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湖北省黄冈市2017届高三第一次调研考试理科数学


黄冈市 2017 届高三第一次调研考试

理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知函数 f ( x) ?

1 1 ? x2

的定义域为 M , g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N ,则

M ? (CR N ) ? ()
A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. ? D. {x | ?1 ? x ? 1} 2.给定下列两个命题:

p1 : ?a, b ? R, a2 ? ab ? b2 ? 0 ;

p2 :在三角形 ABC 中, A ? B ,则 sin A ? sin B .
则下列命题中的真命题为() A. p1 B. p1 ? p2 C. p1 ? (?p2 ) D. (?p1 ) ? p2 3.设 {an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2 a3 ? 80 ,则 a1 1 ?a 1 2 ?a 1 3 ? () A.120 B.105 C.90 D.75

4.若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是() A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?
2 5.设条件 p : ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ;条件 q : 0 ? a ? 1 ,则条件 p 是条件 q 成

立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要

6.函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln | x | 的图象大致为()

7.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( A. 3 ? 3 B. 3 ? 6 C. 1 ? 2 3 D. 1 ? 2 6



8.函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 在 x ? A. f ( x ? C. f ( x ?

?
3

处取得最小值,则()

? ?

) 是奇函数 B. f ( x ? ) 是偶函数 3 3

?

) 是奇函数 D. f ( x ? ) 是偶函数 3 3

?

? 9.在 Rt ?ABC 中,?BCA ? 90 , AC ? BC ? 6 ,M 为斜边 AB 的中点,N 为斜边 AB 上

一点,且 MN ? 2 2 ,则 CM ? CN 的值为() A. 18 2 B.16 10.设 1 ? x ? 2 ,则 C.24 D.18

???? ? ??? ?

ln x ln x 2 ln x 2 ) , 2 的大小关系是() ,( x x x

A. (

ln x 2 ln x ln x 2 ln x ln x 2 ln x 2 ) ? ? 2 B. ?( ) ? 2 x x x x x x

ln x 2 ln x 2 ln x ln x 2 ln x 2 ln x ) ? 2 ? ) ? C. ( D. 2 ? ( x x x x x x
11.设 F1 , F2 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P ,使 4

??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点)且 | PF1 |? ? | PF2 | ,则 ? 的值为()
A.2 B.

1 C.3 2

D.

1 3
, 若满足 g ( x) ? ?1 的 x 有四个,

12.已知 f ( x) ?| x ? e x | , 又 gx () ? f ( x2) t ?f ? x( t ( ) R? ) 则 t 的取值范围为()

e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 , ?2) D. (2, , ??) B. (??, ? ) C. (? ) A. ( e e e e

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 A(4, m) 到其焦点的距离为

17 ,则 p 的值为. 4

?2 x ? 4, x ? 0 14.设函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? f (1) ,则实数 a 的取值范围是. ?? x ? 3, x ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15.已知向量 a, b 满足 | a |? 2 , | b |? 1 , a 与 b 的夹角为 ,则 a 与 a ? 2b 的夹角为. 3
?sin ? x, x ? [0, 2] ? 16.对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 3 个命题: f ( x ? 2), x ? (2, ?? ) ? ?2
①任取 x1 , x2 ?[0, ??) ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 恒成立; ② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k )(k ? N ) ,对于一切 x ? [0, ??) 恒成立;
*

③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 在 (1, ??) 上有 3 个零点; 则其中所有真命题的序号是.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
17. (本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 3a sin C ? c cos A .
(1)求 A ; (2)若 a ? 1 , ?ABC 的面积为 18. (本小题满分 12 分) 对于函数 f ( x ) ,若在定义域内存在实数 x 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为“局部奇函

3 ,求 b, c . 4

数”. ; p : f ( x) ? m ? 2x 为定义在 [?1,1] 上的“局部奇函数”

q : 方程 x2 ? (5m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不等实根;
若“ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,求 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(3,3) ,点 C 在第二象限,且 ?ABC 是以 ?BAC 为 直角的等腰直角三角形,点 P( x, y) 在 ?ABC 三边围成的区域内(含边界). (1)若 PA ? PB ? PC ? 0 ,求 | OP | ; (2)设 OP ? mAB ? nAC (m,n ?R ) ,求 m ? 2 n 的最大值. 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,向量 a ? (Sn , n) , b ? (9n ? 7, 2) ,且 a 与 b 共线. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 对任意 m ? N * ,将数列 {an } 中落入区间 (9 ,9 ) 内的项的个数记为 bm ,求数列 {bm }
m 2m

??? ? ??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

?

??? ?

??? ?

?

?

?

?

的前 m 项和 Tm . 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? 8 .
2

(1)若对 x ? 3 ,不等式 f ( x) ? (m ? 2) x ? m ? 15 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)记 h( x) ? ?

1 1 f ( x) ? 4 ,那么当 k ? 时,是否存在区间 [m, n](m ? n) 使得函数在区 2 2

间 [m, n] 上的值域恰好为 [km, kn] ?若存在,请求出区间 [m, n] ;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ? R .
2

(1)若函数 f ( x ) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g (x) ? f (x) ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] ( e 是自然常数)时,函数 g ( x)
2

的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

2 2 (3)当 x ? (0, e] 时,证明: e x ?

