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云南省2012年第一次高中毕业生复习统一检测(理数,解析版)


2012 年云南省第一次高中毕业生复习 统一检测理科数学
第 1 题: (1)函数 f ( x) ? 4 tan ( 2 x ? 3? ) 的最小正周期等于 (A)

? 4

(B)

? 3

(C)

? 2

(D) ?

解:∵ f ( x ) ? 4 tan ( 2 x ? 3? ) ? 4 tan 2 x , ∴ f ( x ) ? 4 tan 2 x 的最小正周期为 故选(C). 答题分析:1.有的考生可能是错误地记成了正弦函数的周期,故得到了错误答案

? . 2

T?

2? ? ? ,从而错选(D). 2
2. 需 要 强 调 的 是 : 如 果 对 三 角 函 数 的 图 象 性 质 有 深 刻 地 理 解 , 那 么 可 以 知 道

因此本题不必化简函数就可以直接得出 f ( x) ? 4 t a n ( x? ? 3 与 y ? tan ( 2 x) 的周期相同, 2 ) 答案. 第 2 题:抛物线 2 x ? y ? 0 的准线方程是
2

(A) x ?

1 8
2

(B) y ?

1 8

(C) x ? ?

1 8

(D) y ? ?

1 8

解:∵ 2 x ? y ? 0 ,∴ x 2 ? ?

1 y. 2 1 1 ∵ x 2 ? ? y 的准线方程是 y ? , 8 2
∴抛物线 2 x ? y ? 0 的准线方程是 y ?
2

1 . 8

故选(B). 答题分析:一些考生把抛物线的开口方向判断错了,得出了错误答案.关于抛物线的四 种标准方程,务必注意它们的开口方向同方程结构的关系,关于这个知识点,历年来的各种 大型考试多有所涉及,可出错的考生每次都不少! 第 3 题:已知 i 是虚数单位, z1 ? 2012 ? 2012 i , z2 ? 1 ? 3 i ,那么复数 z ? 内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限

z12 在复平面 z2

(C)第三象限 解:∵ z ?

(D)第四象限

z12 2012 2 ( 1 ? i ) 2 2012 2 ? ? ( ?3?i ) z2 1 ? 3i 5

z12 ∴z ? 在复平面上对应的点位于第二象限. z2
故选(B). 答题分析:一些考生可能是复数运算有失误而导致出错. 第 4 题:在 ( 1 ? x ) ? ( 1 ? x ) ? ( 1 ? x ) 的展开式中, x 4 的系数等于
5 6 7

(A) 22
5

(B) 25
6 7

(C) 52

(D) 55

解:∵ ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? 展开式中含 x 4 项的系数是
4 4 C54 ?11 ? C6 ?12 ? C7 ?13 ? 5 ? 15 ? 35 ? 55 ,

∴多项式 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? 中, x 4 的系数等于 55 .
5 6 7

故选(D). 答 题 分 析 : 本 题 也 可 以 先 把 式 子 变 形 , 再 求 x4 的 系 数 . 当 x ? 0 时 ,

(1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) =
5 6 7

?1 ? x ?

5

?1 ? ?1 ? x ? ? , 接下来再求分子的 x 项的系数的相反数
3

5

?x

即可.这样做,在解答本题上并没有多少优势,但如果题目中的项数比较多的时候,优势就 比较明显了. 第 5 题:下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角 边长分别为 1与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积等于

正视图

侧视图

俯视图

(A)

3 ? 6

(B)

3 ? 3

(C)

4 3 ? 3

(D) ?

1 2

解:∵在几何体的三视图中, 正视图是边长为 2 的等边三角形, 侧视图是直角边长分别 为 1 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, ∴此几何体是底面半径等于 1 ,高等于 3 的半个圆锥.

∴该几何体的体积等于 故选(A).

3 ?. 6

答题分析:1.一些考生到了最后关头,忘了是半个圆锥,没有把体积除以 2,所以误选 B. 2.由三视图还原立体图形, 对学生的空间想象能力要求较高, 也一直是近几年新课标高 考的常考题型,在教学中要重点突破! 第 6 题:函数 y ? (A)

? 2x ? 1 的极大值等于 2x2 ? 2x ? 3
(B) ? 1 (C) 1 (D) ? 2

1 5

解:∵ y ?

