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2014年普通高中招生统一考试数学模拟试题及参考答案

2014 年普通高中招生统一考试模拟试题

数 学
第 I 卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分,每小题均有四个选项,其中只有 一个选项是符合题意的,请将正确的选项前的字母代号填涂在答题卡上) 1.在-2、-3、0、1、3 中,最小数与最大数之积为( ▲ ) A.3 B. -6 C. -9 D. 0 2.下列是天气预报中经常使用到的图标,其中既是中心对称又是轴对称图形的为( ▲ )

A.

B.

C.

D.

3.国家统计局于 2014 年 1 月 20 日公布, 2013 年国内生产总值 568845 亿元, 同比增长 7.7%。 其中 568845 亿用科学计数法可写成( ▲ )(保留三位有效数字) A. 5.68× 1012 + 的值为( ▲ ) A.
27 20 31

B. 5.68× 1013

C. 5.69× 1012

D. 5.69× 1013

4.如图所示,直线 AB 与坐标轴分别交于点 A(-3,0)和 B(0,4)且与轴的夹角为,则
22 15 29

B.

C. 20
1

D. 15
√11 ,则的值为( 3

5.一元二次方程( ? )2 ? 11 = 0 的两实根为 3 ± A. 1 B.2

▲) D. 4

C. 3

6.点 A 是质地均匀的正方体“魔方”上的一个顶点,将“魔方”随机投掷在水平桌面上,则 点 A 与桌面接触的概率为( ▲ ) A. C.
1 6 1 2

B. D.

1 3 2 3

7.已知关于的不等式组 { 交点个数为( ▲ ) A. 0

1 ≤ 恰好 3 个整数解,则函数 = + 与 = ?-图像 √5 2 + 1 < 4

B. 1

C. 2
数学试题 第 1 页 共 8 页

D.以上答案均有可能

8.甲、乙两位同学想在正五边形 ABCDE 内部寻求点 P,使得四边形 ABPE 是平行四边形, 其作法如下: (甲)连接 BD 和 CE,两线段交于 P 点,则 P 为所求; (乙)取 CD 中点 M,再以 A 点为圆心,AB 为半径画弧,交 AM 与 P 点,P 点为所求。 则对甲乙两位同学作图方法正确的判断是( ▲ ) A. 甲乙都正确 C. 甲乙都错误 B. 甲正确,乙错误 D. 甲错误,乙正确

第 II 卷(非选择题,共 126 分)
二、填空题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分,不需要写出解答过程,请将答案 直接填写在答题卡相应位置上) 9.已知<0<,||>| |,则|+ |+|-|||= 10.方程:1 = ;1的解为 ▲ 11.任意写出一个经过一、二、四象限的一次函数 ▲ 12.△ABC 与△DEF 相似且相似比为 1:2,则△ABC 与△DEF 的面积比为 ▲ 13.如图所示,AB 切⊙O 于点 B,OA=4,∠OAB=30°,弦 BC//OA,则劣弧 BC 的弧长为 ▲ 14.如图所示是一个几何体的三视图,则此几何体的体积为 ▲ 15.如图所示,芳芳利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片 ABCD 做折纸游戏,她将纸 片沿着 EF 折叠后,D、C 两点分别落在 D′、C ′的位置,利用量角器量得∠BFE=65° ,则∠ AED ′= ▲ ° A D′ B (第 13 题图) (第 14 题图) F C C′ (第 15 题图) E D
1 3



16.倩倩同学左手拿着 3 张深灰色与 2 张浅灰色的牌叠在一起,如图①。该同学每次洗牌的 3 个步骤: 步骤 1:用右手拿出叠在最下面的 2 张牌,如图②;
数学试题 第 2 页 共 8 页

步骤 2:将右手拿的 2 张牌依序交错插入左手拿的 3 张牌之间,如图③; 步骤 3:用左手拿着颜色顺序已改变的 5 张牌,如图④ 。

① ①相同,则所有值之和为

② ▲





若依上述 3 个步骤洗牌, 从图①的情形开始洗牌第次(40 ≥ >1)时其颜色顺序会再次与图

三、解答题(本大题共 11 小题,共 102 分。请在答题卡相应位置处写出必要的文字说明、 解题步骤及证明过程) 17.(本小题 6 分) 计算:(√3 ? π)0 + √25 ? (?1)2014 ? |?2| ? (? 2);2
1

