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2013届高考数学压轴题练习6


高考数学压轴题练习 6
7.(本小 题满分 12 分)
a . ? ln x ? 1 , g(x) ? ? ln x ?1? ex ? x (其中 e 为自然对数的底数) x (1)判断函数 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的单 调性;
已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 出 x0 的值;若不存在,请说明理由. 7.解(1) :∵ f ( x) ?

(2)是否存在实数 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在,求

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a .

a a 1 x?a ? ln x ? 1,∴ f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增 . ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a, e? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e ? 上单调递增, ③若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递减. ……6分 (2)解 :
[来源:学|科|网]

∵ g ( x) ? ? ln x ? 1? e ? x , x ? ? 0, e? ,
x

ex 1 ?( x) ? ? ln x ? 1?? e x ? ? ln x ? 1? ? e x ?? ? 1 ? ? ? ln x ?1? ex ? 1 ? ? ? ln x ?1? e x ? 1 由 g ? ? x ?x ? 1 (1)可知,当 a ? 1 时, f ( x) ? ? ln x ? 1 . x 1 此时 f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 上的最小值 为 ln1 ? 0 ,即 ? ln x ? 1 ? 0 . x ?1 ? 1 x ? ln x0 ? 1 ? 0 ,∴ g ?( x0 ) ? ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1 ? 1 ? 0 . 当 x0 ? ? 0, e ? , e ? 0 , x0 ? x0 ?
0

曲线 y ? g ( x ) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g?( x0 ) ? 0 有实数解. 而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g?( x0 ) ? 0 无实数 解. 故不存在 x0 ? ? 0, e ? ,使曲线 y ? g ( x ) 在
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]

x ? x0 处的切线与 y 轴垂直……12分
[来源:学科网 ZXXK]


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