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2013-2014高三小练习3


命题人: 周如钢

审核人:邹湘平

练习时间 2013 年 8 月 12 日

阳江一中 2014 届高三数学理科小练习(3)
高三( )班 学号_______ 姓名______________ 成绩__________ 一、选择题(每小题 10 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求) 1. 下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为( ) 1 x ( D) y ? cos x ( B) y ? x3 (C ) y ? 2 ( A) y ? ln x 2. 在下列函数中,奇函数是(
( A) y ? (1 ? x)(1 ? x)

附加题 1.(10 分)用 min ?a, b, c? 表示 a、b、 c 三个数中的最小值,设 f ( x) ? min 2 x , x ? 2,10 ? x ( x ≥ 0) ,则 函数 f ? x ? 的最大值为( 2.(10 分)若函数 g ( x) ? ? )

?

?

( A) 4

(B ) 5

(C ) 6

(D ) 7

)
( B) y ? x ? 1 x

?2 x ? 3( x ? 0) 是奇函数,则 f ( x) ? ______. ? f ( x) ( x ? 0)

(C) y ? ex ? e? x

( D) y ? x ? 1

( x ≤ 0) ?log (8 ? x) 3.(10 分) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? ? 2 ,则 f (2013) ? _______. f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ( x ? 0) ?
4.(20 分)已知 f ( x ) 是定义在 ??1,1? 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 m,n ? [?1,1] , 当 m ? n ? 0 时, f (m) ? f (n) ? 0 . ( ) 证明:函数 f ( x ) 在 ??1,1? 上是增函数; Ⅰ m?n

5 3. 设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) =( 2
( A) ? 1 2
( B) ? 1 4
(C ) 1 4

).
1 2

( D)

4. 函数 y ?

2 的定义域是 (??,1) ? ? 2,5? ,则其值域是( x ?1

)
2 ,? ??
(D ) ( 0 , ?? )

?? a ? 2 ? x ? 1( x≤1) 5. 已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围为( ) ? ( x ? 1) ?log a x ?
( A) (1, 2)
( B) (2,3)
(C) ? 2,3?

?1 ? ( A)(??, 0) ? ? , 2 ? ?2 ?

(B )? ?? , ? 2

1 (C ) ? ? , ? ? ( ) 2

1 1 ) ; (Ⅲ) 若 f ( x) ≤ t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒 (Ⅱ) 解不等式: f ( x ? ) ? f ( 2 x ?1
成立,求实数 t 的取值范围.

( D) (2, ??)

二、填空题(每小题 10 分,满分 30 分, 把答案填在答题卷中相应横线上) .... 6. 函数 f ( x) ? lg( x ?1) 的定义域为___________. 7. 函数 y ? 3x ? 2 1 ? 3x 的值域为___________. 8. 设函数 f ( x) ? ? 题号 答案 1 2

?? x ? a( x ? 1) ?2
x

( x ≥1)
3 4

的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是________. 5 6.___________. 7.____________. 8. ___________.

三、解答题(本大题 20 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 9. 设函数 f ( x) ? 2 ? 2 .
x ?x

( ) 证明:函数 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数; (Ⅱ) 求不等式 f ( x2 ? 2x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集. Ⅰ

1

2

命题人: 周如钢

审核人:邹湘平

练习时间 2013 年 8 月 12 日

阳江一中 2014 届高三数学理科小练习(3)答案
1──5 ABAAC 6. ?2,??? 7. ? ??,1? 8. ?3, ?? ? 9.解: ( ) 证明:∵ f ?( x) ? 2x ln 2 ? 2? x ? ln 2 ? (?1) = (2 x ? Ⅰ 当 x ? (??, ??) 时, 2 x ?
1 ) ln 2 2x

阳江一中 2014 届高三数学理科小练习(3)答案
1──5 ABAAC 6. ?2,??? 7. ? ??,1? 8. ?3, ?? ? 9.解: ( ) 证明:∵ f ?( x) ? 2x ln 2 ? 2? x ? ln 2 ? (?1) = (2 x ? Ⅰ 当 x ? (??, ??) 时, 2 x ?
1 ) ln 2 2x

1 ? 0, 又 ln 2 ? 0 ?? 2x ∴当 x ? (??, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数.?

1 ? 0, 又 ln 2 ? 0 ?? 2x ∴当 x ? (??, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数.?