18.(本小题 8 分) 先化简再求值: 2 ? 6 + 92 52 1 2 + = 0 ÷ ( ? ? 2) ? ,其中, 满足方程组 { 2 ? = 6 ? 2 ? 2

数学试题 第 3 页 共 8 页

19.(本小题 8 分) 如图①所示,正方形 ABCD 为一个 6×6 的网格示意图,其中每个小正方的边长是 1,位 于 AD 中点的 P 按照如图②所示的程序进行移动。 (1)请在图中画出点 P 到P′点经过的路径并求出路径的总长度; (2)证明CP′⊥DP′。

第 19 题图①

第 19 题图②

20.(本小题 8 分) 如图,AB 和 DE 是垂直于地面的两根电线杆,已知 AB=5m,某一时刻 AB 在阳光下的 投影 BC=3m。 (1)在图中画出 DE 在阳光下的投影; (2)在测量 AB 的投影时,同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6m,计算 DE 的长。 D A

B

C

E

数学试题 第 4 页 共 8 页

21.(本小题 8 分) 已知反比例函数 = (1)求 k 值; (2)判断点 M(3,2)与 N(-1,6)是否在该函数图像上并说明理由; (3)当 1<x<3 时,求 y 的取值范围。
:1

(k≠-1)的图像经过点 A(2,-3)

22.(本小题 8 分) 在一个不透明的盒子里放有三张卡片,每张卡片上均写有实数,分别是 3,√3,3 + √3 (每张卡片除卡片上面的实数不同外,其他完全相同) 。 (1)从盒子中随机抽取一张卡片,请直接写出卡片上的实数是√3的概率; (2)先从盒子中随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为被减数。卡片不放回,再随机抽取 一张卡片,将卡片上的实数作为减数,请用列表法或树状图发,求出两次抽取的卡片上的实 数之差是有理数的概率。

数学试题 第 5 页 共 8 页

23.(本小题 10 分) 商场某种商品进价为 70 元,当售价定为每件 100 元时,平均每天可销售 20 件。经调查 发现,每件商品每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件。若商场规定每件商品的利润率不 低于 30% ,设每件商品降价 x 元。 (1)商场日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含 x 的代数式表示) ;

(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,日盈利可达到 750 元?

24.(本小题 10 分) 李刚同学对部分同学 1 月在家做家务的时间进行了抽样调查 (时间取整数小时) , 所得数 据统计如下表: 时间分组 频 数 0.5~20.5 20 ; 20.5~40.5 25 40.5~60.5 30 60.5~80.5 15 80.5~100.5 10

(1)抽取样本的容量是

(2)根据表中数据补全图中的频数分布直方图; (3)样本的中位数所在时间段的范围是 ;

(4)若该学校有学生 1200 人, 那么大约有多少学生在 1 月做家务的时间在 20.5~80.5 小时之间?

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25.(本小题 10 分) 定义新运算: A={a,b,c,d,g}, B={a,c,e,f,g},则 A∩ B = *, , +。 举例: 若 A={1,2}, B={2,3,4}, 则 A∩ B={2}; 若 A={-1,-2,2}, B={-2,2,4},则 A∩ B={-2,2}。 (1)若A={1,2,3,5}, B={-1,3,5,7},请直接写出 A∩B 的结果; (2)若 A={0,1,√5},请任意写出两个 B,使得 A∩ B ={1,√5}成立; (3)若 A={使得√ + 1有意义的所有整数}, B={一元二次方程 x?-5x+6=0 的两实根}, 求 A∩ B。

26.(本小题 12 分) 如图所示, △ABC 是⊙O 的内接三角形, AB=AC, 点 P 是弧 AB 的中点, 连接 PA、 PB、 PC。 (1) 如图①,若∠BPC=60°,求证 AP = √3; (2) 如图②,若 sin∠BPC= ,求 tan∠PAB 的值。
25 24 AC

