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高考常用数列不等式的证明方法


高考常用数列不等式的证明方法 知识点
一、放缩为等比数列 1.证明:
1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 2

二、裂项放缩

(一) 2(

n ?1 ? n) ?

1 2 2 ? ? ? 2( n ? n ? 1) n 2 n n ? n ?1

(二) bn ? 12 ?
n
2.求证: 1 ?

1 1 n2 ? 4

?

1 1 n? 2

?

1 1 n? 2

( bn ?

1 4 4 1 1 ? ? ? 2( ? )) 2n ? 1 2n ? 1 n 2 4n 2 4n 2 ? 1

1 1 1 5 ? 2 ? ... ? 2 ? 2 2 3 n 3

3. 求证: 2 n ? 1 ? 2 ? 1 ?

1 1 1 ? ... ? ?2 n 2 3 n

1

4.求证: 1 ?

1 1 1 7 1 ? 2 ??? ? ? (n ? 2) ; 2 2 6 2(2n ? 1) 3 5 ( 2n ? 1)

5.求证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? 2 ? ? ; 4 16 36 4n 2 4n

2

三、构造函数放缩
5.ln(x+1)≤x 证明:设 n ? 2时,n ? N ,求证:
*

ln 2 ln 3 ln n ? ?? ?1 2! 3! n!

7.求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n ? 6 (n? N? ) . . ? ? ? ? ? n ? 3n ? 2 3 4 3 6

3

8.证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ? ?? ? ? (n? N? ,n ?1) . 3 4 5 n ?1 4

9. (2012 广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1+1-2n+1,n∈N﹡,且 a1,a2+5, a3 成等差数列。 (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式。 (3)证明:对一切正整数 n,有
1 1 1 1 3 ? ? ? ... ? ? . a1 a2 a3 an 2

4

10.数列 ?an ? 中, 已知 a1 ?

2(n ? 1)an 2 , an?1 ? (n ? N ? ). 5 2an ? n

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an ? an ?1 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? n ?1 10 n(n ? 1)2

11.(2011 年全国)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n?1 1 ? a n

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

5

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 4, S n ? nan ? 2 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; 求证: bn ? an ,(n ? 2, n ? N ? ) ; (3)求证: (1 ?
1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) b2 b3 b3b4 b4b5 (1 ?

n(n ? 1) , (n ? 2, n ? N ? ) . 2

(2)设数列 ?bn ? 满足: b1 ? 4 ,且 bn?1 ? bn2 ? (n ?1)bn ? 2,(n ? N ? )
1 )? ? e . bn bn ?1

6

13.已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3 3an 2, . , an ?1 ? , n ? 1, 5 2an ? 1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? 2, ; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 ? a2 ?

? an ?

n2 . n ?1

7

14.已知 a1 ? 1 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 的图象上,其中 n ? 1, 2,3, 4, ??? (1)证明:数列 {lg(an ? 2)} 是等比数列; (2)设数列 {an ? 2} 的前 n 项积为 Tn ,求 Tn 及数列 {an } 的通项公式; (3)已知 bn 是

1 1 与 的等差中项,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn , an ? 1 an ? 3

求证:

3 1 ? Sn ? . 8 2

8

15.已知函数 f ( x) ? ln( x ? a), g ( x) ? (1)求 a 的值

1 3 x ? b, 直线 l : y ? x与y ? f ( x) 相切, 6

(2)若方程 f ( x) ? g ( x)在(0,??) 上有且仅有两个解 x1 , x 2 求 b 的取值范围, 并比较 x1 x2 ? 1与x1 ? x2 的大小。 (3)设 n ? 2时,n ? N ,求证:
*

ln 2 ln 3 ln n ? ?? ?1 2! 3! n!

9

高考常用数列不等式的证明方法
4. 【解析】∵

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), 2 (2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
n



? (2i ? 1)
i ?1

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ); 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 1 ? ) ; 4 16 36 4 4 n 4n 2 n 6.证明:求导数可证ln(x+1) ≤x
5.

