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高一数学-求函数值域的几种常见方法 精品

求 函数值域的几种常见方法 王新敞 奎屯 新疆 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ? k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R, 2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }. 4a 4a 例 1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1) ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ③y? x x ?1 ④y ? x? 1 x 王新敞 奎屯 新疆 解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??) 王新敞 奎屯 新疆 即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2} ③y? ∵ 王新敞 奎屯 新疆 x x ?1?1 1 ? ? 1? x ?1 x ?1 x ?1 ∴ y ?1 王新敞 奎屯 新疆 1 ?0 x ?1 即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法) ④当 x>0,∴ y ? x ? 1 2 1 ) ? 2 ? 2, =( x ? x x 4 3 1 2 1 ) =- ( ? x ? ) ? 2 ? ?2 当 x<0 时, y ? ?( ? x ? ?x ?x ∴值域是 (??,?2] ? [2,+ ? ).(此法也称为配方法) 函数 y ? x ? 王新敞 奎屯 新疆 -6 1 2 f?x? = x+ x -1 o 2 1 -4 -2 -1 -2 -3 y=x 1 -2 2 4 6 1 的图像为: x -4 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4] ;③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ; ④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ; 解:∵ y ? x 2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为 2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ? -3 }. ②∵顶点横坐标 2 ? [3,4], 当 x=3 时,y= -2;x=4 时,y=1; ∴在[3,4]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标 2 ? [0,1],当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=-2, ∴在[0,1]上, y min =-2, y max =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标 2 ? [0,5],当 x=0 时,y=1;x=2 时,y=-3, x=5 时,y=6, ∴在[0,1]上, y min =-3, y max =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ? 2 b 时,其最小值 y min ? (4ac ? b ) ; 2a 4a 2 b 时,其最大值 y max ? (4ac ? b ) . 2a 4a y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x ⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 x0 ? [a,b],则 f ( x0 ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 f (a), f (b) 的大小决定 函数的最大(小)值. ②若 x0 ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x) 的单调区间内,只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的最大(小) 值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.判别式法(△法) : 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论 例 3.求函数 y ? 王新敞 奎屯 新疆 x 2 ? 5x ? 6 的值域 x2 ? x ? 6 方法一:去分母得 (y?1) x +(y+5)x?6y?6=0 2 2 ① 当 y?1 时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y?1)×6(y+1) ? 0 由此得 (5y+1) ? 0 2 王新敞 奎屯 新疆 1 检验 y ? ? 时 5 1 ? ?5 x?? 5 ? 2 (代入①求根) 6 2 ? (? ) 5 ∴y?? ∴y?1 ∵2 ? 定义域 { x| x?2 且 x?3} 再检验 y=1 代入①求得 x=2 综上所述,函数 y ? 1 5 1 x 2 ? 5x ? 6 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 2 5 x ? x?6 ( x ? 2)(x ? 3) x ? 3 6 (x?2) ? ? 1? ( x ? 2)(x ? 3) x ? 3 x?3 方法二:把已知函数化为函数 y ? 由此可得 y?1 ∵ x=2 时 王新敞 奎屯 新疆 y?? 1 5 即 y?? 1 5 ∴函数 y ? 1 x 2 ? 5x ? 6 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 2 5 x ? x?6 王新敞 奎屯 新疆 说明:此法是利用方程思想来处

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