? 2x ? 1 , 2x2 ? 2x ? 3

? 4 x 2 ? 4 x ? 6 ? ( 2 x ? 1)( 4 x ? 2) 4x2 ? 4x ? 8 ? ∴ y? ? . 2 ( 2 x 2 ? 2 x ? 3) ( 2 x 2 ? 2 x ? 3) 2
∵当 x ? ?2 或 x ? 1 时, y ? ? 0 ,当 ? 2 ? x ? 1 时, y ? ? 0 , ∴当 x ? ?2 时, y 取得极大值.∴ y 的极大值等于 故选(A). 答题分析:1.一些考生对分式函数求导不够熟练,导致了错误. 2.研究分式函数的性质,通法是以导数为工具.
6 第 7 题:在等比数列 ? a n ? 中, a 6 与 a 7 的等差中项等于 48 , a 4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 128 . 如

1 . 5

果设 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,那么 S n ? (A) 5 ? 4
n

(B) 4 ? 3
n

(C) 3 ? 2
n

(D) 2 ? 1
n

解:设等比数列 ? a n ? 的公比为 q ,由已知得 ?

? a17 q 42 ? 128 6
5 ?a1q (1 ? q ) ? 96

,化简得

? a1 q 6 ? 2 6 ? a1 ? 1 ,解得 ? . ∴ Sn ? 2n ? 1 . ? 5 a1q (1 ? q ) ? 96 q?2 ? ?
选(D). 答题分析:本题考查基本量方法以及方程的思想.对计算能力的考查, 一直是高考数学 的一个着眼点,教学中要加强对计算能力的培养,学生对常见的计算问题,如解方程组、解 不等式组等要训练有素. 第 8 题:某校对高三年级学生进行体检,并将高三男生的体重 ( kg ) 数据进行整理后分成五组, 绘制成下图所示的频率分布直方图. 如果规定,高三男生的体重结果只分偏胖、偏瘦和正常三 个类型,超过 65 kg 属于偏胖,低于 55 kg 属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、 第五小组的频率分别为 0.25 、 0.2 、 0.1 、 0.05 ,第二小组的频数为 400 . 若该校高三男生 的体重没有 55 kg 和 65 kg ,则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为

(A) 1000 , 0.5 (B) 800 , 0.5 (C) 800 , 0.6 (D) 1000 , 0.6

频率 组距

50 55 60 65 70 75

体重(kg)

解:由已知信息得第二小组的频率等于 1 ? 0.25 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.05 ? 0.4 ,设该校高三 年级的男生总数为 n ,则

400 ? 0.4 ,解得 n ? 1000 . n 体重正常的频率分别为 1 ? 0.25 ? 0.1 ? 0.05 ? 0.6 .
选(D). 答题分析:对于频率分布直方图问题,读懂题意、正确识图(统计图)是解决问题的关

键.

( ? 5 第 9 题:已知 a ? 1 , 2 ) b ? 3 , ) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 , (
(A) ?

7 5 5

(B) ?

7 34 34

(C)

7 5 5

(D)

7 34 34

解:∵ a ? 1 , 2 ) b ? 3 , ) ,∴ a ? b ? ?7 , b ? , ( ( ? 5

34 ,

a ?b b

??

7 34 . 34

∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ?

7 34 . 34

选(B).

答题分析:1. 向量 a 在向量 b 方向上的投影,根据定义等于 a cos? a , b? .一些考生正 是通过计算模长和两向量夹角的余弦值的积来获得答案, 这无疑是正确的, 但加大了运算量.

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? a ?b ? 2. 向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 ?? ,由 a cos? a , b? ? b

? ? a ?b ?? 可得,应理解该公 ? b

式并牢牢记清楚.另一方面还可结合点积的形方面进行记忆。一些考生把公式错记为

? ? ? ? a ?b 7 5 ?? ? ? ? ,这是向量 b 在向量 a 方向上的投影,从而误选 A. 5 a
第 10 题:已知 ? 、 ? 是两个互相垂直的平面, m 、 n 是一对异面直线,下列四个结论: ① m / /? 、 n ? ? ; ② m ? ? 、 n / / ? ; ③ m ?? 、n ? ? ;

④ m / /? 、 n / / ? ,且 m 与 ? 的距离等于 n 与 ? 的距离. 其中是 m ? n 的充分条件 的为 (A)① (C)③ (B)② (D)④

解:∵ ? 、 ? 是两个互相垂直的平面, m ? ? 、 n ? ? , ∴m ? n. 故选(C). 答题分析: 一些考生经常把必要不充分条件与充分不必要条件搞反了, 这是学生学习逻 辑知识中的一个难点,教学中要重点突破. 第 11 题:已知椭圆 E 的长轴的两个端点分别为 A1 ( ? 5 , 0 ) 、 A2 ( 5 , 0 ) ,点 P 在椭圆 E 上,如果 PA1 ? PA2 ? ? (A)

144 , ? A1 PA2 的面积等于 9 ,那么椭圆 E 的方程是 25
(B)

x2 y2 ? ?1 25 9

x2 y2 ? ?1 25 16

(C)

y2 x2 ? ?1 25 9

(D)

y2 x2 ? ?1 25 16

解:根据已知设椭圆的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 (5 ? b ? 0 ) . 25 b

设 P( x, y ) ,则

25 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1 ,即 x 2 ? 25 ? 2 . b 25 b

∵ ? A1 PA2 的面积等于 9 ,∴ ∴ x 2 ? 25 ?