故n ? 2,n ? N *时, ln n ? n ? 1 ,
? ln n n ? 1 1 1 ? ? ? n! n! (n ? 1)! n!

ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1 2! 3! n! 2! 2! 3! (n ? 1)! n! n! ln x 1 ? 1? , 7. 【解析】 先构造函数由 ln x ? x ? 1 ? x x ?
从而

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 1 1 1 ? ? ? ?? n ? 3n ?1 ? ( ? ? ?? n ) ; 2 3 4 2 3 3 3



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? n ? ( ? ) ? ( ? ? ? ? ? ) ? ?? ( n ? n ? ?? n ) 2 3 3 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 ?1 3

?

5 3 3 9 9 3n ?1 3n ?1 5n , ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ( ? )? n ?1 n 6 6 9 18 27 2?3 3 6

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n 5n ? 6 ∴ . ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 3n ? 2 3 4 6 6 3
8. 【解析】构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1 ) , 求导可以得到: f ' ( x) ?
1 2? x ?1 ? , x ?1 x ?1

令 f ' ( x) ? 0 ,有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 ,有 x ? 2 , ∴ f ( x) ? f (2) ? 0 , ∴ ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n 2 ? 1 有, ln n 2 ? n 2 ? 1 ,
10

∴ ∴

ln n n ? 1 ? , n ?1 2 ln 2 ln3 ln 4 ln n n(n ?1) ? ? ? ?? ? (n? N? , n ?1) . 3 4 5 n ?1 4

9.解: (1)解得 a1 ? 1 (2) an ? 3n ? 2n



(3)∵ 3n ? 2n ? 3 ? 3n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 3 ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? 3n?1
1 1 ? n?1 an 3
? ? 1 ?n ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ∴ 1 ? 1 ? 1 ? ... 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 3 2 n ?1 1 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 1? 3



10.解: (1) an ?1 ?

2(n ? 1)an 2an ? n 1 ? ? 2an ? n an ?1 2(n ? 1)an

?

n ? 1 2an ? n n ?1 1 n n ?1 1 n ? ? ? ? ?1 ? ? 2 ? ( ? 2), an?1 2an an?1 2 an an?1 2 an

?

n 1 1 1 n 1 1 ? 2n?1 n ? 2n ? 2 ? ( ? 2)( )n?1 ? n ? ? 2 ? n ? ? a ? n an a1 2 2 an 2 2n 1 ? 2n?1
an an?1 2n 1 1 1 ? ? ( ? ) n ?1 n ?1 n ?2 n ?1 n(n ? 1)2 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 1 ? 2 1 ? 2n?2

(2)由 bn ? 知 Tn ?

1 1 1 1 ( ? ) ,所以 Tn ? n?2 2 5 1? 2 10 1 11.解: (I) an ? 1 ? . n
(II) Sn ?

? bk ? ? (
k ?1 k ?1

n

n

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1
n(n ? 1) , 2

12.解: (1)当 n ? 3 时, Sn ? nan ? 2 ?

Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 ?

(n ? 1)(n ? 2) n ?1 ,可得: an ? nan ? (n ? 1)an?1 ? ?2, 2 2

? an ? an?1 ? 1(n ? 3, n ? N? ) .
?4,(n ? 1) a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ? 1, ? a2 ? 3. 可得, an ? ? ? ?n ? 1.(n ? 2, n ? N )
11

(2) 1? 当 n ? 2 时, b2 ? b12 ? 2 ? 14 ? 3 ? a2 ,不等式成立.

2? 假设当 n ? k (k ? 2, k ? N? ) 时,不等式成立,即 bk ? k ? 1. 那么,
当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? bk2 ? (k ? 1)bk ? 2 ? bk (bk ? k ? 1) ? 2 ? 2bk ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2 ? 2k ? k ? 2, 所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 根据( 1? ) , ( 2? )可知,当 n ? 2, n ? N? 时, bn ? an .