第 26 题图①

第 26 题图②

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27.(本小题 14 分) 如图所示,在直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边长 OA、OC 分别为 12cm 和 6cm。抛 物线 y=ax? +bx+c(a≠0)经过点 A 和 B 且 18a+c=0。 (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 从点 A 开始沿着 AB 边以 1cm/s 的速度向 B 点运动,同时 Q 点从 B 点开始沿着 BC 边以 2cm/s 向 C 点运动。 ①运动开始后第 t 秒时,设△PBQ 的面积为 S,试写出 S 与 t 之间的函数关系,并求出 t 的取值范围; ②当 S 取得最大值时,在抛物线上是否存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形 为平行四边形?若存在,求出 R 点坐标;若不存在,请说明理由。 (3)点 M(m,-2)是直线 y=-2x 轴上的一个动点,当 MA+MC 值最小时,请直接写出 m 的值。 y

O

C x Q

A

P

B

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2014 年普通高中招生统一考试模拟试题

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分)

1 C

2 B

3 D

4 B

5 C

6 C

7 A

8 B

二、填空题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分)

9 -3a-b
三、解答题

10 x=-2

11 y=-x+3

12 1:4

13
2 3

14 33

15 50

16 220

π

17、解:原式 = 1 + 5 ? 1 ? 2 ? 4…………………………………………………………4 分 =3-4=-1 …………………………………………………………………… …6 分 18、解:原式=
(;3)2 (;2) (;3)2

÷

5 2 ;(;2)(:2) ;2 ;2 1

?

1 ;2 1

= (;2) × 92 ;2 ? = (;2) × (3;)(3:) ? …………………………2 分 = (:3) ? = {
3; 1 3;;(:3) (:3)

(3;)2

= (:3) = ? :3(*)…………………… 4 分

;2

2

= 2 2 + = 0 , 解方程组得 { …………………………………………… 6 分 = ?4 ? = 6

2 2 1 = 2 将{ 代入(?)式可得 ? :3 = ? 2:3×(;4) = 5…………………………… 8 分 = ?4

19、解:(1)点 P 到点′经过的路径为下图红色折线……………………………………… 2 分 总长度为 PP2+P1P2+P1P′=3+6√2……………………………………………………4 分 (2)连接CP′和DP′,显然由图可知DP′= CP′=3√2,而 DC=6………………………… 6 分 DP′2 + DP′ = DC 2 , 故 △ DP ′ C 为等腰直角三角,即 DP ′ ⊥ CP′…………………… 8 分

数学试题 第 9 页 共 8 页

20、解:(1)连接 AC,过点 D 作 DF∥AC,交地面于点 F,连接 EF。…………………2 分 线段 EF 即为 DE 在阳光下的投影。……………………………………………………3 分 (2)∵DF∥AC ∴∠ACB=∠DFE ∵ ∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF…………………………………………………5 分 ∴ AB : DE = BC : EF ∴
5 DE

= 6 …………………………………………………………7 分

3

故 DE= 10m………………………………………………………8 分
:1 2

21、解:(1)将点 A 代入反比例函数,可得:-3= (2)∵k=-7,∴反比例函数为 = ∵2 ≠
;6 3 ;6 ;6

, 解出 = ?7………………………2 分

……………………………………………………3 分

, ∴ 点 M 不在该图像上…………………………………………………4 分

∵6 = ;1 , ∴ 点 N 在该图像上……………………………………………………5 分 (3)当 1<x<3 时, -6<y<-2,即 y 的取值范围为-6<y<-2……………………………8 分 22、解:(1)随机抽取一张卡片,卡片上的实数是√3的概率为 ……………………………2 分
3 1

(2)

……………………………………………………6 分

∵共有 6 种等可能的结果,两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况共有 3 种……7 分 ∴两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为6 = 2…………………………………8 分 23、(1) 2x,30-x………………………………………………………………………………2 分 (2)根据题意,可列出方程(20+2x)(30-x)=750………………………………………………4 分 解出1 =5, 2 =15………………………………………………………………………………6 分
3 1

