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4.示范教案(4.2.1 直线与圆的位置关系 第2课时)

第 2 课时 导入新课 思路 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40 km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 图2 分析: 如图 2,以台风中心为原点 O,以东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10 km 为单位 长度. 则台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为 x2+y2=9; 轮船航线所在的直线 l 的方程为 4x+7y-28=0. 问题归结为圆心为 O 的圆与直线 l 有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系. 推进新课 新知探究 提出问题 ①过圆上一点可作几条切线?如何求出切线方程? ②过圆外一点可作几条切线?如何求出切线方程? ③过圆内一点可作几条切线? ④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗? ⑤如何求直线与圆的交点? ⑥如何求直线与圆的相交弦的长? 讨论结果: ①过圆上一点可作一条切线,过圆 x2+y2=r2 上一点(x0,y0)的切线方程是 x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相 切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一 个实根的充要条件——Δ=0 去求出 k 的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利 用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出 k 的值. ③过圆内一点不能作圆的切线. ④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率, 用判别式法;三是设切线的斜率 ,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径 (d=r),求出 k 的值. ⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标. ⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、 弦长、 半径之间的关系来求. 应用示例 思路 1 例 1 过点 P(-2,0)向圆 x2+y2=1 引切线,求切线的方程. 图3 解 : 如 图 3, 方 法 一 : 设 所 求 切 线 的 斜 率 为 k, 则 切 线 方 程 为 y=k(x+2), 因 此 由 方 程 组 ? ? y ? k ( x ? 2), 得 x2+k2(x+2)2=1. ? 2 2 ? ? x ? y ? 1, 上述一元二次方程有一个实根, Δ=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=± 3 , 3 所以所求切线的方程为 y=± 3 (x+2). 3 方法二:设所求切线的斜率为 k,则切线方程为 y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径 (d=r),所以 d= | 2k | 1? k 2 =1,解得 k=± 3 . 3 所以所求切线的方程为 y=± 3 (x+2). 3 方 法三 :利 用过圆 上一点 的切 线的 结论 . 可 假设切 点为 (x0,y0), 此 时 可 求得 切线 方程 为 x0x+y0y=1. 然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得 x0=再由点(x0,y0)在圆上,所以满足 x02+y02=1,既 1 . 2 1 3 +y02=1,解出 y0=± . 4 2 y?0 这样就可求得切线的方程为 ? x?2 ? 3 ?0 2 , 1 ? ?2 2 整理得 y=± 3 (x+2). 3 点评:过圆外一点向圆可作两条切线; 可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好 (简便). 变式训练 已知直线 l 的斜率为 k,且与圆 x2+y2=r2 只有一个公共点,求直线 l 的方程. 活动:学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示, 直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解. 图4 解:如图 4,方法一:设所求的直线方程为 y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d= |b| 1? k 2 =r,∴b=± r 1 ? k 2 ,求得切线方程是 y=kx± r 1? k 2 . 方法二:设所求的直线方程为 y=kx+b,直线 l 与圆 x2+y2=r2 只有一个公共点,所以它们组成的方 程组只有一组实数解 , 由 ? ? ? y ? kx ? b, , 得 x2+k2(x+b)2=1, 即 x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0 得 2 2 2 x ? y ? r ? ? b=± r 1 ? k 2 ,求得切线方程是 y=kx± r 1? k 2 . 例 2 已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为 A(1,2),要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两 条,求 a 的取值范围. 活动:学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用 几何方法,点 A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径. 解 : 将 圆 的 方 程 配 方 得 (x+ a 2 a 4 ? 3a 2 ) +(y+1)2= , 圆 心 C 的 坐 标 为 ( - , - 1), 半 径 2 2 4 r= 4 ? 3a 2 , 4 条件是 4-3a2>0,过点 A(1,2)所作圆的切线有两条,则点 A 必在圆外, 即 a 2 4 ? 3a 2 2 . (1 ? ) ? (2 ? 1) > 2 4 2 ? ?a ? a ? 9 ? 0, 化简,得 a +a+9>0,由 ? 2 ? ?4 ? 3a ? 0, 2 解得- 2 3 2 3 <a< ,a∈R. 3 3 2 3 2 3 <a< . 3 3 2 3

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