1 ?x ?1 ? ? 0, 1? x 1? x ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,? f ( x) ? f (0),?1n(1 ? x) ? x. 1 1 1 ? , ∵当 n ? 2, n ? N? 时, ? bn an n ? 1
(3)设 f ( x) ? 1n(1 ? x) ? x, f ?( x) ?
? ln(1 ? ? ln(1 ?
? (1 ?

1 1 1 1 1 )? ? ? ? , bn bn ?1 bn bn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 ) ? 1n(1 ? )? b2b3 b3b4
1 1 )(1 ? ) b2 b3 b3b4 (1 ?

? ln(1 ?

1 1 1 )? ? ? bn bn ?1 3 4

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 n ? 2 3 n ? 2 3

1 ) ? 3 e. bn bn ?1

3n 3n ? 0 ,……………………5 分 13. (Ⅰ)? an ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? n 3 ?2 3 ?2

1 1 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? ? x? ? ? ? 1 ?1 ? x ? ? 2 ? n 2 ? n 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 1? 1 1 1 2 ? ?? ? ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an , 2 an (1 ? x) 1 ? x an ? 1 ? x ?
? 原不等式成立.………………8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x ? 0 ,有
2

?1 ? ? ? (1 ? x) ? ? an ?

a1 ? a2 ?

? an ≥

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? x? ? ? ? x? ? 2 ? 2 ? 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ? 2 ? ? nx ? . n 3 ?

?

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

?

n 1 ?2 2 ? ? ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 32

……………………10 分

12

?取 x ?

1?2 2 ? ? ? n ? 3 32

2? 1? 1? n ? ? 2? 3 1? 3 ? 1? ? n ?? ? ? ?1 ? n ? ,…………12 分 3 ? ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?

则 a1 ? a2 ?

? an ≥

n n2 n2 . ? ? 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ?

? 原不等式成立. ……14
2 14.解: (1)证明:由已知 an?1 ? an ? 4an ? 2 ,∴ an?1 ? 2 ? (an ? 2)2

2分 1分 1分

∵ a1 ? 1 ? an ? 2 ? 1 ,两边取对数,得 lg(an?1 ? 2) ? 2lg(an ? 2) ∴ {lg(an ? 2)} 是等比数列,公比为 2,首项为 lg(a1 ? 2) ? lg3 (2)由(1)得 lg(an ? 2) ? 2n?1 lg 3 ? lg 32 ,∴ an ? 32
n?1 n?1

?2

2分

∵ lg Tn ? lg[(a1 ? 2)(a2 ? 2) ??? (an ? 2)] ? lg(a1 ? 2) ? lg(a2 ? 2) ???? ? lg(an ? 2)

?

n (2n ? 1) lg 3 ? lg 32 ?1 2 ?1

∴ Tn ? 32

n

?1

1 1 1 1 1 1 32 1 1 (3)∵ bn ? ( ? ) ? ( 2n?1 ? 2n?1 ) ? 2n ? 2n ?1 ? 2n 2 an ? 1 an ? 3 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
? 1 1 ? an ? 1 an ?1 ? 1
3分

n?1

(另法: bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ( ? ) 2 an ? 1 an ? 3 an ? 1 2 an ? 1 an ? 3

?

1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? 2 ? ? an ? 1 (an ? 1)(an ? 3) an ? 1 an ? 4an ? 3 an ? 1 an ?1 ? 1
1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? ) a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 an?1 ? 1

∴ Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? (

13

?

1 1 1 1 ? ? ? 2n a1 ? 1 an?1 ? 1 2 3 ? 1

1分

显然 bn ? 0 ,∴ S n ? S1 ?

3 3 1 1 1 1 ? ,∴ ? S n ? ,又 S n ? ? n 2 8 8 2 2 3 ?1 2
'

15. (1)设切点 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 , f ( x 0 ) ?