数学试题 第 10 页 共 8 页

当2 =15 时每件商品的价格为 85 元,利润率为 当1 =5 时每件商品的价格为 95 元,利润率为

85;70 70

× 100% < 30%(不符题意) ……7 分

95;70 70

× 100% > 30%(符合题意) ……8 分

故当每件商品降价 5 元时,日盈利可达 750 元………………………………………… 10 分

24、(1)100…………………… 2 分 (2)如右图所示……………… 5分

(3)40.5-60.5……………………7 分 (4)1200×
60 100

= 720 人……… 10 分

25、解(1) A∩B={3,5}………………………………………………………………………2 分 (2)B={1,5, √5}或 B={1,√5}(注:只要 B 中包括 1 和√5即符合题意) …………… 6 分 (3)A={-1,0,1,2,……},B={2,3}………………………………………………………… 8 分 故 A∩B=B={2,3}……………………………………………………………………………10 分

26、(1)证明: ∵ ∠BPC 与 BAC 都对同一弧 BC, ∴ ∠BPC = BAC = 60°……………1 分 又∵AB=AC,∴△ABC 为等边三角形……………………………………………………2 分 ∴ ∠ACB = 60°, ∵ 点 P 是弧 AB 的中点, ∴ ∠ACP = ∠ACB = 30°……… 3 分
2 1

又∠PAC = 90°,所以 AP = 30° = √3………………………………………………… 5 分 (2)解:连接 AO 并延长交 BC 于 F,过点 E 作 EG⊥AC 于 G,连接 OC……………6 分 ∵AB=AC,∴AF⊥BC,BF=FC ∵ 点 P 是弧 AB 的中点, ∴ ∠ACP = ∠PCB, ∴ EG = EF………… 7 分 ∵ ∠BPC = ∠FOC, ∴ ∠FOC = OC = ∠BPC = 25………………8 分 令 FC=24a,则 OA=OC=25a ∴OF=√EC2 ? FC 2 = 7,故 AF=OA+OF=32a………………………9 分 在 Rt△AFC 中, AC=√AF 2 + FC 2 = 40……………………………10 分 ∵ ∠FAC = AE = AC , ∴ 32;EF = 40 , 解得 EF = 12……………11 分
数学试题 第 11 页 共 8 页
EG FC EG 20 FC 24

AC

故 tan∠PAB = ∠PCB =

EF FC

=

12 24

= ……………………………12 分
2

1

27、解(1)∵OA=12cm,OC=6cm 且 OABC 是矩形 ∴点 A 坐标是(0,-12),点 C(6,0),点 B(6,-12)………………………………………1 分 令抛物线为 = 2 + + , 将点 A 和 B 代入抛物线可得: c=-12,36a+6b-12=0 (*)……………………………………………………………………2 分 又 18a+c=0,即 18a-12=0, a=3 代入(?)式得 = ?4………………………………………3 分 故抛物线为 = 3 2 ? 4 ? 12……………………………………………………………4 分 (2) ①假设点 P 和点 Q 运动 t 秒,此时 AP=t cm, BQ=2t cm……………………………5 分 则 BP=AB=AP=(6-t) cm,△PBC = × (6 ? ) × 2 = ?2 2 + 12(0 < < 6) …………7 分
2 1 2 2

②△PBC = ?2 2 + 12 = ?2( ? 3)2 + 18(0 < < 6) 当 t=3 时,△PBC 取得最大值 18 2……………………………………………………9 分 此时点 P(3,-12) ,点 Q 为(6,-6) 假设存在点 R 使得 PQBR 是平行四边且 PQ∥RB,PR∥QB ∵点 B 与点 Q 的横坐标相同,则必有 R 点的横坐标与 P 点的横坐标相同…………10 分 ∴可令 R 点为(6,n),代入抛物线可得 n=-18,即 R 为(3,-18) …………………………11 分 PQ=PB=√45,∵ PQ=RB 且 PQ∥PB 故 PQBR 是平行四边形,此时点 R 坐标为(6,-18) …………………………………12 分 (3)点 A(0,-12),B(6,0)∴经过点 A、C 的直线为:y=2x-12 要使 MA+MC 最小,则点 M 在线段 AC 的垂直平分线 l 上,且直线 l 为 y=? 2 1 9 1 9 2

将点 M(m,-2m)代入直线 l 可得? 2 -2=-2m,解出 m =3………………………………14 分

数学试题 第 12 页 共 8 页


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