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《线性代数》期末试题A卷参考答案及评分标准


重庆邮电大学 09 级《线性代数》期末试题参考答案及评分标准 (2009-2010 学年第 2 学期) 卷) (A
一、 (本大题共 2 小题,共 10 分) 1、 分) (5 解
(A B)
T T

? B A ? ?
T

?1 ?3

?? 4??2

2? ? 1 ? 1

1

?2 ?? 1?

5 ? ? ?11 1

1 ? 4 10 ?

?

.

……………… 5 分

2、 分) (5 解 因 A ? E ,所以 A ? A ,
6 5 ?1

于是 A 1 1 ? A 5 ? A ? 1

? 1 ? 2 ? ? ? 3 ?? ? 2

? ?. 1 ? ? 2 ?
2

3 ?

……………… 5 分

二、 (本大题共 2 小题,共 14 分) 3、 分) (7 解 由题设 | A | ? 1 ? ( ? 1) ? 2 ? ? 2
| A || ( 1 2
? | 2 E ? 3 | A | E |? | 2 E ? 6 E |? | 8 E |? 5 1 2

……………… 2 分
? 3 AA |
*

A)

?1

? 3 A |? | 2 A A
*

?1

……………… 6 分 ……………… 7 分

故 |(

1 2

A)

?1

? 3 A |? ? 2 5 6
*

.

4、 分) (7 解

?
x1 ? a D ? x1 ? x1 x2 x2 ? a ? x2 ? ? ? ? xn xn ? xn ? a
?
i ?1

n

xi ? a xi ? a ?

x2 x2 ? a ? x2

?

xn

?
i ?1 n

n

? ? ?

xn ? xn ? a

……………… 3 分

?
i ?1

xi ? a

1 ? ( ? xi ? a )
i ?1 n

x2 x2 ? a ? x2

? ? ? ?

xn xn ? xn ? a

1 ? 1

……………… 5 分

1

1 ? ( ? xi ? a )
i ?1 n

x2 ?a ? 0

? ? ? ?

xn 0 ? ?a ? (? a )
n ?1

0 ? 0

( ? xi ? a )
i ?1

n

……………… 7 分

三、 (本大题共 2 小题,共 14 分) 5、 分) (7 解 由 A X ? 2 X ? A ,知 ( A ? 2 E ) X ? A
? ?1 ? 而 A ? 2E ? 0 ? ? ? ?1
?1 ?1 0

?2

? ?1 可逆,所以 X ? ( A ? 2 E ) A ? ? ?1 ?
? 2? 3 2 3 ? 1 3

0 ?

……………… 2 分

? 1 ? ? 3 ? ?1 ? 2 ( A ? 2 E) ? ? ? 3 ? 1 ? ? ? 3

1 3 ? ? 1 3 1 3

? ? ?, ? ? ? ? ?
2 3 1 3 ? 4? 3 4 3 1 3

……………… 5 分

? 1 ? 3 ? 4 ?1 故 X ? ( A ? 2 E) A ? ? ? ? 3 ? 2 ? ? ? 3

?

2 3

? ? ? ? ? ? ? ?

……………… 7 分

另解 由 A X ? 2 X ? A ,知 ( A ? 2 E ) X ? A
? 1 ? ? 行变换 ??? ?0 ? ? ? ?0 ? ?
0 0 1 3 1 0 ? 4 3 0 1 2 3

……………… 2 分
2 3 1 3 ? 2 3 ? 4? 3 4 3 1 3

? ?1 ? ( A ? 2 E , A) ? 0 ? ? ? ?1

?1 ?1 0

0 ?2 ?1

1 0 ?1

?1 1 0

?2

? ? ? 1 ?

0 ?

? ? ? ? ? ? ? ?

所以

? 1 ? 3 ? ? 4 X ? ? ? 3 ? 2 ? ? ? 3

2 3 1 3 ? 2 3

?

4? 3

4 3 1 3

? ? ? ? ? ? ? ?

……………… 7 分

2

6、 分) (7
3?? 0 2 ?1 ? ?

