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第二章 导数与微分

第二章 导数与微分 内容提要: 本章的内容是一元函数导数与微分的概念和它们的各种运算。 导数与微分是高等 数学中的基本运算之一, 也是考研数学中重点要求的内容。 本章只涉及导数与微分的概念和 基本的运算法则 学习本章最首要的任务就是理解导数的概念。从定义上看,导数实际上是一个“ 型” 的函数极限: ,计算导数实质上就是计算该极限。考生需要熟练掌握直接利用定 义计算导数的方法, 这是本章主要的难点和重点。 从几何意义上看, 导数是曲线切线的斜率; 从物理上看,如果将函数 看作某一物体的位移,它的导数就是该物体的速度。推 而广之,物理上所有的变化率(加速度,电流强度,增长率等)都是导数。由它们可以引出 导数的几何及物理应用,也可以帮助我们进一步加深对导数概念的理解。 导数与微分、可导性与可微性的关系是本章的另一个难点。对于一元函数来说,可导性 与可微性是等价的,它们是同一个问题的两种不同描述方式。可微的定义 很直观地表达了“以直代曲”的思想(即以 和可导都比连续要强,即可导必连续。 一元函数的求导难度不大,但需要多加练习以求熟能生巧。对于导数的四则运算法则, 复合函数球到底链式法则, 反函数求导法则, 隐函数及参数方程求导的法则都是需要通过大 量练习才能熟练掌握的。 计算一般的高阶导数时逐阶计算即可。 某些简单的形式可以通过特殊的方法计算出通式 (即 阶导数)。 近似代替 )。可微 第一节 导数与微分 1 考点精讲 一.基本概念 1.导数的定义 (1)导数: 设函数 到因变量 在 的增量 的领域内有定义,给自变量 在 处加上增量 ,相应的得 。如果极限 存在,则称函数在 处可导,该极限值称为函数在 处的导数,记作 导数的定义式还可以写成 (2)左(右)导数 设函数 在 的左导数定义为 右导数的定义类似 注:回忆函数极限的定义,函数在某一点的极限存在等价于左右极限存在且相等,因此,函 数在一点可导的充要条件就是左右导数存在且相等。 (3)函数在区间上的可导 如果函数 在开区间 上每一点都可导,则称 在开区间 上可导 如果函数 数,则称 在开区间 在闭区间 上可导,且在 上可导 处存在右导数,在 处存在左导 (4)高阶导数 导函数如果也可导,则其导数称为原函数的二阶导数。n(n>2)阶导数的定义依次类推。 2.微分的定义 设函数 量 y 的增量 在 的领域内有定义,当自变量 可以表示为 在 处有增量 时,如果因变 其中 为只与 有关而与 无关的常数, 在 处可微,并称 。 表示 为 的高阶无穷小量(回忆高 在 处的微分,记 阶无穷小量的定义),则称 作 或 ,即 二.基本性质 1.函数可导性与连续性的关系: 由定义可知,可导函数必连续,但连续函数不一定可导,例如 。 2. 可导与可微的关系: 针对一元函数 ,可导性与可微性等价,并且有关系 。 3.导数与微分的四则运算: 设函数 均可导,那么有 4. 复合函数求导的链式法则: 设 则复合函数 ,如果 在 在 处可导,且 在对应的 处可导, 处可导可导,且有: 注:复合函数求导得链式法则可以推广到多个函数复合的情形。 5. 反函数求导法则: 设函数 ,且 在点 的某领域内连续, 在点 的值为 ,则有: 处可导且 , 并令其反函数为 所对应的 为应用方便,反函数求导法则可简记为 。 6. 参数方程求导法则: 设参数方程 ,则 。 7.高阶导数的莱布尼兹公式: 设 均有 阶导数,则有: 阶导数公式 常用的初等函数的 (1) (2) (3) (4) (5) 8.变上限积分求导: 变上限积分求导定理:设函数 在 上连续,则函数 可导,并 且 。 推论 1:设函数 ,则 ; 推论 2:设函数 ,则 ; 推论 3 :设函数 ,且二元函数 。 关于 的偏导数存在,则 9.一阶微分的形式不变性: 设 , 则 由 链 式 法 则 可 知 ,即是说复合函数 ( )的微分 在选取 作为中间变量与自由变量是是一样的。 三.重要公式定理 1.费马引理:设函数 对任意的 ,有 在点 的某领域 内有定义,并且在 ,那么 处可导,如果 。 注:引理中点 的定义就是极值点的定义,费马引理的内容可概括函数在某点取得极值的 必要条件是在该点的导数值为 0 2.罗尔定理:如果函数 满足(1)在闭区间 上连续;(2)在开区间 ;那么在 上 可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即 点 ,使得 。 内至少存在一 注:罗尔定理的几何意义: 条件(1)说明曲线 在 和 之间是连续曲线; 条件(2)说明曲线 在 之间是光滑曲线 条件(3)说明曲线 在端点 和 处纵坐标相等。 结论说明曲线 切线平行于 在点 和点 之间[不包括点 和点 ]至少有一点处的 轴。如下图所示 3.拉格朗日中值定理: 如果函数 满足(1)在闭区间 上连续;(2)在开区间 上可导;那么在 内至少存在一点 注:拉格朗日中值定理的几何意义: ,使得 。 条件(1)说明曲线 ]是连续曲线: 在点 和点 之间[包括点 和点 条件(2)说明曲线 [不包括点 和点 ]是光滑曲线。 结论说明:曲线 割线 在 , 之间[不包括点 和点 ],至少有点处的切线与 是平行的。如下图所示 由拉格朗日中值定理可以得到两个推论: 推论 1 若 在 内可导,且 ,则 在 内为常数。 推论 2 若 和 ,其中 在 为一个常数。 内可导,且 ,则在 内 拉格朗日中值定理实为罗尔定理的推广,当 特殊情形,就是罗尔定理。 4.柯西中值定理: 如果函数 (3)对任意的 和 满足(1)在闭区间 , ;那么在 上连续; (2)在开区间 内至少存在一点 上可导; ,使 得

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