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三角函数与平面向量综合题的六种类型二答案

三角函数与平面向量综合题的六种类型(二)答案
例 4: (1)m=1 例 5:A 例 6: (2) 1- 2;{x|x=k? -

3? ,k ? Z} 8

3? 2 ? 3? ? ? ; ? ; ?k? ? , k? ? ? k ? Z 2 8 8 ? ?

π 3 1 x+ ?-1=4cosx? sinx+ cosx?-1= 3sin2x+2cos2x-1 针对性训练 1.【解答】 (1)因为 f(x)=4cosxsin? ? 6? 2 ?2 ? π ? = 3sin2x+cos2x=2sin? ?2x+6?, 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 2 解: (I) f ( x) ?

1 sin 2 x ? 3 cos 2 x 2

1 sin 2 x ? 2 1 ? sin 2 x ? 2 ?

3 (1 ? cos 2 x) 2 3 3 cos 2 x ? 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 3 2
故 f ( x ) 的最小正周期为

T ?

2? ? ?. 2

(II)依题意 g ( x) ? f ( x) ?

?
4

?

3 2

? ? 3 3 ? sin[2( x ? ) ? ] ? ? 4 3 2 2
? sin(2 x ? ) ? 3. 6
当 x ? [0,

?

?
4

]时, 2 x ?

?
6

? [?

? ?

, ], g ( x) 为增函数, 6 3

所以 g ( x)在[0, 3.C

?

? 3 3 ] 上的最大值为 g ( ) ? . 4 4 2

3 → 4.【解】 (Ⅰ )∵ p 、→ q 共线,∴ (2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA),则 sin2A= , 4

又 A 为锐角,所以 sinA=

3 ? ,则 A= . 2 3

? (π- -B)-3B 3 C - 3B (Ⅱ )y=2sin2B+cos =2sin2B+cos 2 2 1 3 ? =2sin2B+cos( -2B)=1-cos2B+ cos2B+ sin2B 3 2 2 3 1 ? = sin2B- cos2B+1=sin(2B- )+1. 2 2 6 ? ? ? 5? ? ? ? ∵ B∈ (0, ),∴ 2B- ∈ (- , ),∴ 2B- = ,解得 B= ,ymax=2. 2 6 6 6 6 2 3 → 5.解: (Ⅰ )f(x)=→ a· b =m(1+sinx)+cosx, ? ? ? 由 f( )=2,得 m(1+sin )+cos =2,解得 m=1. 2 2 2 ? (Ⅱ )由(Ⅰ )得 f(x)=sinx+cosx+1= 2sin(x+ )+1, 4 ? 当 sin(x+ )=-1 时,f(x)的最小值为 1- 2. 4 → → → → 6.【解】 (Ⅰ )∵ a⊥ b ,∴ a· b =0.而→ a =(3sinα,cosα) ,→ b =(2sinα, 5sinα-4cosα), → 故→ a· b =6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0. 4 1 由于 cosα≠0,∴ 6tan2α+5tanα-4=0.解之,得 tanα=- ,或 tanα= . 3 2 3? 1 4 ∵ α∈ ( ,2π) ,tanα<0,故 tanα= (舍去) .∴ tanα=- . 2 2 3 3? α 3? (Ⅱ )∵ α∈ ( ,2π) ,∴ ∈ ( ,π) . 2 2 4 4 α 1 α α 5 α 2 5 由 tanα=- ,求得 tan =- ,tan =2(舍去) .∴ sin = ,cos =- , 3 2 2 2 2 5 2 5 2 5+ 15 α ? α ? α ? 2 5 1 5 3 ∴ cos( + )=cos cos -sin sin =- × - × =- 2 3 2 3 2 3 5 2 5 2 10 → → → → 7、 【解】(Ⅰ )由 m ⊥n ,得 m · n =0, 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0 ∴ 2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0, 1 ? ∵ A、B∈ (0,π),∴ sinB≠0,cosA= ,故 A= . 2 3 ? ? ? (Ⅱ )y=2sin2B+2sin(2B+ )=(1-cos2B)+sin2Bcos +cos2Bsin 6 6 6 3 1 ? =1+ sin2B- cos2B=1+sin(2B- ). 2 2 6 2? 7 ? ? ? 由(Ⅰ )得,0<B< ,- <2B- < , 3 6 6 6 ? ? ? ∴ 当 2B- = ,即 B= 时,y 取最大值 2. 6 2 3


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