1 1 ' , k ? f ( x0 ) ? ?1 x?a x0 ? a

? x0 ? a ? 1, 且y0 ? ln(x0 ? a) ? 0 ,? x0 ? 0, a ? 1 ……………………3 分
(2)由 ln( x ? a ) ? 令 h( x ) ?

1 3 1 x ? b ,得 x 3 ? ln( x ? 1) ? b ? 0 6 6

1 3 x2 1 x 3 ? x 2 ? 2 ( x ? 1)(x 2 ? 2 x ? 2) x ? ln( x ? 1) ? b , h ' ( x) ? ? ? ? 6 2 x ?1 2( x ? 1) 2( x ? 2)
'

在(0,1)上, h ( x) ? 0 ,故 h( x) 在(0,1)单调减 在(1, ? ? )上, h ( x) ? 0 ,故 h( x) 在(1, ? ? )单调增
'

若使 h( x) 图像 在(0,??) 内与 x 轴有两个不同的交点,则需 ?

1 ? 0 ? b ? ? ? ln 2 9 ,此时 h(3) ? ? 2 ln 2 ? b ? 0 6 2 1 所求 b 的范围是 0 ? b ? ? ? ln 2 。 …………………………… 8 分 6

h(0) ? b ? 0 ? ? 1 h(1) ? ? b ? ln 2 ? 0 ? 6 ?

由上知,方程 f ( x) ? g ( x)在(0,??) 上有且仅有两个解 x1 , x x ,满足 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 ,

x1 x2 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ,? x1 x2 ? 1 ? ( x1 ? x2 )
(3)求导数可证f(x)≤x,即ln(x+1) ≤x …………………………… 10分

故n ? 2,n ? N *时, ln n ? n ? 1 ,
? ln n n ? 1 1 1 ? ? ? …………………… 12 分 n! n! (n ? 1)! n!

?

ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1 2! 3! n! 2! 2! 3! (n ? 1)! n! n!
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构造法证明不等式
1、利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中 的一个难点,也是近几年高考的热点. 2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证 得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.

一、移项法构造函数
1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1 1 ? 1, 【分析】 本题是双边不等式, 其右边直接从已知函数证明, 左边构造函数 g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ?1
【例 1】已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ,求证:当 x ? ?1 时,恒有 1 ? 从其导数入手即可证明. 【解析】由题意得: f ?( x) ?

1 x ?1 ? ? ,∴当 ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ?1 x ?1

x ? (?1 , 0) 上为增函数;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 上为减函数;故函数 f ( x)
的单调递增区间为 (?1 , 0) ,单调递减区间 (0 , ? ?) ;于是函数 f ( x) 在 (?1 , ? ?) 上的最大值为

f ( x) max ? f (0) ? 0 ,因此,当 x ? ?1 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x ? 0 ,∴ ln( x ? 1) ? x
(右面得证) . 现证左面, 令 g ( x) ? ln( x ? 1) ?

1 1 x 1 则g ?( x) ? ? ? ? 1, , 当 x ? (?1 , 0) 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1

时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? (0 , ? ?) 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 x ? (?1 , 0) 上为减函数,在 x ? (0 , ? ?) 上为增函数,故函数 g ( x) 在 (?1 , ? ?) 上的最小值为 g ( x) min ? g (0) ? 0 ,∴ 当 x ? ?1 时,

g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ?
1 ? 1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1

1 1 ? 1 ? 0 ,∴ ln( x ? 1) ? 1 ? .综上可知:当 x ? ?1 时,有 x ?1 x ?1

【点评】如果 f ( a ) 是函数 f ( x ) 在区间上的最大(小)值,则有 f ( x ) ? f ( a ) (或 f ( x ) ? f ( a ) ) , 那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过 0 就可得证.

