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空间中的垂直和平行的证明方法

2.平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 4.空间线面的位置关系 共面 平行—没有公共点 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 5.异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 6.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若 a∥α ,a?β ,α ∩β =b,则 a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b∥c,则 a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ ,β ∩γ =b,则 a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α ∩β =b,a∥α ,a∥β ,则 a∥b. (2)两直线垂直的判定 ①定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a⊥b,则 a⊥c ③一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a⊥α ,b

? α ,a⊥b.?

④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. ⑤如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若 a∥α ,b⊥α ,则 a⊥b. ⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α ⊥β ,β ⊥γ ,γ ⊥α ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c,则 a⊥b,b⊥c,c ⊥a. (3)直线与平面平行的判定 ①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行.即若 a ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α ∥β ,l

? α ,b ? α ,a∥b,则 a∥α . ? α ,则 l ? α ,B ?

? α ,则 l∥β .

④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行.即若α ⊥β ,l⊥β ,l ∥α .

⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平行,即若 A

α ,A、B 在α 同侧,且 A、B 到α 等距,则 AB∥α . ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即若α ∥β ,a β . ⑦如果一条直线与一个平面垂直,则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即若 a⊥α ,b

? α ,a ? β ,a∥α ,则α ∥ ? α ,b⊥a,则 b∥α .

⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内),即若 a∥b,a∥α ,b∥α (或 b

?α ) ? α ,n ? α ,m∩n=B,l⊥

(4)直线与平面垂直的判定 ①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若 m m,l⊥n,则 l⊥α . ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a,a⊥α ,则 l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α ∥β ,l⊥β ,则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α ⊥β ,a∩β =α ,l l⊥a,则 l⊥α . ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面, 则它们的交线也垂直于第三个平面, 即若α ⊥γ ,β ⊥γ ,且 a∩β =α ,则 a⊥γ . (5)两平面平行的判定 ①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点

?β ,

? α ∥β .

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若 a,b ∥β . ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α ⊥a,β ⊥a,则α ∥β . ④平行于同一平面的两平面平行.即若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ .

? α ,a∩b=P,a∥β ,b∥β ,则α

⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,则这两个平面平行,即若 a,b ∥c,b∥d,则α ∥β . (6)两平面垂直的判定

? α ,c,d ? β ,a∩b=P,a

①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α -a-β =90° ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若 l⊥β ,l

? α ⊥β .

? α ,则α ⊥β .

③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α ∥β ,α ⊥γ ,则β ⊥γ . 7.直线在平面内的判定 (1)利用公理 1:一直线上不重合的两点在平面内,则这条直线在平面内. (2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即若α ⊥β ,A∈α ,AB⊥ β ,则 AB

?α .

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若 A∈a,a⊥b,A∈α ,b⊥α ,则 a

?α .
(4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即若 P

? α ,P∈β ,β ∥α ,P∈a,a∥α ,

则a

?β .
(5)如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内,即若 a∥α ,A∈α ,A

∈b,b∥a,则 b

?α .


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