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《导数与函数的单调性》ppt课件_图文

第四章 导数应用 .. 导. 学 固思 知识点 新课程标准的要求 层次要求 1.认识导数对于研究函数的变 领域目标要求 化规律的作用 函数的单调性与极值 2.会用导数的符号来判断函数 的单调性 3.会利用导数确定函数的极值 能直观了解可导函数的单 调性与其导数的关系;了解可导 函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件(导数在极值点两 侧异号),会求一些实际问题的 最大值和最小值,体会导数方法 点和最值点 1.进一步体会函数是描述客观 世界变化规律的基本数学模型 2.联系实际生活和其他学科,进 在实际问题中的应用 一步体会导数的意义 3.从实际情境中抽象出一些基 本的用导数刻画的问题,并加以 在研究函数性质中的一般性和 有效性 解决 .. 导. 学 固思 第1课时 导数与函数的单调性 .. 导. 学 固思 1.探索函数的单调性与导数的关系. 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. .. 导. 学 固思 对于函数y=x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该 函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义 法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢? .. 导. 学 固思 问题1 增函数和减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是 单调增函数 .(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是 单调减函数 .(如图(2)所示) .. 导. 学 固思 问题2 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就 说这个函数在这个区间M上具有 单调性 ,区间M称为 单调区间 . 问题3 判断函数的单调性有 图像法 和 定义法 ,图像法是作出函 数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两 个对称的区间上具有 相同 的单调性;偶函数在两个对称的区 间上具有 相反 的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行 判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论. 作图并观察函数的图像,找出图像上升(或下降)的起点和终点的 横 坐标,从而得出单调递增(或递减)区间. .. 导. 学 固思 问题4 根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某 个区间(a,b)内求函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f'(x). (3)解不等式f‘(x)>0或f’(x)<0,如果f‘(x)>0,那么 函数y=f(x)在这个区间内单调递 增 ;如果f’(x)<0, 减 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递 . (4)写单调区间. .. 导. 学 固思 1 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( D ). A.y=-x B.y=-x 2 2 C.y=x -x D.y=x 2 【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=x2 在(0,+∞)上是增函数. .. 导. 学 固思 2 函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减情况为( C A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增 ). 【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=2-3x2在区间 (-1,1)上先增后减. 也可通过导数研究,对于函数y=2-3x2,y'=-6x,故当x∈(-1,0)时 ,y'>0,函数递增;当x∈(0,1)时,y'<0,函数递减. 3 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函 数,那么a的取值范围是 (-∞,-3] . 【解析】已知函数的图像为开口向上的抛物线,对称轴为 x=1-a,若在区间(-∞,4]上是减函数,则1-a≥4,故a≤-3. .. 导. 学 固思 4 求函数y=x2-x的单调区间. 1 2 【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数在[ ,+∞)上是增函数, 在(-∞, )上是减函数,所以函数 y=x -x 的单调递增区间为[ ,+∞),单 2 2 1 2 1 调递减区间为(-∞, ). 2 1 也可通过导数研究,对于函数 y=x -x,y'=2x-1,当 x∈[ ,+∞)时,y'>0, 2 2 1 是增函数;当 x∈(-∞, )时,y'<0,是减函数. 2 1 所以,函数 y=x -x 的单调递增区间为[ ,+∞),单调递减区间为(-∞, ). 2 2 2 1 1 .. 导. 学 固思 求函数的单调性与其导函数正负的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. .. 导. 学 固思 (续表) 【解析】(1)函数 y=x 的定义域为 R,并且在定义域上是增函数,其导数 y'=1>0. 2 (2)函数 y=x 的定义域为 R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递 增. 而 y'=2x,当 x<0 时,其导数 y'<0;当 x>0 时,其导数 y'>0;当 x=0 时,其 导数 y'=0. 3 (3)函数 y=x 的定义域为 R,在定义域上为增函数. 2 2 2 而 y'=3x ,若 x≠0,则其导数 3x >0,当 x=0 时,其导数 3x =0. (4)函数 y= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在 x 1 1 (0,+∞)上单调递减,而 y'=- 2 ,因为 x≠0,所以 y'<0. x .. 导. 学 固思 利用导数求函数的单调区间 已知函数f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间. 【解析】∵f(x)=e -ax-1,∴f'(x)=e -a. x 令 f'(x)≥0,得 e ≥a, 当 a≤0 时,有 f'(x)>0 在 R 上恒成立; 当

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