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2、作差法构造函数证明
【例 2】 已知函数 f ( x ) ? 的图象的下方. 【分析】函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) 的图象的下方 ? 不等式 f ( x) ? g ( x) 在 (1 , ? ?) 上恒成立问 题,即

2 3 1 2 x ? ln x , 求证: 在区间 (1 , ? ?) 上, 函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) ? x 3 2

1 2 2 1 2 x ? ln x ? x 3 ,只需证明在区间 (1, ? ?) 上,恒有 x 2 ? ln x ? x 3 成立,设 2 3 2 3 1 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) , x ? (1 , ? ?) ,考虑到 F (1) ? ? 0 ,要证不等式转化变为:当 x ? 1 时, 6

F ( x) ? F (1) ,这只要证明: g ( x) 在区间 (1 , ? ?) 是增函数即可.
【解析】设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,即 F ( x) ?

2 3 1 2 x ? x ? ln x ,则 3 2

F ' ( x) ? 2 x 2 ? x ?

1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ;当 x ? 1 时, F ' ( x) ? ? ? 0, x x x

1 ? 0 ,∴当 x ? 1 时, g ( x) ? f ( x) ? 0 , 6 2 3 即 f ( x) ? g ( x) ,故在区间 (1, ? ? ) 上,函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) ? x 的图象的下方. 3
从而 F ( x) 在 (1, ? ? ) 上为增函数,∴ F ( x ) ? F (1) ? 【点评】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数) , 并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式.读者也可以 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 做一做,深刻体会其中的思想方法.

3、换元法构造函数证明
1 1 1 ? 1) ? 2 ? 3 都成立. n n n 1 【分析】本题是山东卷的第(2)问,从所证结构出发,只需令 ? x ,则问题转化为:当 x ? 0 时, n
【例 3】 (2007 年山东卷)证明:对任意的正整数 n ,不等式 ln( 恒有 ln(x ? 1) ? x 2 ? x 3 成立,现构造函数 h( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) ,求导即可达到证明. 【解析】 令 h( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) ,则 h?( x) ? 3x 2 ? 2 x ?

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? x ?1 x ?1

在 x ? (0 , ? ?) 上恒正,∴函数 h( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递增,∴ x ? (0 , ? ?) 时,恒有
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h( x) ? h(0) ? 0 ,即 x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) ? 0 ,∴ ln(x ? 1) ? x 2 ? x 3 ,对任意正整数 n ,
取x?

1 1 1 1 ? (0 , ? ? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 . n n n n

【点评】 我们知道, 当 F ( x ) 在 [ a , b ] 上单调递增, 则 x ? a 时, 有 F ( x ) ? F (a ) . 如果 f ( a ) = ? ( a ) , 要证明当 x ? a 时, f ( x ) ? ? ( x ) ,那么,只要令 F ( x ) = f ( x ) - ? ( x ) ,就可以利用 F ( x ) 的单调增 性来推导.也就是说,在 F ( x ) 可导的前提下,只要证明 F '( x ) ? 0 即可.

4、从条件特征入手构造函数证明
【例 4】 若函数 y ? f ( x) 在 R 上可导, 且满足不等式 xf ' ( x) ? ? f ( x) 恒成立, 常数 a 、b 满足 a ? b , 求证: af (a) ? bf (b) . 【解析】由已知: xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,∴构造函数 F ( x) ? xf ( x) ,则 F ' ( x) ? xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 从而 F ( x) 在 R 上为增函数,∵ a ? b ,∴ F (a) ? F (b) ,即 af (a) ? bf (b) . 【点评】 由条件移项后 xf ?( x) ? f ( x) , 容易想到是一个积的导数, 从而可以构造函数 F ( x) ? xf ( x) , 求导即可完成证明.若题目中的条件改为 xf ?( x) ? f ( x) ,则移项后 xf ?( x) ? f ( x) ,要想到是一 个商的导数的分子,平时解题多注意总结.

5、主元法构造函数
1 ? x) ? x , g ( x) ? x ln x . 【例 5】已知函数 f ( x) ? ln(
(1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)设 0 ? a ? b ,证明: 0 ? g (a ) ? g (b) ? 2 g (

a?b ) ? (b ? a) ln 2 . 2

【分析】 对于第(2)小问,绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不 上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系,想一想大小关系又与函数的单调性密切相 关,由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数,利用导数研究函数的单调性,借助单 调性比较函数值的大小,以期达到证明不等式的目的.

