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必修2-第一章空间几何体-1.3.1柱体、锥体和台体的表面积


2010~2011学年度高一数学·必修1(人教A版)

济宁育才中学高一数学组 朱继哲

必修2-第一章空间几何体-1.3.1柱体、锥体和台体的表面积

教学目标:
1、通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、 台的表面积的求法。 2、了解柱、锥、台的表面积计算公式;能运用 柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问 题. 3、培养学生空间想象能力和思维能力。 设疑引课:

在初中已经学过了正方体和长方体的 表面积,你知道正方体和长方体的展开图 与其表面积的关系吗?

必修2-第一章空间几何体-1.3.1柱体、锥体和台体的表面积

正(长)方体的表面积等于它们的展开图的面积

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提出问题:柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎 样的?你能否计算?

正棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积? 棱柱的 表面积 等于它 的侧面 积加底 面积

h

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棱锥的展开图

h'

h'

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棱台的展开图
侧面展开

h'

h'

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棱柱的侧面展开图是由平行四边形组 成的平面图形,棱锥的侧面展开图是由三 角形组成的平面图形,棱台的侧面展开图 是由梯形组成的平面图形。 这样,求它们的表面积的问题就可转 化为求平行四边形、三角形、梯形的面积 问题。

例1:已知棱长为a,各面均为等边三角形 的四面体S-ABC,求它的表面积.
分析:四面体的表面积等于其中任何一个面面积 S 的4倍。 解:先求△SBC的面积,过点S作 SD⊥BC,交BC于点D. A 因为BC=a,
SD ? SB ? BD
2 2

?

a ?( ) ? a 2 2
2 2

a

3

B
3 4

D
a
2

C

S 所以:? S ? C ?

1 2

BC ? SD ?

1 2

a?

3 2

a ?

因此,四面体的表面积 S ? 4 ?

3 4

a ?
2

3a

2

练习:一个三棱柱的底面是正三角形,边长为4, 侧棱与底面垂直,侧棱长10,求其表面积. 想一想:三棱柱的 展开图是什么?

想一想:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧 面积及表面积?

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r O?
l
2? r

O

圆柱的侧面展开图是矩形

S 圆柱表面积

? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )
2

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2? r

l

r

O

圆锥的侧面展开图是扇形 2 S 圆锥表面积 ? ? r ? ? rl ? ? r ( r ? l )

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参照圆柱和圆锥的 侧面展开图,试想 象圆台的侧面展开 图是什么 .
r

2? r '

r ' O’
l

2? r

O

圆台的侧面展开图是扇环

S 圆台表面积

? ? ( r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

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练一练:一个圆台,上、下底面半径分别 为10、20,母线与底面的夹角为60°,求 圆台的表面积. O`
变式:想一想,你能求 出切割之前的圆锥的 表面积吗?试试看!

O

思考:圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系?

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圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公 式之间的关系。
r O?
r’=r
r ' O’
l

r’=0
上底缩小

l

l
O

上底扩大

r

O

r

O

S 柱 ? 2? r ( r ? l )

S台

? 2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) S 锥 ? ? r ( r ? l ) ? ? (r

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例2:(见P25)一圆台形花盆,盆口直径20cm,盆
底直径15cm,底部渗水圆孔直径1.5cm,盆壁长 15cm.. 为美化外表而涂油漆,若每平方米用100 毫升油漆,涂100个这样的花盘要多少油漆? (π取3.14,结果精确到1毫升)
20 cm

分析、思考:油漆位置在 什么地方?→ 如何求花盆 外壁表面积?

15 cm
15 cm

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解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁 的表面积
S ? ? ? [( 15 2
2

) ?
2

15 2

? 15 ?
2

20 2

? 15] ? ? ? (

1 .5 2

)

2

? 1 0 0 0 ( c m ) ? 0 .1( m ).

20 cm

涂100个这样的花盘需油漆: 15 cm 0.1×100×100=1000(毫升). 15 cm 答:涂100个这样的花盘需油漆 1000毫升. 变式训练:若内外涂,涂100个这样的花盘需 要多少油漆?

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小结归纳: 多面体的表面积 棱柱:棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积 棱锥:棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积 棱台:棱台的表面积等于它的侧面积加底面积 旋转体的表面积 圆柱:见下图 圆锥:见下图 圆台:见下图

圆柱 圆锥 圆台

展 开 图

表面 S ? 2 ? r 2 ? 2 ? rl 积 ? 2? r ( r ? l ) 公式

S ? ? r ? ? rl S ? ? ( r
2

'2

?r

2

? ? r (r ? l )

? r l ? rl )
'

附:初中阶段所学的有关公式
矩形面积公式:S ? a b 三角形面积公式:S
? 1 2 ah

圆面积公式: S ? ? r 2 圆周长公式: C ? 2? r 扇形面积公式: S ? 梯形面积公式:S
?

1 2
1

rl

(a ? b)h

扇环面积公式:S ?

2 1

( l ? l ')( r ? r ')

2

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作业布置:
作业:P28 习题1.3A组第1、2题
P30 B组第 2题


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