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高二下学期数学期末复习试题01(数学理)B5


高二下数学期末复习试题一(理科)
一、选择题: (本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) . 1.下列命题中正确的是( ) A.若一条直线与一个平面内的无数条直线平行,则这条直线平行于这个平面。 B.若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线垂直于这个平面。 C.若两个平面互相平行,则一个平面内的任意一条直线平行于另一平面。 D.若两个平面互相垂直,则一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面。

1 2. 设二项式 ( 3 x ? )n 的展开式各项系数的和为 32,则 n 的值为( x
A.8 B.4 C.3

) D.5

3. 电灯泡使用时数在 1000 小时以上的概率为 0.8,则 3 个灯泡在使用 1000 小时内恰好 坏了一个的概率为( A.0.384 B. )

1 3

C.0.128

D.0.104 )

4. 6 名学生要排成一排合影,则甲、乙两名学生相邻排列的概率是( A.

1 6

B.

1 15

C.

1 5


D.

1 3

1 5. 二项式 (2x2 ? )6 的展开式中,常数项为( x
A.30 B.48

C.60

D.120

6. 在样本的频率分布直方图中,一共有 n 个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余 n – 1 个小矩形面积和的 A.32

1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数是( 4
C.20 D.40



B.25

7. 一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生 1600 名,其中高三学生 400 名.如果 通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为 80 人的样本,那么应当从高 三年级的学生中抽取的人数是( A.10 B.20 ) C.30 D.40

8. 有三张卡片的正、反两面分别写有数字 0 和 1,2 和 3,4 和 5,某学生用它们来拼一 个三位偶数,则所得不同的三位数有(
-1-



A.48

B.24

C.22

D.20 )

9. 把边长为 a 的正△ABC 沿高线 AD 折成 60 ? 的二面角, 这时 A 到边 BC 的距离是 ( A.
15 a 4

B.

6 a 3

C.

13 a 4

D. D1 A1 D A

3 a 2

10. 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其 边界上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是 ( ) B.线段 BC1

C1 B1 P C B

A.线段 B1C

C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中 点连成的线段

二、填空题: (本大题 5 个小题, 每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡上(只 填结果,不要过程) 11. 由于甲流暴发,防疫站对学生进行身体健康调查,对男女学生采用分层抽样法抽取, 学校共有学生 1600 名,抽取一个容量为 200 的样本.已知女生比男生少抽了 20 人, 则该校的女生人数应是______________人. 12. 在某市高三数学统考的抽样调查中, 90 分以上 对 (含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图如图所示, 若 130~140 分数段的人数为 90 人,则 90~ 100 分 数段的人数为_____________人. 13. 正六棱锥的底面边长为 3cm,侧面积是底面积的 3 倍,则棱锥的高为______. 14. 已知球 O 的表面积为 4? ,A、B、C 三点都在球面上,且任 意两点间的球面距离为
0.45 频 率

0.25 0.15 0.10 0.05 90 100 110 120 130 140

分 数

? , OA 与平面 ABC 所成角的正切 则 2
5 1 4

2 3

值是________________. 15. 将右图中编有号的五个区域染色,有五种颜色可供选择,

要求有公共边的两个区域不能同色,则不同的涂色方法总数为________________(用 数字作答). 三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的
-2-

1 1 , 16.甲乙两人独立地破译一个密码,他们能破译密码的概率分别是 3 4 ,求: ①.两人都
译出密码的概率. ②.两人都译不出密码的概率.③.恰有一人译出密码的概率. ④. 至多一人译出密码的概率

文字说明、演算步骤或推理过程)

17. 某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测,设 各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为 一项技术指标达标的概率为 格品. (1) 求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (2) 任意依次抽出 5 个零件进行检测, 求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少?
5 ,至少 12

11 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合 12

18.设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 灯(禁止通行)的概率为

3 ,遇到红 4

1 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进, ? 表 4
王新敞
奎屯 新疆

示停车时已经通过的路口数,求: (1) ? 的概率的分布列及期望 E ? ; (2 ) 停车时最多已通过 3 个路口的概率
王新敞
奎屯 新疆

-3-

19.如图, 直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的高为 3, 底面是边长为 4 且∠DAB = 60°的菱形, I BD AC = O,A1C1 ? B1D1 = O1,E 是 O1A 的中点. (1) 求二面角 O1-BC-D 的大小; (2) 求点 E 到平面 O1BC 的距离.