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【解析】 (1)过程略; (2)对 g ( x) ? x ln x 求导,则 g ' ( x) ? ln x ? 1 .在 g (a ) ? g (b) ? 2 g ( 数,设 F ( x) ? g (a ) ? g ( x) ? 2 g (

a?b ) 中以 b 为主变元构造函 2

a?x a?x a?x ) ,则 F ' ( x) ? g ' ( x) ? 2[ g ( )]' ? ln x ? ln .当 2 2 2

0 ? x ? a 时, F ' ( x) ? 0 ,因此 F ( x) 在 (0 , a ) 内为减函数;当 x ? a 时, F ' ( x) ? 0 ,因此 F ( x)
在 (a , ? ?) 上为增函数.从而当 x ? a 时, F ( x) 有极小值 F ( a ) ,∵ F (a) ? 0 , b ? a ,∴

F (b) ? 0 ,即 g (a) ? g (b) ? 2 g (

a?b ) ? 0 .又设 G( x) ? F ( x) ? ( x ? a) ln 2 ,则 2

G ' ( x) ? ln x ? ln

a?x G ' ( x) ? 0 . ? ln 2 ? ln x ? ln( a ? x) ; 当 x ? 0 时, 因此 G ( x) 在 (0 , ? ?) 2
a?b ) ? (b ? a ) ln 2 . 2

上为减函数,∵ G (a) ? 0 , b ? a ,∴ G (b) ? 0 ,即 g (a ) ? g (b) ? 2 g (

6、构造二阶导函数证明函数的单调性(二次求导)
【例 6】已知函数 f ( x ) ? ae ?
x

1 2 x . 2

(1)若 f ( x ) 在 R 上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 1 ,求证:当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? x . 【解析】 (1) f ' ( x) ? aex ? x ,∵ f ( x ) 在 R 上为增函数,∴ f ' ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立, 即 a ? xe? x 对 x ? R 恒成立;记 g ( x) ? xe? x ,则 g ' ( x) ? e? x ? xe? x ? (1 ? x)e? x ; 当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 . 知 g ( x) 在 ( ?? , 1) 上为增函数,在 (1 , ? ? ) 上为减函数, ∴ g ( x) 在 x ? 1 时, 取得最大值, 即 g ( x ) max ? g (1) ? (2)记 F ( x) ? f ( x) ? (1 ? x) ? e ?
x

1 1 1 , ∴a ? , 即 a 的取值范围是 [ , ? ? ) . e e e

1 2 x ? x ?1 ( x ? 0 ) ,则 F ' ( x) ? e x ? x ?1 , 2

令 h( x) ? F ' ( x) ? e x ? x ? 1,则 h' ( x) ? e x ? 1 ;当 x ? 0 时, h' ( x) ? 0 , ∴ h( x) 在 (0 , ? ?) 上为增函数,又 h( x) 在 x ? 0 处连续,
18

∴ h( x) ? h(0) ? 0 ,即 F ' ( x) ? 0 , ∴ F ( x ) 在 (0 , ? ?) 上为增函数,又 F ( x ) 在 x ? 0 处连续, ∴ F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ? x . 【点评】当函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立,从而把不等式的恒 成立问题可转化为求函数最值问题.不等式恒成立问题,一般都会涉及到求参数范围,往往把变 量分离后可以转化为 m ? f ( x) (或 m ? f ( x) )恒成立,于是 m 大于 f ( x) 的最大值(或 m 小于

f ( x) 的最小值) ,从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.因此,利用导数求函数最
值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.

