当前位置:首页 >> 数学 >> 北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理科试卷

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理科试卷


北京市西城区 2016— 2017 学年度第一学期期末试卷

高二数学(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2017.1

三 题号 分数 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1. 双曲线 一 二 15 16 17 18 19 20 本卷总分

x2 ? y 2 ? 1的一个焦点坐标为( 3
(B) (0, 2)

) (C) (2, 0) (D) (0, 2)

(A) ( 2, 0)

2. 已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍,则椭圆的离心率为( (A)

) (D)

1 2

(B)

2 2

(C)

1 5

5 5

3. 设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( (A)若 ? // ? , l // ? ,则 l ? ? (C)若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ?



(B)若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ? (D)若 ? ? ? , l // ? ,则 l ? ?

4. 设 m ? R ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? m 有实根”的逆否命题是(
2



(A)若方程 x ? m 有实根,则 m ? 0
2

(B)若方程 x ? m 有实根,则 m ? 0
2 2

(C)若方程 x ? m 没有实根,则 m ? 0 (D)若方程 x ? m 没有实根,则 m ? 0
2

5. 已知 ? , ? 表示两个不同的平面,m 为平面 ? 内的一条直线, 则“ ? ? ? ” 是“ m ? ? ” 的( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

高二数学第一学期期末试卷(理科)第 1 页共 9 页

6. 已知双曲线的焦点在 x 轴上,焦距为 2 5 ,且双曲线的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,则双曲线的标准方程为( )

x2 ? y2 ? 1 (A) 4

y2 ?1 (B) x ? 4
2

3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 ? ? 1 (D) ? ?1 (C) 20 5 5 20

7. 已知 A(3, 0) , B(0, 4) ,动点 P( x, y) 在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值为( (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2



8. 用一个平面截正方体和正四面体,给出下列结论: ① 正方体的截面不可能是直角三角形; ② 正四面体的截面不可能是直角三角形; ③ 正方体的截面可能是直角梯形; ④ 若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形. 其中,所有正确结论的序号是( (A)②③ (B)①②④ ) (C)①③ (D)①④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“ ?x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是______________________.
2

10. 已知点 M (0,?1) , N ( 2,3) . 如果直线 MN 垂直于直线 ax ? 2 y ? 3 ? 0 ,那么

a 等于_______.
11. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线 AD, BD 1 所成角 的余弦值为_________. 12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示,则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.
4

2

2

正 (主) 视图

13. 设 O 为坐标原点,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , P 为抛物 线上一点. 若 PF ? 3 ,则 △OPF 的面积为_________.
俯视图

14. 学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线 围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方 程,决定把抛物线的顶点确定为原点,对称轴确 定为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,但 是他无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过 对碗的相关数据的测量以及进一步的计算,帮助
高二数学第一学期期末试卷(理科)第 2 页共 9 页

他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________(所有测量数据 用小写英文字母表示) ,算出的抛物线标准方程为___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , E 是 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC // 平面 BDE ; (Ⅱ)证明: BD ? CE . E P

A B C

D

16. (本小题满分 13 分) 如图, PA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? 2 BC ? 2 , M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: AM ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值. A P M C

B

17. (本小题满分 13 分) 已知直线 l 过坐标原点 O ,圆 C 的方程为 x ? y ? 6 y ? 4 ? 0 .
2 2

(Ⅰ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 与圆 C 相交所得的弦长; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 交于两点 A, B ,且 A 为 OB 的中点,求直线 l 的方程.

高二数学第一学期期末试卷(理科)第 3 页共 9 页

18. (本小题满分 13 分) 已知 F1 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆交于两点 P, Q . 4 3
?

(Ⅰ)若直线 l 的倾斜角为 45 ,求 PQ ; (Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k (k ? 0) ,点 P 关于原点的对称点为 P? ,点 Q 关于 x 轴的对称点 为 Q? , P?Q? 所在直线的斜率为 k ? . 若 k ? ? 2 ,求 k 的值.

19. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中,平面 EAD ? 平面 ABCD , DC // AB , BC ? CD ,

EA ? ED ,且 AB ? 4 , BC ? CD ? EA ? ED ? 2 .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 CE 上是否存在一点 F ,使得 平面 BDF ? 平面 CDE ,请说明理由. A E D C

B

20. (本小题满分 14 分) 如图,过原点 O 引两条直线 l1 , l2 与抛物线 W1 : y 2 ? 2 px 和 W2 : y 2 ? 4 px (其中 p 为常 数, p ? 0 )分别交于四个点 A1 , B1 , A2 , B2 . (Ⅰ)求抛物线 W1 ,W2 准线间的距离; (Ⅱ)证明: A 1B 1 // A2 B2 ; (Ⅲ)若 l1 ? l2 ,求梯形 A1 A2 B2 B1 面积的最小值.

y

A2
A1
O

x
B1
B2

高二数学第一学期期末试卷(理科)第 4 页共 9 页

北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷

高二数学(理科)参考答案及评分标准 2017.1
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C; 2.D; 3. B ; 4. D; 5. B; 6. A; 7. C ; 8. D. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ; 12. 8 3 ; 10. 1 ; 11.

3 ; 3

13.

2;

14. 碗底的直径 m ,碗口的直径 n ,碗的高度 h ; y 2 ?
注:一题两空的题目,第一空 2 分,第二空 3 分.

n 2 ? m2 x. 4h

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OE , 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 O 为 AC 中点. 又因为 E 是 PA 的中点,所以 PC // OE , 因为 PC ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 PC // 平面 BDE . ……………6 分 A B O C D ………3 分 E P

(Ⅱ)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BD ? AC . ……8 分 因为 PA ? 底面 ABCD ,且 BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD . ……………10 分

又因为 AC I PA ? A ,所以 BD ? 平面 PAC , 又 CE ? 平面 PAC , 所以 BD ? CE . 16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC . 因为 BC ? AB , PA ? AB ? A , 所以 BC ? 平面 PAB . 所以 AM ? BC .
高二数学第一学期期末试卷(理科)第 5 页共 9 页

……………12 分

……………13 分

……………2 分 ……………3 分

因为 PA ? AB , M 为 PB 的中点, 所以 AM ? PB . 所以 AM ? 平面 PBC . ……………4 分 ……………5 分 A P x

z

C y B M

(Ⅱ)如图,在平面 ABC 内,作 Az // BC , 则 AP, AB, AZ 两两互相垂直, 建立空间直角坐标系 A ? xyz .

则 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0, 2,0), C(0, 2,1), M (1,1,0) .

??? ? ??? ? ???? ? AP ? (2,0,0) , AC ? (0, 2,1) , AM ? (1,1,0) . ??? ? ? n ? AP ? 0, ? 设平面 APC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ???? ? ?n ? AC ? 0,
即?

……………8 分

? x ? 0, 令 y ? 1, 则 z ? ?2 .所以 n ? (0,1, ?2) . ?2 y ? z ? 0. ???? ? 由(Ⅰ)可知 AM ? (1,1,0) 为平面 BPC 的法向量, ???? ? 设 n, AM 的夹角为 ? , ???? ? n ? AM 1 10 ? ???? ? ? 则 cos ? ? . 5 2 10 n AM
因为二面角 A ? PC ? B 为锐角, 所以二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 17.(本小题满分 13 分)

……………10 分

……………12 分

10 . 10

……………13 分

解:(Ⅰ)由已知,直线 l 的方程为 y ? 2 x ,圆 C 圆心为 (0,3) ,半径为 5 ,………3 分 所以,圆心到直线 l 的距离为 所以,所求弦长为 2 2 . (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ) ,因为 A 为 OB 的中点,则 B(2x1 ,2 y1 ) . 又 A, B 圆 C 上, 所以

3 3

? 3.