解 特征多项式 | A ? ? E | ?

? ( ? ? 1)( ? ? 3) ,

A 的特征值为 ? 1 ? ? 1, ? 2 ? 3 ,
? 1 ? ?, ? ?2 ?

……………… 3 分

对应 ? 1 ? ? 1 ,解方程组 ( A ? E ) X ? O ,得基础解系 ? 1 ? ?

……………… 4 分

对应 ? 1 ? 3 ,解方程组 ( A ? 3 E ) X ? O ,得基础解系 ? 2 ? ? ? ,
?0?

?1?

……………… 5 分

令P ? ?

? 1 ? ?2

1?

? ?1 ?1 ? ,则 P 可逆,且 P A P ? ? 0? ?

? ? 3?

……………… 7 分

四、 (本大题共 2 小题,共 14 分) 7、 分) (7
? 1 ? 二次型的矩阵为 A ? 1 ? ? ? ?2
1 3 0 ?2 ? 0



? ; ? ? 5 ?

……………… 2 分

f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? x1 ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? 2 x1 x 2 ? 4 x1 x 3 ? ( x1 ? x 2 ? 2 x 3 ) ? 2 ( x 2 ? x 3 ) ? x 3
2 2 2 2 2

2



? y 1 ? x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? ? y 2 ? 2 x2 ? 2 x3 , ? y ? x 3 ? 3
f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? y 1 ? y 2 ? y 3
2 2 2

……………… 6 分



.

……………… 7 分

8、 分) (7 解 设 ? ? ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ? R ,则 ? 应满足齐次线性方程组
T 4

? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0 , ?2x ? x ? x ? 3x ? 0 ? 1 2 3 4

……………… 3 分

解得基础解系 ? ? (0 , ? 2 , ? 1,1) ,
T

……………… 6 分
3

单位化,得 ? ? ( 0 , ?

2 6

,?

1 6

,

1 6

)

T

……………… 7 分

五、 (本大题共 2 小题,共 16 分) 9、 分) (8
?2 ? 1 A ? (? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5? )? ?4 ? ?3
? 1 1 ? 6 6 ? 1 ? 2 2 ? 9 1 1 ? 2 7



?2 ? 4 ?? ?4 ? ?9

? ? ? ? ? ?

1 0 0 0

0? 1 ? 0 0

1 1 0 0

? 3 ? …… 4 分 ? ? 3 1 ? 0 ? 0
0

0 ?

4

所以向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 的秩为 3, ? 1 , ? 2 , ? 4 是一个最大无关组,且
? 3 ? ? ? 1 ? ? 2 , ? 5 ? 4 ? 1 ? 3? 2 ? 3? 4 .

……………… 8 分

10、 分) (8 解 设 ( ? 1 , ? 2 , ? 3 ) ? (? 1 , ? 2 , ? 3 ) P ,令 A ? (? 1 , ? 2 , ? 3 ), B ? ( ? 1 , ? 2 , ? 3 ) ,则 B ? A P ,于是
P ? A B
?1

.
1 0 ?1 1 0 1 1 2 1 2 3 4 3 ?1 0

……………… 2 分
?1 ? ? 4 ? 0 ? ? ? ? 3? ?0
4 ? 3? 0 1 0 0 0 1 2 0 ?1 3 ?1 0 4 ?

?1 ? ( A, B ) ? 1 ? ? ?1

? , ? ? ?1 ?
0

……………… 7 分

? 2 ? 故所求过渡矩阵为 P ? 0 ? ? ? ?1

? . ? ? ?1 ?
0

……………… 8 分

另解 设 ( ? 1 , ? 2 , ? 3 ) ? (? 1 , ? 2 , ? 3 ) P ,令 A ? (? 1 , ? 2 , ? 3 ), B ? ( ? 1 , ? 2 , ? 3 ) ,则 B ? A P ,于是
?1 ? ?1 P ? A B ? 1 ? ? ?1
1 0 ?1 1?
?1

? 0 ? ? 1?