7、对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式)
【例 7】证明:当 x ? 0 时, (1 ? x)1? x ? e1? 2 . 【解析】 对不等式两边取对数得 (1 ? ) ln(1 ? x ) ? 1 ?
1 x

1 x

x ,化简为 2(1 ? x) ln( 1 ? x) ? 2 x ? x 2 , 2

( l 1 ? x) , 设辅助函数 f ( x) ? 2x ? x 2 ? 2(1 ? x) ln( , f ' ( x) ? 2 x ? 2n 1 ? x) ( x ? 0 )
又 f ' ' ( x) ?

2x ?0(x ?0) ,易知 f ' ( x ) 在 (0 , ? ?) 上严格单调增加,从而 f ' ( x) ? f ' (0) ? 0 1? x

(x ?0) ,又由 f ( x ) 在 [0 , ? ?) 上连续,且 f ' ( x) ? 0 ,得 f ( x ) 在 [0 , ? ?) 上严格单调增加, ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ( x ? 0 ) ,即 2x ? x 2 ? 2(1 ? x) ln( 1 ? x) ? 0 , 2 x ? x 2 ? 2(1 ? x) ln(1 ? x) , 故 (1 ? x)1? x ? e1? 2 ( x ? 0 ) . 1、 (2007 年,安徽卷)设 a ? 0 , f ( x) ? x ?1 ? ln 2 x ? 2a ln x . 求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 2、 (2007 年,安徽卷)已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?
1 x

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a 2 ln x ? b ,其中 2

5 2 a ? 3a 2 ln a ,求证: f ( x) ? g ( x) . 2 x b 3、已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? ,求证:对任意的正数 a 、 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ? . 1? x a
a ? 0 ,且 b ?
19

4、 (2007 年,陕西卷) f ( x) 是定义在 (0 , ? ?) 上的非负可导函数,且满足 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,对任 意正数 a 、 b ,若 a ? b ,则必有( A. af (b) ? bf (a) ) C. af (a) ? f (b) D. bf (b) ? f (a)

B. bf (a) ? af (b)

【参考答案】
1、 【解析】 f ?( x ) ? 1 ?

2 ln x 2a 2 ln x ? ? 1 ,∴ f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) , 当 x ? 1 ,a ? 0 时, 不难证明 x x x

在 (0,??) 内单调递增, 故当 x ? 1 时,f ( x) ? f (1) ? 0 , ∴当 x ? 1 时, 恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 2、 【解析】设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b ,则 2

F ' ( x ) ? x ? 2a ?

3a 2 ( x ? a)(x ? 3a) (x ? 0) ,∵ a ? 0 ,∴当 x ? a 时, F ' ( x) ? 0 , ? x x

故 F ( x) 在 (0 , a) 上为减函数,在 (a , ? ?) 上为增函数,于是函数 F ( x) 在 (0 , ? ?) 上的最小值是

F (a) ? f (a) ? g (a) ? 0 ,故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) .
3、 【解析】函数 f ( x) 的定义域为 (?1 , ? ?) , f ' ( x) ?

1 1 x ? ? ,∴当 ? 1 ? x ? 0 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2

时, f ' ( x) ? 0 , 即 f ( x) 在 x ? (?1 , 0) 上为减函数; 当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , 即 f ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 上为增函数;因此在 x ? 0 时, f ( x) 取得极小值 f (0) ? 0 ,而且是最小值,于是 f ( x) ? f (0) ? 0 , 从而 ln(1 ? x) ?

1 x a 1 b ? 1 ? ,于是 ,即 ln(1 ? x) ? 1 ? ,令 1 ? x ? ? 0 ,则 1 ? 1? x 1? x b x ?1 a a b b ln ? 1 ? ,因此 ln a ? ln b ? 1 ? . b a a F ( x) ?
4、 【解析】

f ( x) f ( x) xf ' ( x) ? f ( x) F ( x) ? F ' ( x) ? ?0 2 x , x 在 (0 , ? ?) 上是减函数, x ,故

f ( a ) f (b) ? b ? af (b) ? bf (a) ,故选 A. 由a ? b有 a

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