……………5 分 ……………6 分 ……………8 分

x12 ? y12 ? 6 y1 ? 4 ? 0 ,
2 2 即 x1 ? y1 ? 3 y1 ? 1 ? 0 . 4x12 ? 4 y12 ?12 y1 ? 4 ? 0 ,

……………10 分 ……………11 分 ……………12 分 ……………13 分

解得 y1 ? 1 , x1 ? ?1 , 即 A(1,1) 或 A(?1,1) . 所以,直线 l 的方程为 y ? x 或 y ? ? x .

高二数学第一学期期末试卷(理科)第 6 页共 9 页

18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,由已知,椭圆的左焦点为 (?1, 0) , 又直线 l 的倾斜角为 45 ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,
?

……………1 分 ……………3 分

由?

? y ? x ? 1,
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

得 7 x ? 8x ? 8 ? 0 ,
2

所以 x1 ? x2 ? ?

8 8 , x1 x2 ? ? . 7 7

……………4 分

8 8 24 | PQ |? 1 ? k 2 [( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 (? )2 ? 4 ? ? . 7 7 7
(Ⅱ)由 ?

……………5 分

? y ? k ( x ? 1), ?3 x ? 4 y ? 12
2 2

得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 ,
2 2 2 2

……………6 分

所以 x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

……………8 分

依题意 P?(? x1 , ? y1 ), Q?( x2 , ? y2 ) ,且 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ? 1) , 所以, k ? ?

y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ) , ? x1 ? x2 x1 ? x2
2

……………10 分

12 1 ? k 2 其中 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? , 3 ? 4k 2
3 1? k 2 ?8k 2 ? k ? ? 2. 结合 x1 ? x2 ? ,可得 2k 3 ? 4k 2
解得 7k ? 9 ,k ? ?
2

……………11 分

……………12 分

3 7. 7

……………13 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 BC ? CD , BC ? CD ? 2 . 可得 BD ? 2 2 . 由 EA ? ED ,且 EA ? ED ? 2 , 可得 AD ? 2 2 . 又 AB ? 4 . 所以 BD ? AD . …………2 分 又平面 EAD ? 平面 ABCD , 平面 ADE ? 平面 ABCD ? AD , 所以 BD ? 平面 ADE . (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 D(0,0,0) , B(0, 2 2,0) , C(? 2, 2,0) , E( 2,0, 2) ,
高二数学第一学期期末试卷(理科)第 7 页共 9 页

z bn E D C

A x

y

B

……………4 分

??? ? ??? ? ???? …………6 分 BE ? ( 2, ?2 2, 2) ,DE ? ( 2,0, 2) , DC ? (? 2, 2,0) . ??? ? ???? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 CDE 的一个法向量,则 n ? DE ? 0 , n ? DC ? 0 ,
即?

? x ? z ? 0, 令 x ? 1, 则 n ? (1,1, ?1) . ? ? x ? y ? 0.

……………7 分

设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 ? ,

??? ? ??? ? | BE ? n | | 2 ? 2 2 ? 2 | 2 则 sin ? ?| cos ? BE, n ?|? ??? . ? ? ? 3 | BE | ? | n | 2 3? 3
所以 BE 和平面 CDE 所成的角的正弦值 (Ⅲ)设 CF ? ?CE , ? ? [0,1] .

……………8 分

2 . 3

……………9 分

??? ?

??? ?

又 DC ? (? 2, 2,0) , CE ? (2 2, ? 2, 2) , BD ? (0, ?2 2,0) . 则 DF ? DC ? CF ? DC ? ?CE ? 2(2? ?1, ?? ? 1, ?) .

????
????

??? ?

??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

??? ? ???? 设 m ? ( x' , y' , z' ) 是平面 BDF 一个法向量,则 m ? BD ? 0 , m ? DF ? 0 ,
即?

……………10 分

? y' ? 0, ?(2? ? 1) x' ? (?? ? 1) y' ? ? z' ? 0.
2? ? 1

……………11 分

令 x' ? 1 ,则 m ? (1,0, ?

?

).
2? ? 1

……………12 分

若平面 BDF ? 平面 CDE ,则 m ? n ? 0 ,即 1 ?

?

? 0 ,? ?

