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福建省福州市八县2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


2014-2015 学年度第二学期八县(市)一中期末联考

高中二年数学(文)科试卷
第一部分 选择题


一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若集合 A={ ( x, y) x ? 1 ? y ? 4 ? 0 } ,B={1,4},则下面选项正确的是( A.B ? A B.A ? B C.A=B D. A∩B= ? x0 2 2.命题“ ?x0 ? 0, 2 ? x0 ”的否定为 ( )
A. ?x ? 0, 2x ? x2 C. ?x ? 0, 2x ? x2 B. ?x ? 0, 2x ? x2 D. ?x ? 0, 2x ? x2 )

3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,??) 上单调递减的是( A. y ? ? x ? 1
2

B. y

? 5x
)

C. y ?

1. x

D. y ? lg | x |

4. “ x <2”是“ x?x ?1? <0” 成立的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列各组函数 f ( x)与g ( x) 的图象相同的是( ) A. f ?x? ? ?x ?1?0 与 g ?x ? ? 1 C. f ( x) ? B. f ?x ? ? x 与 g ?x ? ? x 2
x( x ? 0) D. f ( x) ? x , g ( x) ? ? ? ?? x( x ? 0)

x2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 x?2

6.若 a ? 20.5 , b ? log? 3, c ? log2 0.5 ,则( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b

) D. b ? c ? a

7.函数 f ( x) 的图像如图所示,下列选项中正确的是( ) A. 0 ? f ??2? ? f ??3? ? f ?3? ? f ?2? B. 0 ? f ??3? ? f ??2? ? f ?3? ? f ?2? C. 0 ? f ??3? ? f ?3? ? f ?2? ? f ??2? D. 0 ? f ?3? ? f ?2? ? f ??2? ? f ??3? O 1 2 3 4 x ) y

8.为了得到函数 y ? ( ) 的图像,可以把函数 y ? 3 ? ( ) 的图象(
x x

1 3

1 3

A.向左平移 1 个单位 C.向左平移 3 个单位
3

B.向右平移 1 个单位 D.向右平移 3 个单位

9.若函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 3a 在区间 ? 0, 2 ? 内有极小值,则 a 的取值范围是(

)A. a ? 0

B. 0 ? a ? 2

C. 0 ? a ? 4

D. a ? 2

10. 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? ??1,1? 时, f ( x) ? x ,则函数

y ? f ?x? ? log1 x 的零点个数是
3

( C.4

) D.8
y B A C O 1 x

A.0

B.2

11.定义在区间[0,1]上的函数 f ( x ) 的图象如右图所示, 以 A(0, f ( 0) ) ,B(1, f (1) ) ,C(x, f ( x) )为顶点的?ABC 的 面积记为函数 S ( x) ,则函数 S ( x) 的导函数 S ?( x ) 的大致图象为(
S'(x) 1 x
S'(x)
1

)

(第 11 题图)

S'(x)

S'(x)

O

O

1

x

O

1

x

O

x

A

B

C

D

12.定义:如果函数 f ( x) 在 ?a, b?上存在 x1 , x2 (a ? x1 ? x2 ? b) 满足

f '( x1 ) ?

f ?? x 2 ? ? f ?x ? ?

f ?b ? ? f ?a ? , 则 称 函 数 f ( x) 是 ?a, b? 上 的 “ 双 中 值 函 数 ”. 已 知 函 数 b?a

f (b) ? f (a ) , b?a

1 3 ) x ? x 2 ? m 是 ?0, m? 上的“双中值函数”,则实数 m 的取值范围是( 3 1 ? 3? 3 ? A. ? B. ?1,3? C. ? D. ? ? ,3 ? ? 0, ? ? ,3 ? ? 2? ?2 ? ?2 ?
第二部分 非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知幂函数 f(x)的图象经过(9,3),则 f(4)= __________ 1 14.函数 y= + x+4的定义域为__________ x

?3x ? 2 ?x ? 1? 15.已知函数 f ?x ? ? ? 2 ,若 f ? f ?0?? ? a ,则实数 a = ? x ? ax?x ? 1?
(梯形的周长)2 记 s= ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)



16.将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,

? 16 ? 计算(1 ) ? ? ? 81 ?

