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高一数学-求函数值域的几种常见方法 精品

求 函数值域的几种常见方法 王新敞 奎屯 新疆 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ? k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R, 2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }. 4a 4a 例 1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ③y? x x ?1 ④y ? x? 1 x 王新敞 奎屯 新疆 解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??) 王新敞 奎屯 新疆 即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2} ③y? ∵ 王新敞 奎屯 新疆 x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1 ∴ y ?1 王新敞 奎屯 新疆 1 ?0 x ?1 即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法) ④当 x>0,∴ y ? x ? 1 2 1 ) ? 2 ? 2, =( x ? x x 4 3 1 2 1 ) =- ( ? x ? ) ? 2 ? ?2 当 x<0 时, y ? ?( ? x ? ?x ?x ∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ).(此法也称为配方法) 函数 y ? x ? 王新敞 奎屯 新疆 -6 1 2 f?x? = x+ x -1 o 2 1 -4 -2 -1 -2 -3 y=x 1 -2 2 4 6 1 的图像为: x -4 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4] ;③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ; ④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ; 解:∵ y ? x 2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为 2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ? -3 }. ②∵顶点横坐标 2 ? [3,4], 当 x=3 时,y= -2;x=4 时,y=1; ∴在[3,4]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标 2 ? [0,1],当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=-2, ∴在[0,1]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标 2 ? [0,5],当 x=0 时,y=1;x=2 时,y=-3, x=5 时,y=6, ∴在[0,1]上, y min =-3, y max =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ? 2 b 时,其最小

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