1 9 A1 A2 ? y ? 9 ,化简得 y ? . 2 5

81 . b2 81 81 81 81 , ? 25 ? ?? 2 ? 2 b 25 b 25

∵ PA1 ? PA2 ? x 2 ? 25 ? y 2 ? 25 ?

144 , 25 81 81 144 ∴? 2 ? ,解方程得 b 2 ? 9 . ?? b 25 25 PA1 ? PA2 ? ?
∴所求椭圆的方程是 故选(A). 答 题 分 析 : 本 题 的 实 质是 方 程 的 思 想 , 即 根 据三 个 条 件 , 列 出 一 个 三元 方 程 组

x2 y2 ? ? 1. 25 9

? x2 y2 ? 2 ?1 ? 25 b ? ?1 ,解方程得 b 2 ? 9 . ? ? 10 ? y ? 9 2 ? ? ? 144 ? ???? ???? PA1 ? PA2 ? x 2 ? 25 ? y 2 ? ? ? 25 ?
第 12 题:运行下图所示的程序,如果输出结 果为 sum ? 1320 ,那么判断框中应填 (A) i ≥ 9 (B) i ≥ 10 (C) i ≤ 9 (D) i ≤ 10

开始
i ? 12,sum ? 1

否 是 输出 sum 结束
i ? i ?1

sum ? sum ? i

解:执行该程序,结合题目所给选项,不难发现应该选(B). 答题分析: 有别于给定程序框图求最后结果的题型──那样学生只要照着流程正确地走 就可以了,总体讲那还是一种线性思维.本题设计较为新颖,要求学生自行判断,程序到底 应该怎么走,才能得出所给结果.这对思维和计算的要求提高了. 学生应该首先排除 C、D,因为它们的输出结果为 sum ? 12 .接下来无非就是 i ≥ 9 、i ≥ 10 这两种情况,因此只要照着程序走就可以得出正确答案了. 第 13 题:在一个水平放置的底面半径等于 6 的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半 径等于 r 的实心球,如果球完全浸没于水中且无水溢出,水面高度恰好上升 r ,那么

r?

. 解:根据已知得 36? r ? ∴r ? 3 3. 答题分析:一些考生没能正确理解题意导致思维受阻.另一些考生可能是计算失误,得

4 3 ? r ,解方程得 r ? 3 3 . 3

出错误答案 r ? 3 . 第 14 题:已知 e 是自然对数的底数, f ( x ) ? ? 得

? ex , x ? 0 , ? 3x ? 1 , x ? 0 .

计算定积分

?

4

?2

f ( x) d x ,

?

4

?2

f ( x) d x ?



? ex , x ? 0 解:∵ f ( x ) ? ? , ? 3x ? 1 , x ? 0


?

4

?2

f ( x) d x ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? (3x ? 1)dx ? ? e x dx
?2 0 ?2 0

0

4

0

4

? 3? xdx ? ? 1dx ? e 4 ? 1 ? ?6 ? 2 ? e 4 ? 1 ? e 4 ? 5 .
?2 ?2

0

0



?

4

?2

f ( x) d x ? e 4 ? 5 .

答 题 分 析 : 对 于 分 段 函 数 的 定 积 分 , 要 利 用 定 积 分 的 性 质

?

b

a

f ( x) d x ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ,其中 a ? c ? b .
a c

c

b

第 15 题 : 设 数 列

? an ? 的 前 n

项 和 为 S n , 如 果 a1 ?

3 Sn 6 , an ? ,那么 7 n?3

a 48 ?
解:



∵ an ? ∴ S n ?1 ?

3 Sn n?3 ,∴ S n ? an . n?3 3

n?4 n?4 n?3 an ?1 .∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n ? an ?1 ? an , 3 3 3 n?3 即 a n ?1 ? an . n ?1 4 5 n?2 (n ? 1) n ? 2) ( an ? ? ? ?? a1 ? a1 . 2 3 n 6 49 ? 50 ∴ a 48 ? a1 . 2?3 6 答题分析:1.对于本题,命题过程中为学生方便计算赋值 a1 ? ,目的是为了突出对 7 6 数学思想方法的考查,而不至于使考生陷于机械数字运算的迷雾中 .但此处 a1 ? 与 7

an ?

