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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第1章 计数原理综合检测 苏教版选修2-3


第1章

计数原理

(时间 120 分钟,满分 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填在题中的横线上) 1.(2013·大纲全国卷改编)(x+2) 的展开式中 x 的系数是________. 【解析】 该二项展开式的通项为 Tr+1=C8x 所以 x 的系数是 112. 【答案】 112 2.某人的电子邮箱的密码由 6 位数字组成,为提高保密程度,他决定再插入两个英文 字母 a,b,原来的数字的顺序不变,则可构成新密码的个数为________. A8 【解析】 定序问题 6=56(个). A6 【答案】 56 3.北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作,若每天早、中、 晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为________(仅列 式,不必求结果). 【解析】 第一步:从 14 人中选出 12 人,共有 C14种选法; 第二步:早班从 12 人中选 4 人,有 C12种选法; 第三步:中班从(12-4)人中选 4 人,有 C12-4=C8种选法; 第四步:剩余 4 人为晚班,有 1 种选法. 由分步计数原理, 总的排班种数为 C14·C12·C8·1=C14·C12·C8. 【答案】 C14·C12·C8 4.(2013·四川高考改编)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别 记为 a,b,共可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是________. 【解析】 从 1,3,5,7,9 这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为 A5=20,但 lg 1-lg 3=lg 3-lg 9,lg 3-lg 1=lg 9-lg 3,所以不同值的个数为 20-2=18. 【答案】 18 5.(2013·昆明高二检测)五本不同的书在书架上排成一排,其中甲、乙两本必须连排, 而丙、丁两本不能连排,则不同的排法共有 ________种. 【解析】 甲、乙捆绑,丙、丁最后插空,共有 A2A3A2=24(种). 【答案】 24 6.由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数有________ 个. 【解析】 只考虑奇偶相间,有 2A3A3种排法,0 在首位有 A2A3种排法,故共有 2A3A3-
1
3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 12 4 4 12 4 4 12 4 4 4 4 4 12 8 6 8 6

r 8-r r

2 =2 C8x

r r 8-r

, 令 r=2, 得 T3=2 C8x =112x ,

2 2 6

6

A2A3=60(种). 【答案】 60 7.某次文艺汇演,要将 A,B,C,D,E,F 这六个不同节目编排成节目单,如下表: 序号 节目 如果 A,B 两个节目要相邻,且都不排在第 3 号位置,那么节目单上不同的排序方式有 ________种. 【解析】 A,B 捆绑在一起,共有 A2A5种排法,若 A 在 3 号,则有 A2A4种排法,同理若
4 2 5 1 4 B 在 3 号,也有 A1 2A4种排法,∴共有 A2A5-2A2A4=144(种)排法. 2 5 1 4

2 3

1

2

3

4

5

6

【答案】 144 8.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两部分不 能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种. 实 兴 【解析】 (1)用四色,A4=4×3×2=24(种); (2)用三色,C2C4A3=48(种); (3)用二色,A4=4×3=12(种). ∴共 24+48+12=84(种). 【答案】 84 9.一次考试中,要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题,要求至少包含前 5 个题目中的 3 个,则考生答题的不同选法的种数是 ________. 【解析】 C5C4+C5C4+C5C4=74(种). 【答案】 74 10.(2013·课标全国卷Ⅰ改编)设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值 为 a,(x+y)
2m+1 2m 3 3 4 2 5 1 2 1 1 2 4

干 邦

展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=________.
2m

【解析】 (x+y) 展开式中二项式系数的最大值为 C2m, ∴a=C2m. 同理,b=C2m+1. ∵13a=7b,∴13·C2m=7·C2m+1. (2m)! (2m+1)! ∴13· =7· . m!m! (m+1)!m! ∴m=6. 【答案】 6
m m+1 m+1 m

