2018版高中数学第一章空间几何体1.31.3.1柱体锥体台体的表面积与体积学案新人教A版必修220180502160

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 目标定位 1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能 运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 自 主 预 习 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积 名称 图形 公式 底面积：S 底＝2π r 2 圆柱 侧面积：S 侧＝2π rl 表面积：S＝2π rl＋2π r 底面积：S 底＝π r 2 2 圆锥 侧面积：S 侧＝π rl 表面积：S＝π rl＋π r 2 上底面面积：S 上底＝π r′ 圆台 下底面面积：S 下底＝π r 2 2 侧面积：S 侧＝π l(r＋r′) 表面积：S＝π (r′ ＋r ＋r′l＋rl) 2 2 3.体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝Sh. 1 (2)锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V＝ Sh. 3 1 (3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h，则 V＝ (S′＋ S′S＋S)h. 3 1 即 时 自 测 1.判断题 (1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.(√) (2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(×) (3)柱体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝Sh，特别地，圆柱的底面半径为 r，高为 h；其 体积 V＝π r h.(√) (4)已知圆锥 SO 的底面半径 r＝2，高为 4，则其体积为 16π .(×) 提示 (2)圆锥的侧面展开图是一个扇形. 1 16 2 (4)V＝ π ×2 ×4＝ π . 3 3 2.圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其侧面积等于( A.15 B.15π C.24π ) D.30π 2 解析 S 侧＝π rl＝π ×3×5＝15π . 答案 B 3.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周， 所得几何体的侧面积是( A.4π B.3π C.2π D.π ) 解析 底面圆半径为 1，高为 1，侧面积 S＝2π rh＝2π ×1×1＝2π .故选 C. 答案 C 4.圆台 OO′的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 6，则其体积等于________. 1 2 2 解析 V＝ π (1 ＋1×2＋2 )×6＝14π . 3 答案 14π 类型一 空间几何体的表面积 【例 1】 如图所示，已知直角梯形 ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm， AD＝4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 解 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底半径是 4 cm， 下底半径是 16 cm， 母线 DC＝ 5 ＋（16－4） ＝13(cm). ∴该几何体的表面积为π (4＋16)×13＋π ×4 ＋π ×16 ＝532π (cm ). 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面 中的相关量是求解旋转体表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、 侧棱及其在底面的射影与高、 底面边长等构成的直 2 2 2 2 2 2 角三角形(或梯形)求解. 【训练 1】 如图，已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S－ABC，求它的表面积. 解 先求△SBC 的面积，过点 S 作 SD⊥BC，交 BC 于点 D. 因为 BC＝a，SD＝ SB －BD ＝ 1 所以 S△SBC＝