?1 ? 2 ? ? ?1

2 3 4

?0 ? ?1 4 ? 2 ? ? ? ?1 3? ?2
3?

1 0 ?1

?? ? 1 2 2 ? ? 1 ? ? 1 2 ? ?

0 ??1

2 3 4

3?

? 2 ? ? 4 ? 0 ? ? ? ? 3 ? ? ?1

3 ?1 0

? . ……… 8 分 ? ? ?1 ?
0

4 ?

六、 (本大题共 2 小题,共 20 分) 11、 (12 分)
?
1 1 1 ? ( ? ? 2 )( ? ? 1)
2



系数行列式 | A | ? 1
1

?
1

……………… 4 分

?

当 ? ? ? 2 且 ? ? 1 时, | A | ? 0 ,方程组有唯一解;
4

……………… 6 分

? ?2 ? 当 ? ? ? 2 时,增广矩阵 B ? ( A , b ) ? 1 ? ? ? 1

1 ?2 1

1 1 ?2

?1 ? ? ?2 ? 0 ? ? ? ? 4 ? ?0

1 ?

?2 1 0

1 ?1 0

?2 ? 1

? , ? ? 3 ?

知 R ( A ) ? 2 , R ( B ) ? 3 ,故方程组无解; 当 ? ? 1 时,方程组为 x1 ? x 2 ? x 3 ? 1 ,方程组有无穷多解,通解为
? x1 ? ? 1 ? ? ?1? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? 0 ? c 1 1 ? c 2 0 ( c 1 , c 2 是任意数). ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x3 ? ? 0 ? 0 ? 1 ? ? ? ?

……………… 8 分

……………… 12 分

12、 分) (8 解 1)由题设知方程组有非零解,所以系数行列式 | A |? 0 ,即
1 | A |? 2 3 2 ?1 1 ?2

?
?1

? 5 ( ? ? 1) ? 0

……………… 3 分

得? ? 1 ; 2)因 A ? O ,所以 R ( A ) ? 0 ,而 R ( B ) ? 3 ? R ( A ) ? 3 ,故 | B | ? 0 . 七、 (本大题共 2 小题,共 12 分) 13、 分) (6 证 因 A ? B ? C, A ? B ? C
T T T

……………… 5 分 ……………… 8 分

? B ?C


2

……………… 1 分 , ……………… 3 分 ……………… 6 分

AA
T

T

? ( B ? C )( B ? C ) ? B

2

? BC ? CB ? C ? BC ? CB ? C

A A ? ( B ? C )( B ? C ) ? B

2

2

所以 A A ? A A ? ? B C ? C B ? B C ? C B ? 2 B C ? 2 C B ? B C ? C B
T T

14、 分) (6 证 由已知条件得矩阵等式
? 1 ? 0 ( ? 1 , ? 2 , ? , ? r ) ? (? 1 , ? 2 , ? , ? r ) ? ?? ? ? 0
1 1 ? 0 ? ? ? 0

? ?, ?? ? 1 ?
1

1 ?

……………… 3 分

5

? 1 ? 0 因矩阵 ? ?? ? ? 0

1 1 ? 0

? ? ? 0

? ? 可逆,故 ? , ? , ? , ? 线性无关. 1 2 r ?? ? 1 ?
1

1 ?

……………… 6 分

另证 设 x1 ? 1 ? x 2 ? 2 ? ? ? x r ? r ? o ,即 x1? 1 ? x 2 (? 1 ? ? 2 ) ? ? ? x r (? 1 ? ? 2 ? ? ? ? r ) ? o , 有 ( x1 ? x 2 ? ? ? x r )? 1 ? ( x 2 ? ? ? x r )? 2 ? ? ? x r ? r ? o ,因 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性无关,所以有
? x1 ? x 2 ? ? ? x r ? 0 ? x2 ? ? ? xr ? 0 ? , ? ???? ? ? xr ? 0 ?

……………… 4 分

解得 x1 ? x 2 ? ? ? x r ? 0 ,故 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性无关.

……………… 6 分

6


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