m

2

11.4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任 选一题作答, 选甲题答对得 100 分, 答错得-100 分; 选乙题答对得 90 分, 答错得-90 分. 若 4 位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是________. 【解析】 分三种情况: (1)0=100+(-100)+90+(-90),有 A4=24(种); (2)0=100+(-100)+100+(-100),有 C4·C2=6(种); (3)0=90+(-90)+90+(-90),有 C4·C2=6(种). 综上,共有 24+6+6=36(种). 【答案】 36 12.5 名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室,比赛后都回休息室取衣服.由于灯光暗 淡,只有 2 人拿到自己的外衣,另外 3 人拿到别人外衣的情况有________种. 【解析】 从 5 人中选出拿到自己外衣的 2 人有 C5种拿法.对于每一种拿法,另外拿错 衣服的方案 2 种,故有 C5×2=20(种). 【答案】 20 13.一条街上有 8 盏灯,为节约用电,晚上只开 5 盏灯,且规定相邻的灯不能都不亮, 两头的灯都要亮,那么不同的亮灯方案有________种. 【解析】 在亮着的 5 盏灯间有 4 个空档,选 3 个空档放 3 个不亮的灯,有 C4种方法. 【答案】 4 14.在图 1 中, “构建和谐社会,创美好未来”,从上往下读(不能跳读),共有不同的 读法种数是________. 构 建 建 和 和 和
3 2 2 2 2 2 2 4

谐 谐 谐 谐 社 社 社 社 社

会 会 会 会 会 会 创 创 创 创 创

美 美 美 美 好 好 好

未 未 来 图1 【解析】 法一:解本题相当于在图 1 中先在始点标上 1,再在上半部两腰的各点旁标 上 1,然后从上到下依次逐点累加,图中间每一点处的数等于它肩上两数的和,一直计算到
3

下面最后一点.由此可见,共有 252 种不同读法. 1 1 1 1 1 1 1 6 21 56 126 2 1 3 3 4 6 1 4 1 1

5 10 10 5 15 20 15 6 35 35 21 70 56 126

252 法二:考虑到杨辉三角,第 n 行第 k 个数为 Cn ,252 是第 10 行第 6 个数,所以应为 C10=252 种. 【答案】 252 二、 解答题(本大题共 6 小题, 共 90 分, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种,现在餐厅准备了 6 种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 100 种以上 的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品多少种? 【解】 设还需准备不同的素菜 x 种,x 是自然数,则 C6·Cx≥100, 即 3x -3x-40≥0,得 x≥5 且 x∈N. 所以至少还需准备不同的素菜品种为 5 种. 16.(本小题满分 14 分)8 个人按下列要求排成一纵队: (1)A、B 两人需排两头; (2)A、B、C 三人相邻; (3)A、B、C 三人两两互不相邻; (4)A、B、C 三人的前后顺序一定. 分别有多少种不同的排法? 【解】 (1)题中有特殊元素 A、B 和特殊位置“两头”.采用优先法,先排 A、B,再 排其余,有 A2·A6=1 440 种不同的排法. (2)题中有关键词“相邻”,采用视一法,先内排后外排,有 A3·A6=4 320 种不同的排 法. (3)题中有关键词“互不相邻”,引导我们采用插空法,先排其余 5 人,然后在其空隙 处插入 A、B、C,有 A5·A6=14 400 种不同的排法.
4
5 3 3 6 2 6 2 2 2 5

k-1

(4)法一: 题中有关键词“前后顺序一定”, 八人排队与“其中三人前后顺序一定” 排队有何关系呢?我们这样来考虑,对八人排队分成两步完成:第一步,固定 A、B、C 前后 顺序进行排队,设其排列数为 N,第二步,再对 A、B、C 进行内部排队,有 A3种不同排法.由 分步计数原理,A8=NA3, A8 ∴A、B、C 三人前后顺序一定的排列数 N= 3=6 720 种. A3 法二:可理解为从 8 个位置中选 5 个进行排列 A8,A、B、C 站剩余的位置. ∴A、B、C 三人前后顺序一定的排列数为 A8=6 720 种. 17.(本小题满分 14 分)用 0,1,2,?,9 这 10 个数字, (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个没有重复数字的五位数? (3)可以组成多少个没有重复数字且能够被 5 整除的五位数? 【解】 (1)第 1 步 首位数字可以在 1~9 这 9 个数字中选择,有 9 种可能; 第 2 步 其他 4 个数位可以在 0~9 这 10 个数字中选择,有 10×10×10×10=10 种可 能. 根据分步计数原理知,用 0,1,2,?,9 这 10 个数字,一共可以组成 9×10 =90 000 个五位数. (2)由于组成的五位数中不能有重复数字,所以除要考虑到首位不是 0 外,还要考虑到 各个数位上的数字互不相同, 因此, 采用分步计数的方法, 先确定首位数字再确定其他数位. 第 1 步 首位数字可以在 1~9 这 9 个数字中选择,有 9 种可能; 第 2 步 其他 4 个数位可以在剩下的 9 个数字中选择,有 A9种可能. 根据分步计数原理知,用 0,1,2,?,9 这 10 个数字,一共可以组成 9·A9=27 216 个没有重复数字的五位数. (3)能够被 5 整除的数,末位有且仅有 0 或 5 两种可能,分 2 类进行计数. 第 1 类 末位是 0,由于没有重复数字,所以其他 4 个数位共有 A9=3 024 种可能; 第 2 类 末位是 5,对其他 4 个数位进行分步计数: 第 1 步 由于首位不能为 0,首位有 C8种可能; 第 2 步 其他 3 个数位有 A8种可能. 所以,第 2 类共有 C8·A8=2 688 种可能. 因此,用 0,1,2,?,9 这 10 个数字,一共可以组成 3 024+2 688=5 712 个没有重 复数字且能够被 5 整除的五位数. 18.(本小题满分 16 分)有 10 件不同工厂生产的同类产品. (1)在商品评选会上,有 2 件商品不能参加评选,要选出 4 件商品,并排定选出的 4 件 商品的名次,有多少种不同的选法?
1 3 3 1 4 4 4 4 4 5 5 8 8 3 3