?

3 4

-

?

3?
log3 7

9 ?2 2 -? ?1 ? ? 16 ?

?

0

1

(2) log9 8 ? log 2 9 ? 3

? 5 ? ? ? lg ? 2 lg 2 ? ? 2 ?

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? 2 x ? 3x ? 1?x ? R? .
3 2

(1)求函数 f ? x ? 的图像在点 A ?1,6? 处的切线方程; (2)求 f ? x ? 的单调区间 19.(本小题满分 12 分)
x 设命题 p :实数 x 满足 x ? 1 ? a 其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满足 3
2

? x ?6

?1

(1)若命题 p 中 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ?
2

1 ,其中 a 为常数 x

(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 h?x ? ? f ?x ? ? x ?

1 ? 0在?1,2?上恒成立,求 a的取值范围 。 x

21. (本小题满分 12 分) 2015 年 10 月 18 日青运会开幕,为了更好的迎接青运会,做好夏季降温的同时要减少能源损 耗。 福州市海峡奥体中心的体育馆外墙需要建造隔热层. 体育馆要建造可使用 30 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 2 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C 万元与隔热层厚度 x cm 满足关系: C ? x ? ?

k ( 0 ? x ? 10 , k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 3 万 x?5

元.设 f ( x) 为隔热层建造费用与 30 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小?并求最小值.

22. (本小题满分 12 分)

如图,已知 A?10,0? ,直线x ? t ?0 ? t ? 10?与函数y ? e x的图象交于点 P,
与 x 轴交于点 H ,记 ?APH 的面积为 f (t ) . (1)求函数 f (t ) 的解析式; (2)求函数 f (t ) 的最大值.

1 ? ? f ?t ? ? e ?t ? t 3 ? 4 ?t ? 0 ? ? ? g t ? (3)若 ? 6 ? ?t ? 0? bt ?
探究:是否存在实数 m ,使得方程 g ?t ? ? m 有且只有三个实数解,若存在 求出 m 的取值范围,若不存在,请说明理由。

2014-2015 学年度第二学期八县(市)一中期末联考

高中二年数学(文)科参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 D 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C 8 A 9 C 10 B 11 D 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、2 15、-4 14、 [-4,0)∪(0,+∞) 16、

32 3 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
3 -4 16 ? ? - 17. (本小题满分 10 分) (1 ) 81 ? ?

?

9 ?2 9 3 - 2 -? ?1 ? = ????5 分 ? 16 ? 8
0

?

1

5 ? (2) log9 8 ? log2 9 ? 3 log3 7 ? ? ? lg ? 2 lg 2 ? =9????10 分 ? 2 ? 18. (本小题满分 12 分)
解:(1)因为 f ??x? ? 6x ? 6x ,????2 分
2

所以 f ??1? ? 12 , ????4 分
[.C

om]

函数 f ? x ? 的图像在点 ?1,6? 处的切线方程为: y ? 6 ? 12?x ? 1? ????5 分 即: y ? 12x ? 6
2

????6 分 ????7 分 ????9 分 ????11 分 ????12 分

(2) f ??x? ? 6 x ? 6 x ? 6 x?x ? 1?

令f ' ?x? ? 0, 则x ? 0或x ? ?1 令f ' ?x? ? 0, 则 ? 1 ? x ? 0

?0,???, ?? ?,?1?减区间为?? 1, ? f ?x?的增区间为 0?

19、(1)当 a ? 1 时, p : x x ? 2或x ? 0 ???? 1 分
q : x?2? x?3

?

?

?

?

???? 2 分 ???? 3 分

又 p ? q 真,所以 p, q 都为真

? x ? 2或x ? 0 由? ? ?2? x?3

得 ? 2 ? x ? 0或2 ? x ? 3 ???6 分

(2) p : x ? 1 ? a,? x ? 1 ? a或x ? 1 ? a, a ? 0

???? 7 分

???? 8 分 ?p : 1 ? a ? x ? 1 ? a, a ? 0 ∴满足条件 ?p 的解集 A= ?x 1 ? a ? x ? 1 ? a, a ? 0?
q :B= ?x ? 2 ? x ? 3?

