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3反证法与放缩法


三 反证法与放缩法 三 反 证 法 与 放 缩 法 学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 学习目标 1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式. 课前自主学案 1.将所证的不等式的字母作适当的代换,以 达到简化证题过程的目的,这种方法称为 换元法 ________. 不成立 2.证明不等式时,首先假设要证的命题________, 公理 已知条件 以此为出发点 ,结合__________,应用_____、 _____、_____、_____等,进行正确的推理,得到 定义 定理 性质 和 ____________ 或 已证明的定理 、 _____ 、 ______________ 命题的条件 性质 ________________等矛盾的结论,以说明假设不 明显成立的事实 正确,从而证明原命题成立.我们把它称之为 反证法 ________. 3.在证明不等式时,通过把不等式的某些部分的 放大或缩小 值_____________,简化不等式,从而达到证明的 目的,我们把这种方法称为放缩法. 思考感悟 运用放缩法证明不等式的关键是什么? 提示:运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩 小)要适当.如果所要证明的不等式中含有分式, 那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小;反 之,如果把分母缩小,则相应分式的值就会放 大.有时也会把分子、分母同时放大,这时应该注 意不等式的变化情况,可以与相应的函数相联系, 以达到判断大小的目的,这些都是我们在证明中的 常用方法与技巧,也是放缩法中的主要形式. 课堂互动讲练 考点突破 反证法证明不等式 例1 设0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:(2-a)· c, (2-b)· a,(2-c)· b不可能同时大于1. 【思路点拨】 结论若是“都是”、“都不是”、 “至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题,往 往考虑反证法,本题“不大于”的反面是“大于”, “至少有一个”的反面是“一个也没有”. 【证明】 假设(2-a)· c>1,(2-b)· a>1,(2-c)· b>1,则(2 -a)· (2-b)· (2-c)· c· a· b>1.① ∵0<a<2,0<b<2,0<c<2, 2-a+a 2 ∴(2-a)· a≤( ) =1. 2 同理:(2-b)· b≤1,(2-c)· c≤1. ∴(2-a)a· (2-b)· (2-c)· b· c≤1,这与①式矛盾.∴假设不 成立. 即:(2-a)· c,(2-b)· a,(2-c)· 不可能同时大于 1. b 【名师点评】 当题目结论为否定性命题时,常 采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗 漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知 条件、假设矛盾. 变式训练 1 已知 f(x)=x2+px+q, (1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2; (2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 1 . 2 证明: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q) -2(4+2p+q)=2. 1 (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 . 2 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果. 1 ∴|f(1)

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