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2015年全国高考理科数学试题及答案-福建卷

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数 学(理工类)

第 I 卷(选择题共 50 分)

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
2 3 4 1、若集合 A ? i, i , i , i

?

?

( i 是虚数单位) , B ? ?1, ?1? ,则 A ? B 等于 C. ?1, ?1? D. ?

A. ??1?

B. ?1?

2、下列函数为奇函数的是 A. y ?

x

B. y ? sin x

C. y ? cos x

D. y ? e x ? e? x

3、 若双曲线 E : 等于 A.11

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线 E 上, 且 PF 则 PF2 1 ? 3, 9 16

B.9

C.5

D.3

4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计 数据表: 收入 x (万元) 支出 y (万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一户 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
收入为 15 万元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元

? x ? 2 y ? 0, ? 5、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值等于 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. ?

5 2

B. ?2

C. ?

3 2

D.2

6、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D. ?1

7、若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8、 若 a , b 是函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点, 且 a, b, ?2 这三个数可适 当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ???? ??? ? AB 4 AC 9、 已知 AB ? AC , AB ? , AC ? t , 若点 p 是 ?ABC 所在平面内一点, 且 AP ? ??? ? ? ???? , t AB AC
则 PB ? PC 的最大值等于 A.13 B.15 C.19 D.21

??? ? ??? ?

10、若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下 列结论中一定错误的是 A. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1 k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、 ? x ? 2 ?
5

的展开式中, x

2

的系数等于

.(用数字作答) .

12、若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于

13、如图,点 A 的坐标为 ?1,0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? ,函数 f ? x ? ? x2 ,若在矩形 ABCD 内 随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 14、 若函数 f ? x ? ? ? .

?? x ? 6, x ? 2, (a ? 0 且a ?1 ) 的值域是 ? 4, ??? , ?3 ? log a x, x ? 2,
.

则实数 a 的取值范围是

* 15 、 一 个 二 元 码 是 由 0 和 1 组 成 的 数 字 串 x1 x2 ? xn n ? N

?

?

,其中

xk ? k ? 1, 2, ? ,n ? 称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信
过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0)

? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0, ? 已知某种二元码 x1 x2 ? x7 的码元满足如下校验方程组: ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0, ? x ? x ? x ? x ? 0, 3 5 7 ? 1
其中运算 ? 定义为: 0 ? 0 ? 0,0 ?1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ?1 ? 0 其中运算 ? 定义为:0 ? 0=0,0 ? 1=1,1 ? 0=1,1 ? 1=0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上 述校验方程组可判定 k 等于 .

三、解答题:大小题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行 取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之 一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至 该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

17.(本小题满分 13 分) 如图, 在几何体 ABCDE 中, 四边形 ABCD 是矩形, AB 丄平面 BEG, BE 丄 EC, AB=BE=EC=2,

G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF//平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) , 且离心率为 e= . 2 a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l; x=my-1 (m∈R) 交椭圆 E 于 A, B 两点, 判断点 G (- ,0) 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

9 4

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到: 先将 g ( x) 图像上所有点的

纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像向右平移 (1)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程;

个单位长度.

(2)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在[0,2π]内有两个不同的解α ,β (ⅰ)求实数 m 的取值范围;

2m 2 ?1 (ⅱ)证明: cos(? ? ? ) ? 5

20.(本小题满分 14 分)

已知函数 f( x) = ln(1 + x) ,g(x)=kx(k∈R) (1)证明:当 x > 0时,f(x)< x ; (2)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对任意的 x∈(0,t)恒有 f( x) > g ( x); (3)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x∈(0,t) ,恒有 | f( x) - g ( x) |< x2 . 21.本题设有三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答.满分 14 分,如果多做,则按所做的前两 题计分,作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填 入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?

? 2 1? ?1 1 ? ?, B ? ? ? ? 4 3? ? 0 ?1?
?1

(1)求 A 的逆矩阵 A ; (2)求矩阵 C,使得 AC=B.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 3cos t , ( t 为参数) 。在极坐标系(与 ? y ? ?2 ? 3sin t

平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴非负半轴为极轴) 中, 直线 l 的 方程为 2 ? sin(? ?

?
4

) ? m( m ? R )

(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a﹥0,b﹥0,c﹥0,函数 f(x)=∣x+a∣+∣x-b∣+c 的最小值为 4. (1)求 a + b + c 的值; (2)求

1 2 1 2 2 a + b + c 的最小值 4 9

数学试题(理工农医类)参考答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分。 1.C 6.C 2.D 7.B 3.B 8.D 4.B 9.A 5.A 10.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分。 11. 80 12. 7 13.

5 12

14. (1, 2]

15.5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考 查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想,满分 13 分 解: (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 则 P( A) ?

