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四川省南充市2011届第二次高考适应性考试理数


四川省南充市 2011 届第二次高考适应性考试

数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生 答题时,注意事项见答题卡,在本试卷上答题无效。考试结束后,只将答题卡交回。

第Ⅰ卷

选择题(满分 60 分)

注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 3.参考公式 ①如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S = 4πR 2 ②如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 其中 R 表示球的半径 ③如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 球的体积公式 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k

4 V球 = πR 3 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的。
1.已知命题 p :| 5 x ? 2 |> 3, q : A.充分不必要条件 C.充要条件

1 > 0, 则?p是?q 的 x + 4x ? 5
2





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知向量 a, b 不共线,若 AB = λ1 a + b, AC = a + λ 2 b ,且 A、B、C 三点共线,则关于实数λ1、

λ2 一定成立的关系式为
A. λ1 = λ2 = 1 3.等差数列 {an }中, a8 ? B. λ1 = λ2 = ?1 C. λ1λ2 = 1 D. λ1 + λ2 = 1





1 a11 = 6 ,则数列的前 9 项之和等于 2





A.24 B.48 C.72 D.108 4.△ABC 满足 sin B = cos A sin C ,则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形





5.函数 f ( x ) = π x ? sin x ( x ∈ R ) 的部分图象是





6.设 f

1 ( x) 是函数 f ( x) = 2 x ? ( ) x + x 的反函数,则使 f ?1 ( x) > 1 成立的 x 的取值范围是( ) 3 8 8 8 A. ( ?∞, ) B. ( , +∞ ) C. (0, ) D. (?∞, 0) 3 3 3 1 * 7.数列 {an } 的首项 a1 = 1, 前 n 项之和为 Sn ,已知向量 a = (1, a n ), b = ( a n +1 , ), 且 n ∈ N 时,a ⊥ b 成 2
?1

立,则 lim S n
n →∞

( B.—1 C.



A.

1 2

2 3

D.

3 2

?3x ? y ? 6 ≤ 0 ? 8.设实数 x,y 满足约束条件 ? x ? y + 2 ≥ 0 ,若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为 12, ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?


2 3 + 的最小值为 a b
B.





A.4

11 3

C.

8 3

D.

25 6

9.某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙 同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种类为 ( ) A.720 B.520 C.600 D.360 10.已知 A、B、C 是表面积为 48π的球面上三点,且 AB=2,BC=4, ∠ABC = 角 O—AB—C 的大小为 A. arccos

π
3

,O 为球心,则二面 ( )

3 3

B. arccos

33 11

C.

π
4

D.

π
6

11.已知双曲线 C : 若 AF = A.

x2 y 2 ? = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点, a 2 b2
( C. )

6 5

4 AB ,则 C 的离心率为 5 7 B. 5

8 5

D.

9 5

12.已知函数 f ( x)的导函数为f ′( x) = 4 + 3cos x, x ∈ ( ?1,1), 且f (0) = 0 ,如果 f(1-a)+f(1-a ) ∠0 ,则实数 a 的取值范围是
2

( C. ( ?2, ? 2)



A. (0,1)

B. (1, 2)

D. ( ?∞, ?2) ∪ (1, +∞)

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分)
注意事项: 1.用黑色签字笔答在答题卡上对应的框内。 2.答题前将答题卡上的项目填写清楚。 二、填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上。 13.在 (1 ? x) 6 (2 ? x) 的展开式中含 x 的项的系数是
3



14.如果直线 l : y = kx ? 5与圆x 2 + y 2 ? 2 x + my ? 4 = 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线

2 x + y = 0 对称,则直线 l 被圆截得的弦长为



15.在平面直角坐标系中,若方程 m( x 2 + y 2 + 2 y + 1) = ( x ? 2 y + 3) 2 所表示的曲线是椭圆,则实数 m 的取值范围是 16.已知复数 z = 。

1+ i + (1 ? i )2 (i 是虚数单位) 是 z 的虚部,且函数 f ( x) = log a (2 x 2 ? bx) ,b 1? i 1 (a > 0且a ≠ 1) 在区间 (0, )内f ( x) > 0 恒成立,则函数 f ( x) 的递增区间是 。 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f (t ) =

1? t 17π , g ( x) = cos x ? f (sin x) + sin x ? f (cos x), x ∈ (π , ]. 1+ t 12

①将函数 g ( x)化简成A sin(ω x + ? ) + B, ( A > 0, ω > 0, ? ∈ [0, 2π )) 的形式。 ②求函数 g ( x ) 的值域。

18. (本题满分 12 分) 用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃 (不一定用完每一种颜色的鲜花) ,要求同一区域上用同一种颜色的鲜花, 相邻区域用不同颜色的鲜花。 ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率;

②记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ,求ξ的分布列和数学期望 Eξ.

19. (本题满分 12 分) 在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形, 其中 BC//AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点。 ①求证:PO⊥平面 ABCD; ②求异面直线 PB 与 CD 的夹角; ③求点 A 到平面 PCD 的距离。

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ln(e x + 1) ? ax( a ∈ R ). ①若曲线 y = f ( x)在x = 0 处与直线 x + y = b 相切,求 a,b 的值; ②设 x ∈ [ ? ln 2, 0]时, f ( x)在x = 0 处取得最大值,求实数 a 的取值范围。

21. (本题满分 12 分) 已知不垂直于 x 轴的动直线 l 交抛物线 y 2 = 2mx ( m > 0) 于 A、B 两点,若 A、B 两点满足∠ AQP=∠BQP,其中 Q(—4,0) ,原点 O 为 PQ 的中点。 ①求证:A、P、B 三点共线; ②当 m=2 时,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ′ ,使得 l ′ 被以 AP 为直径的圆所截得的弦长为定值,如 果存在,求出 l ′ 的方程,如果不存在,请说明理由。

22. (本题满分 14 分) 已知数列 {an }满足 : a1 = 1, an +1 = ①求数列 {an } 的通项公式; ②证明: ③设 Tn =

1 n an + n +1 (n ∈ N * ). 2 2

1 2n ?1
2

≤ an ≤ 1 ;

T 2n 1 2 an , 且kn = ln(1 + Tn ) + Tn2 , 证明 < n. 2 Tn + 2 kn n ?n+4


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