20.已知 (1 ? 2 x )n 的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的 2 倍,而等于它后一项 的系数的

5 . 6 (1) 求该展开式中二项式系数最大的项; (2) 求展开式中系数最大的项.

21.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点。 (1)证明:AD⊥D1F; (2)求 AE 和 D1F 所成的角; (3) 证明面 AED⊥面 A1FD1; (4)设 AA1=2,求三棱锥 E-AA1F 的体积 VE ? AA1F .
E D F A B C A1 B1 D1 C1

-4-

高二下数学期末复习试题一(理科)参考答案
一、选择题: (本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) . 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.A 7.B 8.D 9.A 10.A

二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.720 12.810 13.

3 6 2

14.

2 2

15.420

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)

1 16.解:∵ A ? {x | ?4 ? x ? ? } B ? {x | a ? 2 ? x ? 2 ? a} , 2 又 ∵ A? B ?? 1 ∴ a ? 2 ? ?4 或 a ? 2 ? ? 2 3 ∴ a ? ?6 或 a ? ? 2 3 ∴ a 的取值范围为 a ? ?6 或 a ? ? 2 17.解:(1) 法一:设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2 5 ? 1 ? P ? (1 ? P2 ) ? (1 ? P ) ? P2 ? 12 ? 1 由题意得: ? ?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P )? ? 11 1 2 ? ? 12 1 3 2 2 3 解得: P ? , P2 ? 或 P ? , P2 ? ,∴ P ? P P2 ? . 1 1 1 2 4 3 3 4 1 即,一个零件经过检测为合格品的概率为 . 2 11 5 1 法二: P ? ? ? 12 12 2 (2) 任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为
13 ?1? 5?1? 1 ? C54 ? ? ? C5 ? ? ? ?2? ? 2 ? 16
5 5

18.解:

解: (I) ? 的所有可能值为 0,1,2,3,4

用 AK 表示“汽车通过第 k 个路口时不停(遇绿灯), ”

3 (k ? 1,2,3,4), 且A1 , A2 , A3 , A4 独立. 4 1 故 P (? ? 0) ? P ( A1 ) ? , 4
则 P(AK)=
-5-

3 1 3 ? ? 4 4 16 3 1 9 P(? ? 2) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? ( ) 2 ? , 4 4 64 3 1 27 P(? ? 3) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? ( ) 3 ? , 4 4 256 3 81 P(? ? 4) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? ( ) 4 ? 4 256 P(? ? 1) ? P( A1 ? A2 ) ?
从而 ? 有分布列:

?

0

1

2

3

4

81 256 1 3 9 27 81 525 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? 4 16 64 256 256 256 81 175 ? (II) P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 4) ? 1 ? 256 256 175 答:停车时最多已通过 3 个路口的概率为 . 256
P 19.解法一: (1) 过 O 作 OF⊥BC 于 F,连接 O1F, ∵OO1⊥面 AC,∴BC⊥O1F, ∴∠O1FO 是二面角 O1-BC-D 的平面角, ∵OB = 2,∠OBF = 60°,∴OF = 3 . 在 Rt△O1OF 中,tan∠O1FO = OO1 ? 3 ? 3,
OF 3

1 4

3 16

9 64

27 256

∴∠O1FO=60° 即二面角 O1—BC—D 的大小为 60° (2) 在△O1AC 中,OE 是△O1AC 的中位线,∴OE∥O1C ∴OE∥O1BC,∵BC⊥面 O1OF,∴面 O1BC⊥面 O1OF,交线 O1F. 过 O 作 OH⊥O1F 于 H,则 OH 是点 O 到面 O1BC 的距离,