1 ? [0,1] .……13 分 3
……………14 分

所以, 在线段 CE 上存在一点 F 使得平面 BDF ? 平面 CDE . 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知,抛物线 W1 ,W2 的准线分别为 x ? ? 所以,抛物线 W1 ,W2 准线间的距离为

p 和x ? ?p, 2

……………2 分 ……………4 分

p . 2

(Ⅱ)设 l1 : y ? k1 x ,代入抛物线方程,得 A 1 , A2 的横坐标分别是

2p 4p 和 2 . ………5 分 k12 k1

1 | OA1 | | OB1 | 1 ? ? ,同理 ? , 2 2 2 | OA2 | | OB2 | 2 16 p 16 p ? 2 k14 k1
所以 △OA 1B 1 ?△OA2 B2 , 所以 A 1B 1 // A2 B2 . (Ⅲ)设 A : x ? ty ? m1 , 1 ( x1 , y1 ) , B 1 ( x2 , y2 ) ,直线 A 1B 1 方程为 l A 1B 1 代入曲线 y ? 2 px ,得 y 2 ? 2 pty ? 2 pm1 ? 0 ,
2

4 p2 4 p2 ? 2 k14 k1

……………7 分

……………8 分

所以 y1 ? y2 ? 2 pt , y1 y2 ? ?2 pm1 .
高二数学第一学期期末试卷(理科)第 8 页共 9 页

……………9 分

2 2 由 l1 ? l2 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,又 y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,

y12 y2 2 ? y1 y2 ? 0 ,由 y1y2 ? ?2pm1 ,得 m1 ? 2 p . 所以 4 p2
所以直线 A1B1 方程为 lA1B1 : x ? ty ? 2 p , 同理可求出直线 A2 B2 方程为 lA2 B2 : x ? ty ? 4 p . 所以 | A1 B1 |? 1 ? t
2

……………11 分

y1 ? y2 ? 2 p 1 ? t 2 t 2 ? 4 ,
2p 1? t2

……………12 分

| A2 B2 |? 4 p 1 ? t 2 t 2 ? 4 ,
平行线 l A1B1 与 l A2 B2 之间的距离为 d ? 所以梯形 A1 A2 B2 B1 的面积 S ? ,

1 ( A1 B1 ? A2 B2 ) ? d ? 6 p 2 t 2 ? 4 , ……………13 分 2 ? 12 p 2
2

当 t ? 0 时,梯形 A1 A2 B2 B1 的面积达最小,最小值为 12 p .

……………14 分

高二数学第一学期期末试卷(理科)第 9 页共 9 页


赞助商链接
更多相关文档:

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理...

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析 (2) - 北京市西城区 2016-2017 学年高二上学期期末试卷 (理科数学) 一、选择题:本大...

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二数...

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 4 页共 9 页 北京市西城区 20162017 学年度第二学期期末试卷 高二数学(理科)参考答案及评分标准 2017.7 一、选择题:...

北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学...

北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷_数学_初中教育_教育专区。北京市西城区 2016— 2017 学年度第二学期期末试卷 高二数学(理科) ...

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二理...

北京市西城区20162017学年度第二学期期末考试高二理科数学试卷(word版含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区2017年7月高二学期期末考试理科...

北京市西城区2016-2017学年高二下学期期末数学试卷(理...

北京市西城区2016-2017学年高二学期期末数学试卷(理科)(word版含答案) - 2016-2017 学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 8 ...

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷英语试题

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷英语试题 - 北京市西城区 2016—2017 学年度第一学期期末试卷 高二英语 试卷满分:140 分 2017.1 考试时间:120 ...

2016-2017学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期期...

2016-2017学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期期末考试数学试卷 - 2016~2017 学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期理科期末数学试卷 选择 1. 某单位...

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三...

北京市西城区20162017学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题_数学_高中教育_教育专区。完美编辑 北京市西城区 20162017 学年度第一学期期末试卷 1.已知...

西城区2016-2017学年第一学期高三期末数学(理)试题及答...

西城区2016-2017学年第一学期高三期末数学(理)试题及答案(官方版)_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科)...

北京市西城区2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)...

北京市西城区2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com