3 Sn 3 Sn 3 Sn 涉及的初始状态不匹配.如果把条件 a n ? 换成 a n ? 就匹配了. n?2 n?3 n?3

2.累乘法是一种重要的求通项的方法,很多学生对此并不熟练,在计算中经常出错. 3.使用累乘法时应该注意的是,必须验证 n ? 1 ,这一点,要引起重视. 第 16 题:如果直线 ax ? by ? 1 ? 0 被圆 x ? y ? 25 截得的弦长等于 8 ,那么
2 2

3 5 ? 2的 2 a b

最小值等于


2 2

解:∵直线 ax ? by ? 1 ? 0 被圆 x ? y ? 25 截得的弦长等于 8 , ∴ 2 25 ? ∵

1 1 ? 8 ,化简得 a 2 ? b2 ? . 2 a ?b 9
2

3 5 1 3 5 3 5 ? 2 ? 9 ? ? ( 2 ? 2 ) ? 9 ? ( a 2 ? b2 ) ? ( 2 ? 2 ) 2 a b 9 a b a b

? 9 ? (8 ?


3b2 5a 2 ? 2 ) ? 9 ? (8 ? 2 15) ? 72 ? 18 15 , ? ”能取到, “ a2 b

3 5 ? 2 的最小值等于 72 ? 18 15 . 2 a b
1 a 2 ? b2
,再利用垂径定理得到

答题分析:原点到直线的距离 d?

2 25 ?

1 ? 8 ,这里不采用一般的弦长公式而是利用了几何模型( Rt? )减少运算。 a ? b2
2

得 到 a 2 ? b2 ?

1 后 , 还 应 掌 握 如 下 均 值 不 等 式 求 最 值 的 变 形 模 型 : 9

? ma ? nb ? ? ?

p q? pnb mqa ? ? ? pm ? nq ? ? ( 此 模 型 pm ? qm ? c ( 常 数 ) 而 正 数 , a b ? a b?

pnb mqa pnb mqa 相乘可消去变量 a 与 b ,且 相等).本题涉及到几何、代数模型, 与 与 a b a b
对形模与代数变形能力要求较高,这可能是学生不能得出正确答案的一个重要原因. 第 17 题:在 ? ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 对的边分别为 a 、 b 、 c ,设平面向量

m ? ? cosC ? s in B , ? s in B ? , n ? ( cos C ? sin B , sin C ) , m ? n ? cos2 A .
(I)求 A 的值; (II)设 a ? 4 , b ? c ? 5 ,求 ? ABC 的边 BC 上的高 h . 解: (Ⅰ)∵ m ? ? cos C ? sin B , ? sin B ? , n ? ( cos C ? sin B , sin C ) ,

m ? n ? cos2 A ,
∴ cos2 C ? sin2 B ? sin B sin C ? cos2 A . 即 sin2 B ? sin2 C ? sin2 A ? ? sin B sin C , 由正弦定理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc . ∴ cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ?? . 2bc 2

∵ A 是 ? ABC 的一个内角, ∴A?
2

2? . 3
2 2 2 2 2

(Ⅱ)∵ a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? (b ? c) ? bc ,

a ? 4 , b ? c ? 5,
∴ 16 ? 25 ? bc ,解方程得 bc ? 9 . ∴ S ?ABC ?

1 1 3 1 9 3 . bc sin A ? ? 9 ? ? ? 4h ,解得 h ? 2 2 2 2 8

∴h ?

9 3 . 8

答题分析:1.新高中数学三角函数的内容较以前比,从整个内容的比重和要求而言,不

是降低了,而是加强了. 2.三角函数内容是学习许多大学课程包括高等数学在内的基础. 3.从高考数学能力立意的角度看,本题整个问题的解决思想与方法非常典型.但也正是 为突出能力立意的要求,在“ a ? 4 , b ? c ? 5 ”赋值方面出现了瑕疵,赋值可改为 “ a ? 19 , b ? c ? 5 ”即可. 出现问题的本质是在使用根与系数关系时,没有考虑实根的存在性,但由于根与系数 关系在复数范围仍然成立,所以可以形式上计算出“结果”. 若在高考数学中碰到类似情况建议考生按照通常的典型方法求解, 把问题得出结论, 做 到解题完整.而不必过多纠结题目本身存在问题,导致影响正常答题和后面的得分。 第 18 题:盒子内装有 5 张卡片,上面分别写着数字1 , 1 , 2 , 2 , 2 ,每张卡片被取到的 概率相等. 先从盒子中任取 1 张卡片,记下它上面的数字 x ,然后放回盒子内搅匀,再从盒 子中任取 1 张卡片,记下它上面的数字 y . 设 M ? x ? y , f ( t ) ? (I)求随机变量 M 的分布列和数学期望; (II)设“函数 f ( t ) ? 件 A ,求 A 的概率 P( A ) . 解: (Ⅰ)由题意可知随机变量 M 的可能取值为 2 , 3 , 4 .先从盒子中随机任取1 张 卡片,然后放回盒子内搅匀,再从盒子中随机任取 1 张卡片的基本事件总数为 5 ? 5 ? 25 . 当 M ? 2 时, 摸出的卡片上面分别写着数字 1 , , ( M ? 2) ? 1 P 摸出的卡片上面分别写着数字 2 , 2 , P( M ? 4) ? ∵随机变量 M 的可能取值为 2 , 3 , 4 , ∴当 M ? 3 时, P( M ? 3) ? 1 ? P( M ? 2) ? P( M ? 4) ? ∴ M 的分布列为:

3 2 18 . t ?Mt ? 5 5

3 2 18 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点”为事 t ?Mt ? 5 5

3? 3 9 . ? 25 25

2? 2 4 ,当 M ? 4 时, ? 25 25

12 . 25

M P

2

3

4
9 25

4 12 25 25 4 12 9 16 . ? 3? ? 4? ? M 的数学期望为: EM ? 2 ? 25 25 25 5
(Ⅱ)∵随机变量 M 的可能取值为 2 , 3 , 4 ,

3 2 18 3 2 18 ,它没有零点,不符合要求. t ?Mt ? ? t ? 2t ? 5 5 5 5 3 18 3 2 18 当 M ? 3 时, f ( t ) ? t 2 ? M t ? ,它的零点分别为 2 ,3 ,在 ? t ? 3t ? 5 5 5 5
当 M ? 2 时, f ( t ) ? 区间 ( 2 , 4 ) 内只有 3 这个零点,符合要求. 当 M ? 4 时 , f (t ) ?

3 2 18 3 18 ,它的零点分别为 t ?Mt ? ? t 2 ? 4t ? 5 5 5 5

10 ? 46 10 ? 46 , ,都不在区间 ( 2 , 4 ) 内,不符合要求. 3 3
∴事件 A 相当于 M ? 3 .由 (Ⅰ) P( M ? 3) ? 知: 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点的概率等于

12 3 18 , 即函数 f ( t ) ? t 2 ? M t ? 25 5 5

12 . 25

答题分析:1.第(Ⅱ)问中,一些考生没有理解事件 A 的真实含义,没有把事件 A 转 化为对 M 取值的讨论上. 2.如果没有注意到 M 的取值只有三个这一事实,而是泛泛地用数形结合的方式去讨论 二次函数 f ? t ? 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点的充要条件,将会面临繁琐的运算.这提 示我们在解题时务必思维灵活,善于观察,善于选择和调整策略. 事实上由于 M 的取值只有 2 、3 、4 这三种情况, 因此可以逐一验证是那些值使得 f ? t ? 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点,进而计算 A 的概率即可. 第 19 题: 如图, 在空间几何体 SABCD 中, 四边形 ABCD 为矩形, SD ? AD , SD ? AB , 且 AB ? 2 AD , SD ?

3 AD .

C B

(I)证明:平面 SDB ? 平面 ABCD ; (II)求二面角 A ? SB ? D 的余弦值. S D

A

1 解: (I)证明:∵ SD ? AD , SD ? AB , AD ? AB ? A , , ∴ SD ? 平面 ABCD . 3 , 又∵ SD ? 平面 SDB , 5 ∴平面 SDB ? 平面 ABCD . (II)解:由已知: DS 、 DA 、 DC 两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系。

D ? xyz ,设 AD ? a ,则 S ( 3a , 0 , 0 ) ,

A(0 , a , 0 ) , B( 0 , a , 2a ) ,
C ( 0 , 0 , 2a ) , D( 0 , 0 , 0 ) .
∴ DS ? ( 3a , 0 , 0 ) , DB ? (0, a,2a) , 设平面 SBD 的一个法向量为

n ? ( x, y , z ) ,
则?

? ? 3ax ? 0 ?n ? DS ? 0 ,即 ? . ?n ? DB ? 0 ?ay ? 2az ? 0 ?

?x?0 ? 取一组解 ? y ? 2 ,得平面 SBD 的一个法向量 n ? ( 0 , 2 , ? 1 ) . ? z ? ?1 ?
同理可得平面 SAB 的一个法向量 m ? (1,

3 , 0 ).

根据已知可得二面角 A ? SB ? D 是个锐角,设它的大小为 ? , 则 cos? ?

m?n mn

?