5 4 3 ? ? 6 5 4 1 ? 2 1 5 1 1 5 4 2 , P( X ? 2) ? ? ? , P( X ? 3) ? ? ? 1 ? 6 6 5 6 6 5 3

(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3 又 P ( X ? 1) ?

所以 X 的分布列为

X
p

1

2

3

1 6 1 1 2 所以 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? 6 6 3 5 ? 2

1 6

2 3

17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能 力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (1)如图,取 AE 的中点 H,连接 HG,HD, 又 G 是 BE 的中点, 所以 GH//AB,且 GH ?

1 AB , 2

又 F 是 CD 中点,所以 DF ?

1 CD , 2

由四边形 ABCD 是矩形得,AB//CD,AB=CD 所以 GH//DF.且 GH=DF 从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GF//DH, 又 DH ? 平面 ADE , GF ? 平面 ADE , 所以 GF // 平面 ADE (2)如图,在平面 BEG 内,过点 B 作 BQ//EC,因为 BE 丄 CE,所以 BQ 丄 BE 又因为 AB 丄平面 BEC,所以 AB 丄 BE,AB 丄 BQ 以 B 为原点,分别以 BE, BQ, BA 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为 AB 丄平面 BEC,所以 BA=(0,0,2)为平面 BEC 的法向量, 设 n = (x, y, z) 为平面 AEF 的法向量 又 AE = (2,0,-2), AF=(2,2,-1)

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ? ? ?n?AE ? 0, ?2 x ? 2 z ? 0, 由 ? ??? 得? ? n ? AF ? 0, ?2 x ? 2 y ? z ? 0, ? ? ? 取 z = 2 得 n=(2,-1,2) .

??? ? ??? ? n?BA 4 2 ??? ? ? 从而 cos n, BA ? ? | n |? | BA | 3 ? 2 3
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 解法二: (1)如图,取 AB 中点 M ,连接 MG, MF , 又 G 是 BE 的中点,可知 GM // AE , 又 AE ? 平面 ADE, GM ? 平面 ADE , 所以 GM // 平面 ADE . 在矩形 ABCD 中,由M,F分别是 AB , CD 的中点得 MF // AD

2 . 3

又 AD ? 平面 ADE , MF ? 平面 ADE 所以 MF // 平面 ADE 又因为 GM ? MF ? M , GM ? 平面 GMF , MF ? 平面 GMF 所以平面 GMF//平面 ADF, 因为 GF ? 平面 GMF , 所以 GF // 平面 ADE (2)同解法一. 18.本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分 13 分 解法一:(1)由已知得

?b ? 2, ? a ? 2, ? ? 2 ?c , 解得 ?b ? 2, ? ? 2 ? ?a 2 ?c ? 2 ?a ? b 2 ? c 2 . ?
x2 y 2 + =1 . 所以椭圆 E 的方程为 4 2
(2)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点为 H( x0 , y0 ) .

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (m ? 2) y ? 2my ? 3 ? 0, ?1 ? ? ?4 2
所以 y1 + y 2 = 从而 y0 ?
2

2m 3 , y1 y 2 = 2 , 2 m +2 m +2

2 . m ?2
2

所以 | GH | ? ( x0 ? ) ? y0 ? (my0 ? ) ? y0 ? (m ? 1) y0 ?
2 2 2 2 2 2

9 4

5 4

5 25 my0 ? . 2 16

| AB |2 ( x1 - x2 )2 ? ( y1 - y2 ) 2 ? 4 4

?

(1 ? m2 )( y1 - y2 ) 2 4

(1 ? m2 )[( y1 ? y2 ) 2 - 4 y1 y2 ] ? 4

? (1 ? m2 )( y02 - y1 y2 )
故 | GH | 2

| AB |2 5 25 ? my0 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? 4 2 16

5m2 3(m2 ? 1) 25 ? ? 2(m2 ? 2) m2 ? 2 16

?

17m2 ? 2 16(m2 ? 2)

?0
所以 | GH |?

| AB | 9 ,故 G ( ? ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4 ??? ? ??? ? 9 9 , y1 ), GB ? ( x2 ? , y2 ). 4 4

解法二: (1)同解法一. (2)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), ,则 GA ? ( x1 ?

? x ? my ? 1, ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (m ? 2) y ? 2my ? 3 ? 0 , ?1 ? ? ?4 2
2m 3 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?2 m ?2 ??? ? ??? ? 9 9 GB ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 从而 GA? 4 4 5 5 ? (my1 ? )(my2 ? ) ? y1 y2 4 4 5 25 ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 16 5 2 m ?3(m2 ? 1) 2 25 ? ? 2 ? 2 m ?2 m ? 2 16
所以 y1 ? y2 ?