5

(2)若要选 6 件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两件商品放上,有 多少种不同的布置方法? 【解】 (1)10 件商品,除去不能参加评选的 2 件商品,剩下 8 件,从中选出 4 件进行 排列,有 A8=1 680(或 C8·A4)(种). (2)分步完成.先将获金质奖章的两件商品布置在 6 个位置中的两个位置上,有 A6种方 法, 再从剩下的 8 件商品中选出 4 件, 布置在剩下的 4 个位置上, 有 A8种方法, 故共有 A6· A8 =50 400(或 C8·A6)(种). 1 n 19.(本小题满分 16 分)已知二项式(x+ ) 的展开式中前三项的系数成等差数列. 2 (1)求 n 的值; 1 n 2 n (2)设(x+ ) =a0+a1x+a2x +?+anx . 2 ①求 a5 的值;②求 a0-a1+a2-a3+?+(-1) an 的值;③求 ai(i=0,1,2,?,n)的 最大值. 1 2 1 1 0 【解】 (1)由题设,得 Cn+ ×Cn=2× ×Cn, 4 2 即 n -9n+8=0,解得 n=8,n=1(舍去). (2)①Tr+1=C8x
r 8-r
2 4 6 4 2 4 2 4 4 4

n

1 r 7 ( ) ,令 8-r=5 ? r=3,∴a5= . 2 4

1 ②在等式的两边取 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+?+a8= . 256 1 1 ? ?2 C ≥2 ③设第 r+1 的系数最大,则? 1 1 C≥ ? ?2 2
r r 8 r r 8 r+1 r+1 8

C C

, .

r-1 r-1 8

1 1 ? ?8-r≥2(r+1), 即? 解得 r=2 或 r=3. 1 1 ?2r≥9-1. ? 所以 ai 系数最大值为 7. 3 2 2n n 20.(本小题满分 16 分)已知( x+ax ) 的展开式记为 R,(3x-1) 的展开式记为 T.已 知 R 的奇数项的二项式系数的和比 T 的偶数项的二项式系数的和大 496. (1)求 R 中二项式系数最大的项; (2)求 R 中的有理项; (3)确定实数 a 的值,使 R 与 T 中有相同的项. 【解】 由题意 2
2n-1

-2

n-1

=496,解得 n=5.

6

3 3 5 2 10 5 2 5 (1)( x + ax ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,结果为 C 10 ( x ) · (ax ) = 35 252a x 3 .
5

3 10-r 2 r r r 10-r r (2)R 展开式的通项公式 Tr+1=C10( x) (ax ) =C10a x +2r 3 由 10-r +2r∈Z,且 0≤r≤10,所以 r=1,4,7,10. 3
2 2 5 2 5

故 R 中的有理项为 T2=C10a x =45a x ,
4 10 4 10 T5=C4 10a x =210a x , 7 15 7 15 10 10 20 10 20 T8=C7 10a x =120a x ,T11=C10a x =a x .

(3)T 展开式的通项公式 St+1=C5(3x) 由

t

5-t

(-1) =C5(-1)t3 -tx

t

t

5

5-t



10-r +2r=5-t,即 3t=5(1-r), 3

3 所以 r=1- t.又 0≤r≤10,0≤-1≤5,所以 t=0. 5 243 1 0 5 0 当 t=0 时,r=1,此时 C10a=C53 ·(-1) ,a= . 10 243 故当 a= 时,R,T 中有相同的项. 10

7


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