15 . 5
15 . 5

∴二面角 A ? SB ? D 的余弦值等于

答题分析:1.第(Ⅰ)问很基础,学生比较容易得分. 2. 第(II)问,一些考生由于法向量的方向有问题,导致最后得出的余弦值为 ? 第 20 题:已知双曲线 S 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

15 . 5

6 5? ,倾斜角等于 的 2 6

直线 l 经过点 P ( 0 , 1) ,直线 l 上的点与双曲线 S 的左焦点的距离的最小值等于 3 . (I)求点 P 与双曲线 S 上的点的距离的最小值; (II)设直线 y ? k ( x ? 2 ) 与双曲线 S 交于 A 、 B 两点,且 ? ABP 是以 AB 为底的 等腰三角形,求常数 k 的值.

解: (Ⅰ)根据已知设双曲线 S 的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0 ) . a2 b

∵e ?

a2 c 6 6 ,∴ c ? . a , b2 ? c2 ? a2 ? ? 2 a 2 2
2 2 2

∴双曲线 S 的方程可化为 x ? 2 y ? a ,左焦点为 ( ?

6 a ,0). 2

∵直线 l 经过点 P ( 0 , 1) ,倾斜角等于 ∴直线 l 的方程为 3 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

5? , 6

∵直线 l 上的点与双曲线 S 的左焦点的距离的最小值等于 3 ,

3 ? (?


6 a) ? 3 2 12

? 3 ,解得 a ? 2 .
2 2

∴双曲线 S 的方程为 x ? 2 y ? 2 . 设双曲线 S 上的点为 C ( x , y ) ,则 x ? 2 y ? 2 .∴ x ? 2 y ? 2 .
2 2 2 2

∵ PC ?

1 8 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 3 y 2 ? 2 y ? 3 ? 3( y ? ) 2 ? , 3 3
2 6 . 3

∴ PC 的最小值等于 ( Ⅱ ) 设

A( x1 , kx1 ? 2k ) , B( x2 , kx2 ? 2k ) , 则 AB 的 中 点 为

M(

x1 ? x2 k ( x1 ? x2 ) ? 4k , ). 2 2
? ABP 是以 AB 为底的等腰三角形 ? PM ? AB .
(1)如果 k ? 0 ,直线 y ? k ( x ? 2 ) 与双曲线 S 交于 (? 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) 两点,显

然满足题目要求. (2)如果 k ? 0 ,由 PM ? AB 得 k ? k PM ? ?1 .

∵ k PM ?

k ( x1 ? x 2 ) ? 4k ? 2 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k ? 2 ? ?1 . , ∴k ? x1 ? x 2 x1 ? x 2

?x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 2 2 2 由? ,得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . ? y ? k ( x ? 2)
? 1 ? 2k 2 ? 0 根据已知得 ? . 4 2 2 2 ?? ? 64k ? 4(1 ? 2k )(8k ? 2) ? 16k ? 8 ? 0
∴k ? ?

2 . 2

∵ x1 ? x 2 ?

8k 2 , 1 ? 2k 2

∴ k PM

k ( x1 ? x 2 ) ? 4k ? 2 2k 2 ? 2k ? 1 ? ? . x1 ? x 2 4k 2
2k 2 ? 2k ? 1 2 k 2 ? 2 k ? 1 ?k? ? ? ?1 ,即 2k 2 ? 6k ? 1 ? 0 , 2 4k 4k
? 3 ? 11 ? 3 ? 11 , k2 ? . 2 2

∴ k ? k PM

解方程得 k1 ?

综上得 k ?

? 3 ? 11 ? 3 ? 11 ,或 k ? 0 ,或 k ? . 2 2

答题分析: 1.一些考生混淆了椭圆和双曲线的离心率公式 a 2 ? b2 ? c 2 与 c 2 ? a 2 ? b2 , 导致出错,从而影响了后面问题的解答. 2.第(Ⅱ)问中的关键点是如何运用条件“以 A 、 B 、P (0 ,1) 为顶点的 ? ABP 是以 AB 为底的等腰三角形”.如果采用算出两边的长,并令它们相等的方法,运算将更为繁琐.如果 巧妙地利用点 P 在线段 AB 的中垂线上,就能减少运算量. 3.很多考生忘了对直线斜率为 0 的讨论.值得注意的是:对特殊情况的讨论一方面是考 生常常忘记,但另一方面这恰好又是比较容易得分的地方.学生经常容易忘记的地方还有对 方程最高次项系数是否为零、 ? 是否大于零的讨论等等. 4.圆锥曲线对运算能力的要求较高,能正确算出第(Ⅰ)问的不多.第(Ⅱ)问只是草 草列了几个式子便结束了. 第 21 题:已知实数 a 是常数, f ( x ) ? ( x ? a )2 ? 3 ln ? x ? 1? ? 5 . 当 x ? 0 时, f ( x) 是增函

数. (I)求 a 的取值范围;

1? ? 1 (II)设数列 ? 2 ? ? 的前 n 项和为 S n ,比较 ln( n ? 1) 与 S n 的大小. ? 3n n ?
2 ? 解: (I)∵ f ( x ) ? ( x ? a ) ? 3 ln(x ? 1) 5 ,∴ f ? ( x ) ? 2( x ? a ) ?