=

17m2 + 2 >0 16(m2 + 2)

所以 cos GA, GB ? 0 ,又 GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角。 故点 G ( ? ,0)在以 AB 为直径的圆外. 19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象 概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思 想. 满分 13 分. 解法一: ( 1 )将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

9 4

y = 2cos x 的 图 像 , 再 将 y ? 2 c o s x 的图像向右平移
y ? 2 cos( x - ) 的图像,故 f ( x) ? 2sin x 2
从而函数 f ( x) ? 2sin x 图像的对称轴方程为 x ? k? ? (2) (ⅰ) f ( x) ? g ( x) ? 2sin x ? cos x

?

? 个单位长度后得到 2

?
2

(k ? Z )

? 5(

2 1 sin x ? cos x) 5 5 1 2 , cos ? ? ) 5 5

? 5 sin( x ? ?) (其中 sin ? ?

依题意,sin( x ? ? ) ?

m m |? 1 ,故 在区间 [0, 2? ] 内有两个不同的解 ? , ? 当且仅当 | 5 5

m 的取值范围是 (? 5, 5) .
(ⅱ)因为 ? , ? 是方程 5 sin( x ? ? ) ? m 在 [0, 2? ] 内的两个不同的解, 所以 sin(? ? ? ) ?

m m , sin( ? ? ? ) ? 5 5

当 1 ? m ? 5 时, ? ? ? ? 2(

?
2

? ? ) ,即 ? ? ? ? ? ? 2(? ? ? ) ; 3? ? ? ) ,即 ? ? ? ? 3? ? 2(? ? ? ) 2

当 ? 51 ? m ? 1 时, ? ? ? ? 2(

所以 cos(? ? ? ) ? ? cos 2(? ? ? )

? 2sin 2 (? ? ? ) ?1

? 2(

m 2 ) ?1 5

2m 2 ? ?1 5
解法二: (1)同解法一. (2) (ⅰ)同解法一. (ⅱ)因为α ,β 是方程 5 sin( x ? ? ) ? m 在区间 [0, 2? ) 内的两个不同的解, 所以 sin(? ? ? ) ?

m m , sin( ? ? ? ) ? 5 5

当 1 ? m ? 5 时, ? ? ? ? 2(

?
2

? ? ) ,即 ? ? ? ? ? ? 2(? ? ? ) ; 3? ? ? ) ,即 ? ? ? ? 3? ? 2(? ? ? ) 2

当 ? 51 ? m ? 1 时, ? ? ? ? 2( 所以 cos(? ? ? ) ? ? cos( ? ? ? )

于是 cos(? ? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )]

? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )

? cos2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )
? ?[1 ? ( m 2 m ) ] ? ( )2 5 5

?

2m 2 ?1 5

20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查 函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想.满分 14 分. 解法一: (1)令 F ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x, x ?[0, ??) , 则有 F ?( x) ?

1 ?x ?1 ? 1? x x ?1

当 x ? (0, ??) 时, F ?( x) ? 0 ,

所以 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递减, 故当 x ? 0 时, F ( x) ? F (0) ? 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ? x 。 (2)令 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? kx, x ?[0, ??) , 则有 G?( x) ?

1 ?kx ? (1 ? k ) ?k ? x ?1 x ?1

当 k ? 0 时, G?( x) ? 0 ,故 G ( x) 在 [0, ??) 单调递增, G( x) ? G(0) ? 0 , 故对任意正实数 x0 均满足题意 当 0 ? k ? 1 时,令 G?( x) ? 0 ,得 x ? 取 x0 ?

1? k 1 ? ?1 ? 0 , k k

1 ? 1 ,对任意 x ? (0, x0 ) ,有 G?( x) ? 0 , k

从而 G ( x) 在 [0, ??) 单调递增,所以 G( x) ? G(0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 综上,当 k ? 1 时,总存在 x0 ? 0 ,使得对任意 x ? (0, x0 ) ,恒有 f ( x) ? g ( x) (3)当 k ? 1 时,由(1)知,对于 ?x ? (0, ??), g ( x) ? x ? f ( x) ,故 g ( x) ? f ( x)

| f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? kx ? ln(1 ? x)
令 M ( x) ? kx ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0, ??) , 则有 M ?( x) ? k ?

