件次品中取 k 件,从

r ? 0 ,则 k 的范围可以写为 k=0,1,?,n.〕 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m

⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取 n 件(1≤n≤a+b),则次品数ξ 的 分布列为 P (ξ ? k) ?
n ?k Ck a ?C b

C a ?n b

k ? 0,1,? , n. .

⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数ξ 服从超几何分布.若放回式抽取,则 其中次品数 ? 的分布列可如下求得:把 a ? b 个产品编号,则抽取 n 次共有 (a ? b) n 个可能结果,等可能:(η ? k) 含
k n ?k 个结果,故 P (η ? k) ? Ck na b
k n ?k Ck na b

(a ? b) n

?C k n(

a a k a n ?k ) .[我们先为 k 个次 ) (1 ? ) , k ? 0,1,2,? , n ,即 ? ~ B(n ? a?b a?b a?b

品选定位置,共 C k n 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法] 可以证明:当产品总数 很大而抽取个数不多时, P (ξ ? k) ? P (η ? k) ,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放 回抽样.

-3-

三、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为
?
x1 p1 x2 p2

? ?

xi pi

? ?

P

则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型 随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望: E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b ①当 a ? 0 时, E (b) ? b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a ? 1 时, E (? ? b) ? E? ? b ,即随机变量ξ 与常数之和的期望等于ξ 的期望与这个常数的和. ③当 b ? 0 时, E (a? ) ? aE? ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布: E? ? c ?1 ? c 其分布列为: P(? ? 1) ? c . ⑶两点分布: E? ? 0 ? q ? 1? p ? p ,其分布列为:(p + q = 1) ⑷二项分布: E? ? ξ P 0 q 1 p

? k ? k!(n ? k )! p
1 p

n!

k

?q n ? k ? np 其分布列为 ? ~

B(n, p) .(P 为发生 ? 的概率)

⑸几何分布: E? ?

其分布列为 ? ~ q(k , p) .(P 为发生 ? 的概率)

3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ 的分布列为 P(? ? x k ) ? p k (k ? 1,2, ?) 时,则称
D? ? ( x1 ?E? ) 2 p1 ?( x 2 ?E? ) 2 p 2 ? ? ? ( x n ?E? ) 2 p n ? ? 为ξ

的方差. 显然 D? ? 0 , 故 ?? ? D? . ?? 为ξ 的根方差或标准差.随机

变量ξ 的方差与标准差都反映了随机变量ξ 取值的稳定与波动,集中与离散的程度. D ? 越小,稳定性越高,波 .......... 动越小 . ... . 4.方差的性质. ⑴随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? .(a、b 均为常数) ⑵单点分布: D? ? 0 其分布列为 P(? ? 1) ? p ⑶两点分布: D? ? pq 其分布列为:(p + q = 1) ⑷二项分布: D? ? npq ⑸几何分布: D? ?
q p2

ξ P

0 q

1 p

5. 期望与方差的关系. ⑴如果 E? 和 E? 都存在,则 E (? ? ? ) ? E? ? E? ⑵设ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量,则 E (?? ) ? E? ? E? , D(? ? ? ) ? D? ? D? ⑶期望与方差的转化: D? ? E? 2?(E? ) 2 ⑷ E (? ? E? ) ? E (? ) ? E ( E? ) (因为 E? 为一常数) ? E? ? E? ? 0 .

四、正态分布.(基本不列入考试范围)

-4-

1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量ξ ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [a, b) 内的概率等于它与 x 轴. 直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f ( x) 叫做ξ 的密度函数,由于“ x ? (??,??) ” 是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.
a b x


y y=f(x)

2. ⑴正态分布与正态曲线: 如果随机变量ξ 的概率密度为:f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

. ( x ? R, ? , ? 为常数, 且? ? 0) ,

称ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. f ( x) 的表达式可简记为 N (?,? 2) ,它的密度曲线简称为正 态曲线. ⑵正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? 2) ,则ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 2 . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x ? ? 对称. ③当 x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲 线. ④当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线, 向 x 轴无限的靠近. ⑤当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散; ? 越小,曲线越“瘦 高”,表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布: 如果随机变量ξ 的概率函数为 ? ( x) ?
1 2? e
? x2 2

(?? ? x ? ??) , 则称ξ 服从标准正态分布. 即

? ~ N (0,1) 有 ? ( x) ? P(? ? x) , ? ( x) ? 1 ? ? (? x) 求出,而 P(a< ξ ≤b)的计算则是 P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) .

注意:当标准正态分布的 ?( x) 的 X 取 0 时,有 ? ( x) ? 0.5 当 ?( x) 的 X 取大于 0 的数时,有 ? ( x) ? 0.5 .比如 ▲ y 0.5 ? ? 0.5 ? ? S 必然小于 0,如图. ?( ) ? 0.0793? 0.5 则 ? ? ⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (?,? 2) 则ξ 的分布函数通
x ?μ 常用 F ( x) 表示,且有 P(ξ ? x) ? F(x) ? ? ( ). σ

x a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S

-5-

4.⑴“3 ? ”原则. 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态 分布 N (?,? 2) .②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) .③做出判断:如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,接 受统计假设. 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设. ⑵“3 ? ”原则的应用:若随机变量ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7% 亦即落 在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ 不 服从正态分布).

-6-


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