5 x ? ( x ? 1) ln x . 2

2016 年高三九月考试数学试题(理科)答案
一、A DB C C 1 二、13. 2 三、解答题 17.解:(1)由已知结合正弦定理可得 sinC= 3 sinAsinC﹣sinCcosA,??2 分 ∵sinC≠0, A BB D A A B π 14. (-∞,-1)∪(1,+∞) 15. 6 16. ①③

? ? 1 ),即 sin(A﹣ )= ,??4 分 2 6 6 ? ? 5? ? ? 又∵A∈(0,π),∴A﹣ ∈(﹣ , ),∴A﹣ = , 6 6 6 6 6 ? ∴A= ,????5 分 3 1 3 1 3 (2)S= bcsinA,即 = bc ,∴bc=1,①… 7 分 2 4 2 2 ? 2 2 2 2 又∵a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccos , 3
∴1= sinA﹣cosA=2sin(A﹣ 即 1=(b+c) ﹣3,且 b,c 为正数, ∴b+c=2,②??9 分 由①②两式解得 b=c=1.?? 10 分 18. 【解析】 若 p 为真, 则由于 f ( x) ? m ? 2 为 [?1,1] 的局部奇函数, 从而 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,
x
x ?x 即 2 ? 2 ? 2m ? 0 在 [?1,1] 上有解??2 分

2

1 1 2 t 1 1 5 5 又 g (t ) ? t ? 在 [ ,1) 上递减,在 [1, 2] 上递增,从而 g (t ) ? [2, ] ,得 ?2m ? [2, ] t 2 2 2 5 故有 ? ? m ? ?1 . 4 3 1 2 若 q 为真,则有 ? ? (5m ? 1) ? 4 ? 0 ,得 m ? ? 或 m ? . 5 5 又由“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,则 p 与 q 一真一假
x 令 t ? 2 ? [ , 2] ,则 ?2m ? t ?

5 3 1 或 ?1 ? m ? ? 或 m ? ??12 分 4 5 5 19.解: (1)A(1,1) ,B(3,3) , ?ABC 是以 ?BAC 为直角的等腰直角三角形且 C 在第二 ??? ? ??? ? ??? ? ? 象限,? C (?1,3) , PA ? PB ? PC ? 0 , P 是 ?ABC 的重心,
综上知 m 的取值范围为 m ? ?

??? ? 7 58 ? P (1, ) , | OP |? ??5 分 3 3
(2) OP ? mAB ? nAC(m, n ? R) , AB ? (2, 2), AC ? (?2, 2) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

( x, y) ? (2m ? 2n, 2m ? 2n) , m ?

x? y y?x 3y ? x ,n ? , m ? 2n ? ??9 分 4 4 4

有线性规划知 3 y ? x 的最大值为 10,此时 x ? ?1, y ? 3 m+2n 的最大值为 20.解 (1) 与

5 ??12 分 2
共线, S n ?

n(9n ? 7) 9 2 7 ? n ? n , a1 ? 1, an ? Sn ? Sn?1 ? 9n ? 8 2 2 2
??6 分

所以 an=9n-8(n∈N*).

(2)对 m∈N*,若 9m<an<92m,则 9m+8<9n<92m+8. 因此 9m 1+1≤n≤92m 1.故得 bm=92m 1-9m 1.
- - - -

于是 Tm=b1+b2+b3+?+bm =(9+93+?+92m 1)-(1+9+?+9m 1)=
- -

9(1 ? 81m ) 1 ? 9m ? 1 ? 81 1? 9

9 ? 92 m ? 1 ? 10 ? 9m = . 80
21 解:(1) f(x)=x -2x-8,
2

??12 分

x2 ? 2x ? 8 ? (m ? 2) x ? m ?15 ,即 x2 ? (m ? 4) x ? 7 ? m ? 0 对 x ? 3 恒成立,

?m ? 4 ?3 ? 则① ? 2 或② ? ? (m ? 4)2 ? 4(m ? 7) ? 0 ? ?9 ? 3(m ? 4) ? m ? 7 ? 0
解得① m ? 2 或 ② ?6 ? m ? 2 综合得 m 的取值范围为 (??, 2] ????6 分

x2 ? 4 x ? 7 (注:亦可分离变量 m ? 对 x ? 3 恒成立,) x ?1
(2) h( x) ? ?

1 2 1 1 1 x ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? , kn ? h( x) max ? 2 2 2 2 1 1 n? ,又 k ? ,∴ n ? 1 ,∴ h( x) 在 [m, n] 上单调递增, 2k 2

? 1 2 ? m ? m ? km ? h ( m ) ? km ? 1 2 ? 2 ,? ,m,n 是方程- x +(1-k)x=0 的两根,x1=0,x2=2-2k ? 2 ?h(n) ? kn ? ? 1 n 2 ? n ? kn ? ? 2
∴当

1 ? k ? 1 时, [m, n] ? [0, 2 ? 2k ] , 2

当 k ? 1 时, [m, n] ? [2 ? 2k , 0] , 当 k ? 1 时,不存在区间????12 分 22.解:(1) f ( x) ? 2 x ? a ?
'

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在[1,2]上恒成立, x x

? a ? ?1 ?h(1) ? 0 ? 7 令 h(x)=2x +ax﹣1,有 ? 得? 7 ,得 a ? ? 2 ?h(2) ? 0 ? a ? ? ? 2
2

????3 分

' (2)假设存在实数 a,使 g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3, g ( x ) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

①当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, a ? ②当 0 ?

4 (舍去), e

1 1 1 ? e 时,g(x)在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 2 ∴ g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 ,a=e ,满足条件. a 1 4 ③当 ? e 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, a ? (舍去), a e
综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3.
2

??????8 分

ln x 5 1 ? ln x ? ,? ' ( x) ? , x 2 x2 1 5 1 5 当 0<x≤e 时,?'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上单调递增∴ ? ( x) max ? ? (e) ? ? ? ? ? 3 e 2 2 2 ln x 5 5 2 ? ,即 e 2 x 2 ? x ? ( x ? 1) ln x .????12 分 ∴ e x ? ln x ? x 2 2
(3)令 F(x)=e x﹣lnx,由(2)知,F(x)min=3.令 ? ( x) ?
2

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