1 ?2 x 2 ? (k ? 2) x ? k ? 1 ? 2x ? 1? x x ?1

故当 x ? (0,

k ? 2 ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) ) 时, M ?( x) ? 0 4 k ? 2 ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) ) 上单调递增, 4
2

M ( x) 在 [0,

故 M ( x) ? M (0) ? 0 ,即 | f ( x) ? g ( x) |? x 。所以满足题意的 t 不存在 当 k ? 1 时,由(2)知,存在 x0 ? 0 ,使得当 x ? (0, x0 ) 时, f ( x) ? g ( x) , 此时 | f ( x) ? g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? kx

令 N ( x) ? ln(1 ? x) ? kx ? x2 , x ?[0, ??) ,

1 ?2 x 2 ? (k ? 2) x ? 1 ? k ? k ? 2x ? 则有 N ?( x) ? , x ?1 x ?1
当 x ? (0,

?(k ? 2) ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) ) 时, N ?( x) ? 0 , 4

?(k ? 2) ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) N ( x ) 在 [0, ) 上单调递增, 4
故 N ( x) ? N (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? x2

记 x0 与

?(k ? 2) ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) 中的较小者为 x1 , 4

则当 x ? (0, x1 ) 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x 2 故满足题意的 t 不存在 当 k ? 1 时,由(1)知,当 x ? 0 时, | f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x) 令 H ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0, ??) , 则有 H ?( x) ? 1 ?

1 ?2 x 2 ? x ? 2x ? 1? x x ?1

当 x ? 0 时, H ?( x) ? 0 所以 H ( x ) 在 [0, ??) 上单调递减,故 H ( x) ? H (0) ? 0 故当 x ? 0 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x 2 此时,任意正实数 t 均满足题意 综上, k ? 1 解法二: (1) (2)同解法一 (3)当 k ? 1 时,由(1)知,对于 ?x ? (0, ??), g ( x) ? x ? f ( x) , 故 | f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? kx ? ln(1 ? x) ? kx ? x ? (k ? 1) x

令 (k ? 1) x ? x 2 ,解得 0 ? x ? k ? 1 从而得到,当 k ? 1 时,对于 x ? (0, k ? 1) ,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x 2 故满足题意的 t 不存在。 当 k ? 1 时,取 k1 ?

k ?1 ,从而 k ? k1 ? 1 2

由(2)知,存在 x0 ? 0 ,使得 x ? (0, x0 ), f ( x) ? k1 x ? kx ? g ( x) , 此时 | f ( x) ? g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? ( k1 ? k ) x ? 令

1? k x, 2

1? k 1? k x ? x 2 ,解得 0 ? x ? ,此时 f ( x) ? g ( x) ? x2 2 2 1? k 记 x0 与 的较小者为 x1 ,当 x ? (0, x1 ) 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x 2 2
故满足题意的 t 不存在 当 k ? 1 时,由(1)知, x ? 0,| f ( x) ? g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? x ? ln(1 ? x) , 令 M ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0, ??) , 则有 M ?( x) ? 1 ?

1 ?2 x 2 ? x ? 2x ? 1? x x ?1

当 x ? 0 时, M ?( x) ? 0 ,所以 M ( x) 在 [0, ??) 上单调递减, 故 M ( x) ? M (0) ? 0 故当 x ? 0 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x 2 , 此时,任意正实数 t 均满足题意 综上, k ? 1 21.选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)因为 | A |? 2 ? 3 ? 1? 4 ? 2

? 3 ? 2 ?1 所以 A ? ? ? ?4 ? ? 2

?1 ? 1? ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ?2 1 ? 2 ?

(Ⅱ)由 AC=B 得 ( A- 1 A) C = A- 1B ,

1? ? 3 ? 3 ? ? ??1 1 ? ? 2? ? = 2 故 C ? A B= 2 2 ? ? ? ? 0 ?1? ? ? ? ? ?2 1 ? ? ?2 ?3 ?
?1

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考 查化归与转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)消去参数 t ,得到圆 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 由 2 ? sin(? ?

?
4

) ? m ,得

? sin ? ? ? cos? ? m ? 0
所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? m ? 0 (Ⅱ)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即

|1 ? ? ?2 ? ? m | 2

? 2,

解得 m ? ?3 ? 2 2 (3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力,考查化归与转化 思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b | ?c ?| ( x ? a) ? ( x ? b) | ?c ?| a ? b | ?c 当且仅当 ? a ? x ? b 时,等号成立 又 a > 0, b > 0 ,所以 | a ? b |? a ? b , 所以 f ( x ) 的最小值为 a ? b ? c

又已知 f ( x ) 的最小值为 4, 所以 a ? b ? c ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? c ? 4 ,由柯西不等式得

1 1 a b ( a 2 ? b 2 ? c 2 )(4 ? 9 ? 1) ? ( ? 2 ? ? 3 ? c ?1) 2 ? (a ? b ? c) 2 ? 16 , 4 9 2 3 1 2 1 2 8 2 即( a ? b ?c ) ? 4 9 7 1 1 b a 8 18 2 c 3 2 当且仅当 ? ? ,即 a ? , b ? , c ? 时等号成立 7 7 7 2 3 1 1 2 1 2 2 8 故 a ? b ? c 的最小值为 4 9 7


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