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数学:13.4《复数的乘法与除法》教案(沪教版高二下)


第四课时
一、教学目标:

复数复数的乘法与除法

1、知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算 的逆运算。 2、过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。 3、情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍 会显得较为枯燥无味,学生不易 接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的 需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 二、教学重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭 复数的概念 教学难点:乘除运算 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习准备 1. 复数的加减法的几何意义是什么?

(1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2)(5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 2. 计算 (1)
3. 计算: (1) (1 ? 3) ? (2 ? 3) 法) (二) 、探析新课 1.复数代数形式的 乘法运算 ①.复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (2) (a ? b) ? (c ? d ) (类比多项式的乘法引入复数的乘

(4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 探究:观察上述计算,试验证复 数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 例 2 .1、计算(1) (1 ? 4i) ? (1 ? 4i) (2) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) (3 ? 2i)2

2、已知复数 Z ,若,试求 Z 的值。变:若 (2 ? 3i) Z ? 8 ,试求 Z 的值。 ②共轭复数:两复数 a ? bi与a ? bi 叫做互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。 注:两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数。 练习:说出下列复数的共轭复数 3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7, 2i 。 ③类比
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

1? 2 2? 3

?

(1 ? 2)(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,试写出复数的除法法则。

2.复数的除法法则: (a ? bi ) ? (c ? di) ? 其中 c ? di 叫做实数化因子

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

除法运算规则:①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R),其商为 x+yi(x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x +yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知 ?

?cx ? dy ? a, ?dx ? cy ? b.

ac ? bd ? x? 2 , 2 ? ac ? bd bc ? ad ? c ? d ? 2 解这个方程组,得 ? 于是有:(a+bi)÷(c+di)= 2 i. 2 2 c ? d c ? d bc ? ad ?y ? . ? c2 ? d 2 ?
②利用(c+di)(c-di)=c +d .于是将
2 2

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

a ? bi 的分母有理化得: c ? di

原式=

a ? bi (a ? bi)(c ? di) [ac ? bi ? (?di)] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2

?

ac ? bd bc ? ad (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? 2 i .∴(a+bi)÷(c+di)= 2 ? i. 2 2 2 2 c ?d c ?d c ?d c ? d 2 c2 ? d 2

例 3.计算 (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) , (1 ? 2i) ? (?3 ? 2i) (师生共同板演一道,再学生练习) 练习:计算

3 ? 2i 3?i , (1 ? 2i ) 2 (1 ? i ) 2 ? 1

(三) .小结:两复数的乘除法,共 轭复数,共轭虚数。 (四) 、巩固练习: 1.计算(1)
[来源:Z。xx。k.Com]

? ?1 ? i ?? 2 ? i ?
i
3

( 2) i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5

(3)

2 ? i3 1 ? 2i

2.若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 z 为纯虚数,求实数 a 的取值 。变: 1 在复平面的下方,求 z2 z2

a

[来源:Zxxk.Com]

(五) 、课外练习:第 106 页练习 (六) 、课后作业:第 108 页习题 A:5, 6,7 五、教后反思
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