-6-

∴OH = . ∴点 E 到面 O1BC 的距离等于 . 解法二: (1) ∵OO1⊥平面 AC, ∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又 OA⊥OB, 建立如图所示的空间直角坐标系(如图) ∵底面 ABCD 是边长为 4,∠DAB = 60°的菱形, ∴OA = 2 3 ,OB = 2, 则 A(2 3 ,0,0) B(0,2,0) C(-2 3 ,0,0) O1(0,0,3) , , , 设平面 O1BC 的法向量为 n1 =(x,y,z) ,则 n1 ⊥ O1B , n1 ⊥ O1C ,
? ∴? ? 2 y ? 3z ? 0

3 2

3 2

??

??

????

??

???? ?

??2 3 x ? 3 z ? 0 ?

,则 z = 2,则 x=- 3 ,y = 3,

∴ n1 =(- 3 ,3,2) ,而平面 AC 的法向量 n2 =(0,0,3) ∴ cos< n1 , n2 >= n1 ? n2 ? 6 ? 1 , | n1 | ? | n2 | 3 ? 4 2 设 O1-BC-D 的平面角为 α , ∴cosα = , ∴α =60°. 故二面角 O1-BC-D 为 60°. (2) 设点 E 到平面 O1BC 的距离为 d, ∵E 是 O1A 的中点,∴ EO1 =(- 3 ,0, 则 d= | EO1 ? n | ? | n1 |
3 | (? 3,0, ) ? (? 3,3,2) | 3 2 ? 2 2 2 2 (? 3 ) ? 3 ? 2

??

?? ?

??

?? ?

1 2

???? ?

3 ) , 2

∴点 E 到面 O1BC 的距离等于

3 . 2

r r r 20. (1) 第 r + 1 项项系数为 Cn ?2r , r 项系数为 C11?1 ?2r ?1 , r + 2 项系数为 C11?1 ?2r ?1 解: 第 第

r r r r ?Cn ?2r ? 2Cn ?1 ?2r ?1 ?Cn ? Cn ?1 ? 2r ? n ? 1 ? ? ? 依题意得 ? 5 r ?1 r ?1 整理得 ? r 5 r ?1 即 ? r r ?5(n ? r ) ? 3(r ? 1) ?Cn ?2 ? Cn ?2 ?Cn ? Cn ? 6 3 ? ?

求得 n = 7,故二项式系数最大的项是第 4 项和第 5 项.
-7-

3 4 T4 ? C7 (2 x )3 ? 280 x 2,T5 ? C7 (2 x )4 ? 560 x 2

3

?C7r ? 2r ? C7r ?1 ? 2r ?1 ? (2) 假设第 r + 1 项的系数最大,则 ? r r r ?1 r ?1 ?C7 ? 2 ? C7 ? 2 ?

7! 7! ? r r ?1 1 ?2 ? r !? 7 ? r ?! ?2 ? (r ? 1)!?8 ? r ?! ?2 ?r ? 8 ? r ? ? 即? 即? 7! 7! 1 2 ? ? 2r ? ?2r ?1 ? ? ? r !? 7 ? r ?! ?7 ? r r ?1 (r ? 1)!? 6 ? r ?! ? ?

解得

13 16 ?r? 3 3

又∵ r ? N ,∴ r = 5
5 ∴ 展开式中系数最大的项为 T6 ? C7 (2 x )5 ? 672 ? x 2 5

21.解: (1)因 AC1 是正方体,所以 AD⊥面 DC1,又 D1F ? 面 D1C,∴AD⊥D1F. (2)90° (3)由(1)知 AD⊥D1F,由(2)知 AE ? D1F,又 AD∩AE=A,∴D1F⊥面 ADE, ∴面 AED⊥面 A1FD1(4) VE ? AA1F = VF ? AA1E =

4 3

-8-


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