3 . x ?1

∵当 x ? 0 时, f (x ) 是增函数, ∴ f ? ( x ) ? 2( x ? a ) ?

3 ? 0 在 x ? 0 时恒成立. x ?1

即a ?

3 ? x 在 x ? 0 时恒成立. 2( x ? 1)

∵当 x ? 0 时,

3 ? x 是减函数, 2( x ? 1)
3 3 ?x? . 2( x ? 1) 2

∴当 x ? 0 时, ∴a ?

3 . 2 3 3 时, f ( x ) ? ( x ? ) 2 ? 3 ln(x ? 1) 5 . ? 2 2

(II)当 a ?

由(I)知,当 x ? 0 时, f (x ) 是增函数.

3 2 9 ) ? 3 ln(x ? 1) 5 ? ? 5 . ? 2 4 3 2 9 ∴当 x ? 0 时, ( x ? ) ? 3 ln(x ? 1) ? . 2 4
∴当 x ? 0 时, f ( x ) ? f (0) ,即 ( x ? ∴当 x ? 0 时, x ? 3x ? 3 ln( x ? 1) .
2

∵ n 是正整数,

1 ?0. n 1 3 1 1 1 1 ∴ 2 ? ? 3 ln( ? 1) ,即 2 ? ? ln( ? 1) ln(n ? 1) ? ln n . ? n n n 3n n n 1 1 1 1 1 1 ∴( ? )?( ? ) ??? ( 2 ? ) ? 2 2 3 ?1 1 3? 2 2 3n n


(ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? [ln( n ? 1) ? ln n] ? ln(n ? 1) .

∴(

1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? ? ? ( 2 ? ) ? ln(n ? 1) . 2 2 3 ?1 1 3? 2 2 3n n

∴ S n ? ln( n ? 1) . 答题分析:1.一些考生把 f ? ? x ? 求错了,考生的求导能力有待加强,因为求导几乎是 高考的必考题. 2. 第(Ⅰ)问本质上是一个含参不等式 f ? ( x ) ? 2( x ? a ) ? 成立的问题,常用分离参数、函数最值的方法加以解决. 3.第(Ⅱ)问难度较大,能做出来的考生寥寥无几.本问能较好地将高水平的学生筛选 出来.

3 ? 0 在 x ? 0 时恒 x ?1

1? ? 1 一些考生设法想去求出数列 ? 2 ? ? 的前 n 项和为 S n ,这既不可能,也没必要.目标 ? 3n n ?
应该是 S n 与 ln( n ? 1) 的大小,而不是要求出 S n . 解答本问,要考虑借助第(Ⅰ)问来搭台阶. 由 条 件 知 当 x ? 0 时 , f ( x) 是 增 函 数 , 所 以 f

x f ? ? ? ? 0?

, 即

( x ? a )2 ? 3 ln(x ? 1 ? 5 ? a 2 ? 5 *.又*式对 a ? )
母 a ,于是考虑对 a 赋值.令 a ?

3 是恒成立的,但目标不等式里没有字 2

3 3 9 , * 式 化 为 ( x ? )2 ? 3 ln(x ? 1 ? , 化 简 得 ) 2 4 2

x 2 ? 3x ? 3 ln( x ? 1) ,此时无论对 x 赋什么值,都不能直接得出 S n ,思维再次受阻.
考虑目标不等式的结构,可以令 x?

1 1 3 1 , 得 2 ? ? 3 ln( ? 1), 即 n n n n

1 1 1 ? ? ln( ? 1) ln(n ? 1) ? ln n ,接下来采用类似于数列里常用的累加法,即可 ? 2 3n n n
得出答案. 第 22 题: 选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, BD 不经过点 O , AC 平分 ? BAD ,经 过点 C 的直线分别交 AB 、 AD 的延长线于 E 、 F ,且 CD2 ? AB ? DF . 证明: (Ⅰ) ? ABC ∽ ? CDF ;

(Ⅱ) EF 是⊙ O 的切线.

A 证明: (Ⅰ)∵ AC 平分 ? BAD ,∴ ? BAC ? ?CAD . B O D

? ? ∴ BC ? CD .∴ BC ? CD .