(Ⅱ) ∵ f (? x) ? 2? x ? 2?( ? x) ? ?(2x ? 2? x ) ? ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数. 由 ( ) 知 f ( x) 在 R 上单调递增,原不等式化为: f ( x2 ? 2x) ? f (4 ? x) . Ⅰ ∴ x2 ? 2 x ? 4 ? x ,即 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,∴ x ? 1或x ? ?4 . ∴所求不等式的解集为 (??, ?4) ? (1, ??) .

(Ⅱ) ∵ f (? x) ? 2? x ? 2?( ? x) ? ?(2x ? 2? x ) ? ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数. 由 ( ) 知 f ( x) 在 R 上单调递增,原不等式化为: f ( x2 ? 2x) ? f (4 ? x) . Ⅰ ∴ x2 ? 2 x ? 4 ? x ,即 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,∴ x ? 1或x ? ?4 . ∴所求不等式的解集为 (??, ?4) ? (1, ??) .

附加题答案:1.C

2. 2 x ? 3

3 .? 3

附加题答案:1.C

2. 2 x ? 3

3 .? 3

3.解:当 x ? 6 时, f ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 6) ∴函数 f ( x) 的值以 6 为周期重复性出现, f (2013) ? f (3) ? f (2) ? f (1) ? f (1) ? f (0) ? f (1) ? ? f (0) ? ?3 4.解: ( ) 证明:任取 ?1≤ x1 ? x2 ≤1 Ⅰ , f ( x1 ) ? f (? x2 ) ( x1 ? x2 ) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? x1 ? x2 f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 , 因为 ?1≤ x1 ? x2 ≤1 ,所以 x1 ? (? x2 ) ? 0 ,由已知有 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 ??1,1? 上是增函数.
1 ? ??1 ≤ x ? 2 ≤ 1 ? 3 (Ⅱ) ∵由 ( ) 知 f ( x) 在 ??1,1? 上是增函数,所以 ??1 ≤ 1 ≤ 1 ∴解集为 {x | ? ≤ x ? ?1} . Ⅰ ? 2 x ?1 ? 1 ? 1 ?x ? 2 ? x ?1 ?

3.解:当 x ? 6 时, f ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 6) ∴函数 f ( x) 的值以 6 为周期重复性出现, f (2013) ? f (3) ? f (2) ? f (1) ? f (1) ? f (0) ? f (1) ? ? f (0) ? ?3 4.解: ( ) 证明:任取 ?1≤ x1 ? x2 ≤1 Ⅰ , f ( x1 ) ? f (? x2 ) ( x1 ? x2 ) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? x1 ? x2 f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 , 因为 ?1≤ x1 ? x2 ≤1 ,所以 x1 ? (? x2 ) ? 0 ,由已知有 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x) 在 ??1,1? 上是增函数.
1 ? ??1 ≤ x ? 2 ≤ 1 ? 3 (Ⅱ) ∵由 ( ) 知 f ( x) 在 ??1,1? 上是增函数,所以 ??1 ≤ 1 ≤ 1 ∴解集为 {x | ? ≤ x ? ?1} . Ⅰ ? 2 x ?1 ? 1 ? 1 ?x ? 2 ? x ?1 ?

(Ⅲ) 由 ( ) 知 f ( x) 在 ??1,1? 上是增函数,且 f (1) ? 1 ,故对 x???1,1? ,恒有 f ( x) ≤ 1 , Ⅰ
故 t 2 ? 2at ≥ 0 ,记 g (a) ? t 2 ? 2at ,对 a???1,1? ,使 g (a) ≥ 0 ,

所以要 f ( x) ≤ t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立,即要 t 2 ? 2at ? 1≥1 成立,

(Ⅲ) 由 ( ) 知 f ( x) 在 ??1,1? 上是增函数,且 f (1) ? 1 ,故对 x???1,1? ,恒有 f ( x) ≤ 1 , Ⅰ
故 t 2 ? 2at ≥ 0 ,记 g (a) ? t 2 ? 2at ,对 a???1,1? ,使 g (a) ≥ 0 ,

所以要 f ( x) ≤ t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立,即要 t 2 ? 2at ? 1≥1 成立,

? g (?1) ≥ 0 只需 ? ,解到 t ≤ ?2 或 t ? 0 或 t ≥ 2 . ? g (1) ≥ 0 所以 t 的取值范围是 ?t t ≤ ?2或t ? 0或t ≥ 2? .

? g (?1) ≥ 0 只需 ? ,解到 t ≤ ?2 或 t ? 0 或 t ≥ 2 . ? g (1) ≥ 0 所以 t 的取值范围是 ?t t ≤ ?2或t ? 0或t ≥ 2? .

3

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