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高中数学一轮复习专题学案——导数及其运算


第 17 课时 导数的概念及运算
一.知识梳理 1.平均变化率:函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则平均变化率可表示为 ,若 ?x ? x2 ? x1 , .

2.导数的概念:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上有定义, x0 ? (a, b) 当 ?x 无限接近于 0 时,比值 无限趋近于一个常数 A ,则称 f ( x) 在点 x ? x0 处可导,并称常数 A 为函数 f ( x) 在 x ? x0 处 的 ,记作 . 3.导 数的几何 意义:函数 f ( x) 在 点 x0 处的导 数 f ?( x0 ) 的几何意义 就是曲线 y ? f ( x) 在 点 处 的 . 4.常见函数的导数: ( C 为常数); ( x n )? ? ; (sin x)? ? ; (cos x)? ? ; C? ? ; (e x )? ? ; (log a x)? ? (a x )? ? 5.导数的运算法则: , [Cf ( x)]? ? ; [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ( x) ,[ [ f ( x) ? g ( x)]? ? ]? ? g ( x) 6.简单复合函数的导数: ? 若 y ? f (u), u ? ax ? b ,则 y ? ? yu ? u x? ,即 y ? ? x x 二.基础练习 1.函数 y ? mx 2m?n 的导数为 y ? ? 4 x 3 ,则 m ? 2.设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ?
x 2

; (ln x)? ?

.

.

. . .

,n? .

3.曲线 y ? e 在点 (2, e ) 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为

? 1 4.曲线 y ? sin x 在点 P( , ) 处的切线方程是 . 6 2 5.已知函数 y ? x3 ? x ? 1 图象上任一点的切线的倾斜角取值范围为
三.典型例题 1.用定义求函数 y ? x 在 x ? 1 处的导数.

.

1 3 4 x ? .⑴求曲线在点 P(2,4) 处的切线方程;⑵求曲线过点 P(2,4) 处的切线方程;⑶求斜率为 3 3 4 的曲线的切线方程.
2.已知曲线 y ?

3.已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? ax 与 g ( x) ? bx 2 ? c 的图象都过点 P(2,0) ,且在点 P 处有公共切线,求 f ( x), g ( x) 的表 达式.

四.课后作业 1.设 f 0 ( x) 是关于 x 的 5 次多项式, f n ( x) ? f n??1 ( x)(n ? N ? ) ,若 f k ( x) ? 0 ,则 k = . . .

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 无限趋近于 2k 1 x2 3.已知曲线 y ? ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2
2.若 f ?( x0 ) ? 2 ,则当 k 趋近于 0 时, 4.已知 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(0) = .

5.设函数 f ( x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线斜率为 6.已知曲线 S : y ? 3x ? x3 ,点 P(2,2) ,则过点 P 向 S 引切线,其切线条数为 7.设曲线 y ? eax 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 8.直线 y ? . .

.

x . ? b 是曲线 y ? ln x( x ? 0) 的一条切线,则实数 b ? 2 sin x 9.已知 y ? . , x ? (?? , ? ) ,当 y? ? 2 时, x ? 1 ? cos x 9 10.设有抛物线 C : y ? ? x 2 ? x ? 4 ,通过原点 O 作 C 的切线 y ? kx ,使切点 P 在第一象限. 2 ⑴求 k 的值;⑵过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标.


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