E C

F

∵ CD2 ? AB ? DF ,∴ CD ? BC ? AB ? DF . ∴

BC AB . ? DF CD

∵四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, ∴ ? ABC ? ? CDF . ∴ ? ABC ∽ ? CDF . (Ⅱ)连接 OC ,由(I)知 ? ABC ∽ ? CDF . ∴ ? BAC ? ? DCF . 又∵ ? BAC ? ? BDC ,

A O

B
∴ ? BDC ? ? DCF .

D F

E
∴ EF / / BD .

C
∵ BC ? CD , BD 不经过点 O , ∴ OC ? BD . ∴ OC ? EF . ∴ EF 是⊙ O 的切线. 答题分析:1. 第(Ⅰ)问中的关键是要看出 BC ? CD ,从而把条件 CD2 ? AB ? DF 转化为

CD AB ,进而把它看成是两个待证相似三角形的两组对应边成比例,接下来只 ? DF BC

需利用四点共圆的性质去证明一组对应角相等,即可完成证明. 2. 第(Ⅱ)问有一定的难度.实际上“切点圆心不忘连” ,这里需要做辅助线 OC .接下

来还要利用圆的对称性得出 OC ? BD ,再证明 EF / / BD 即可. 第 23 题: 选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 x O y 中, A (1, 0 ) , B ( 2, 0 ) 是两个定点,曲线 C 的参数方程为

? x ? t2 ( t 为参数 ) ? ?y ? 2 t
(I)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)以 A (1, 0 ) 为极点, AB 为长度单位,射线 AB 为极轴建立极坐标系,求曲线

??? ?

C 的极坐标方程.
解:

? x ? t2 2 (Ⅰ)由 ? 消去参数 t 得 y ? 4 x , ?y ? 2 t
∴曲线 C 的普通方程为 y ? 4 x .
2

(Ⅱ)∵曲线 C 的普通方程为 y ? 4 x ,
2

∴曲线 C 是抛物线,且 A (1, 0 ) 是它的焦点.
2 在曲线 C 上任取一点 M ( ? , ? ) ,则 MA 与 M 到 y ? 4 x 的准线的距离相等,

即 ? ? 2 ? ? cos? . ∴曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? ? cos? . 答题分析:1.第(Ⅰ)问,学生很容易由 ?

? x ? t2 ?y ? 2 t

消去参数 t 得曲线 C 的普通方程

y2 ? 4x .
2.接下来要求曲线 C 的极坐标方程,很多学生是这样做的:根据直角坐标与极坐标的

4c s ? o ? x ? ? cos ? 2 互化 ? , 易得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? sin ? ? ? 4 ? cos ? , ? ? 即 .但这是 sin 2 ? ? y ? ? sin ?
错误的! 因为本题中极坐标系的极点和直角坐标系的原点并不重合, 所以互化公式并不简单 成立. 3.实际上第(Ⅱ)问要回到极坐标的定义、抛物线的定义上去考虑. 第 24 题: 选修 4 ? 5 :不等式选讲

已知实数 a 、 b 、 c 、 d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a ? 2 b ? 3 c ? 6 d ? 5 .
2 2 2 2

证明: (I) ( b ? c ? d ) ? 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 ;
2

(II) a ? 证明:

3 1 ? . 2 2

(Ⅰ)∵ ( b ? c ? d ) ? (
2

1 1 1 ? 2b ? ? 3c ? ? 6d ) 2 2 3 6

1 1 ? ? 1 ? ?( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 ) , 3 6 ? ? 2
∴ ( b ? c ? d ) ? 2b2 ? 3c 2 ? 6d 2 .
2

(Ⅱ)∵ a ? b ? c ? d ? 3 , a ? 2 b ? 3 c ? 6 d ? 5 ,
2 2 2 2

∴ b ? c ? d ? 3 ? a , 2 b ? 3c ? 6 d ? 5 ? a .
2 2 2 2

由(Ⅰ)知: ( b ? c ? d ) ? 2b2 ? 3c2 ? 6d 2 .
2

∴ ( 3 ? a ) ? 5 ? a ,化简得 a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 1 ? a ? 2 .
2 2

∴?

1 3 1 ?a? ? . 2 2 2
3 1 ? . 2 2

∴ a?

答题分析:1. 第(Ⅰ)问还是有些难度的,难在根据目标去适当配凑和调整系数. 2.有些学校只选修了 4-5《不等式选讲》 ,但是又没有介绍柯西不等式的基本应用,导 致三个选做题都是空白. 3.第(Ⅱ)问里只有字母 a ,因此解题的基本思想是消元.但怎么消元是难点.这里要充 分运用条件和第(Ⅰ)问的结论进行整体消元.


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