?p 是 q 的必要不充分条件
? a?0 ? ? B ? A,? ? a ? 1 ? 3 ? a ? 3 ???? 12 分 ?1 ? a ? ?2 ?
20.[解](1) f ( x ) 的定义域为 {x x ? 0, x ? R} ,关于原点对称,?????1 分

f (? x) ? a (? x) 2 ?

1 1 ? ax 2 ? ,?????2 分 ?x x

当 a ? 0 时, f (? x) ? ? f ( x) 为奇函数?????4 分 当 a ? 0 时,由 f (1) ? a ? 1, f (?1) ? a ? 1 ,知 f (?1) ? ? f(1) ,故 f ( x ) 即不是奇函数也不是 偶函数。?????6 分

?2?依题意得h?x ? ? ax 2 ? x ? 0在?1,2?上恒成立????8分
?1? 即a ? ? ? ? x ? max ????? 9分

?y ?

1 在?1,2?上是减函数????10分 x

?1? ?? ? ? 1?????11分 ? x ? max ? a ? 1?????? 12分
21.解: (1)当 x ? 0 时, c ? 3 ,? k ? 15 ,………………2 分 15 ………………3 分 ? C ?x ? ? x?5

? f ?x ? ? 2 x ?

30 ?15 450 ?0 ? x ? 10 ? ……………………6 分(定义域没写扣 1 分) ? 2x ? x?5 x?5 450 - 10 ? 50?0 ? x ? 10 ????? 9分 x?5

(2) 方法一: f ?x ? ? 2?x ? 5? ?

? f ?x ? ? 50(当且仅当 2?x ? 5? ?

? x ? 10时f ?x?有最小值为 50??????11 分

450 即x ? 10时等号成立) ???10分 x?5

答:隔热层修建 10 cm 厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,最小值为 50 万元.………12 分 (本题也可以用导数求解)

?0 ? x ? 10????? 8分 ? x ? 5? ? x ? 5?2 当0 ? x ? 10时,f ?? x ? ? 0 ??? 9分 ? f ? x ?在?0,10?上单调递减???10分 ?当x ? 10时,f ? x ?有最小值f ?10? ? 50????11分
2

方法二:f ?? x ? ? 2 ?

? 450

?

2? x ? 50?? x ? 40?

答:隔热层修建 10 cm 厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,最小值为 50 万元.………12 分

由已知AH ? 10 ? t , PH ? e 22.解: (1)由已知 ?1?
所以 ?APH 的面积为 f ?t ? ? 1 ?10 ? t ?e t ,0 ? t ? 10 2

t

………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分

1 1 1 (2)解: f ??t ? ? ? e t ? ? ?10 ? t ?e t ? e t ?9 ? t ? 2 2 2 得 令f ??t ? ? 0, 得t ? 9
函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况下表:

t
f '(t )
f (t )

?0,9?
+ ↗

9 0 极大值

?9,10?
?
↘ ………………7 分

1 所以当 t ? 9 时,函数 f ?t ? 取得最大值 e 9 . 2

?10 ? t ? ? t ?3?g ?t ? ? ? ?2 6
? ? bt
当t ? 0时, g ??t ? ?

?1

1

3

?4

?t ? 0?

?t ? 0? ………………8 分

1 2 1 1 t ? ? ?t ? 1??t ? 1? 2 2 2

令g ??t ? ? 0得t ? 1 t ? ?0,1?, g ??t ? ? 0, g ?t ?为减函数 t ? ?1,???, g ??t ? ? 0, g ?t ?为增函数
? g ?t ?min ? g ?1? ? 2 3
………………10 分

当t ? 0时,g ?t ? ? bt,由数形结合知 b ? 0时,不存在 m符合g ?t ? ? m有且只有三个 实数解

?2 ? b ? 0时,存在m ? ? ,1?,g ?t ? ? m有且只有三个 实数解 ………………12 分 ?3 ?

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