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最新衡水中学校内自用精品高三数学一轮复习: 重点强化课2 平面向量

重点强化课(二) [复习导读] 平面向量 从近五年全国卷高考试题来看,平面向量是每年的必考内容, 主要考查平面向量的线性运算、 平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直 的充要条件.平面向量的复习应做到:立足基础知识和基本技能,强化应用,注 重数形结合, 向量具有“形”与“数”两个特点,这就使得向量成了数形结合的 桥梁. 重点 1 平面向量的线性运算 (1) (2017· 深圳二次调研)如图 1,正方形 ABCD 中, M 是 BC 的中点, → → → 若AC=λAM+μBD,则 λ+μ=( ) 图1 4 A.3 15 C. 8 5 B.3 D.2 → → → → (2)在? ABCD 中, AB = a,AD= b,3 AN =NC,M 为 BC 的中点,则 MN = ________.(用 a,b 表示) 【导学号:01772163】 (1)B 3 1 (2)- a- b 4 4 → → → → → → → [(1)因为AC=λAM+μBD=λ(AB+BM)+μ(BA+AD)= λ-μ=1, ? → → → → ? ?→ 1 → ? ?1 ? λ ?AB+ AD? + μ( - AB + AD ) = (λ - μ) AB + ?2λ+μ? AD ,所以 ?1 ? ? 2 ? ? λ+μ=1, ? ?2 4 ? ?λ=3, ? 1 ? ?μ=3, 得 5 所以 λ+μ=3,故选 B. 1 → → → (2)如图所示,MN=MC+CN 1→ 3→ =2AD+4CA 1→ 3 → → =2AD+4(CB+CD) 1→ 3 → → =2AD+4(DA+BA) 1 3 3 3 1 =2b-4a-4b=-4a-4b.] [规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运 用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的步骤: (1)观察各向量的位置; (2) 寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果. → → → 3.O 在 AB 外,A,B,C 三点共线,且OA=λOB+μOC,则有 λ+μ=1. [对点训练 1] → → → 设 O 在△ABC 的内部, D 为 AB 的中点, 且OA+OB+2OC= ) 【导学号:01772164】 A.3 C.5 B [因为 D 为 AB 的中点, B.4 D.6 0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( → 1 → → 则OD=2(OA+OB), → → → 又OA+OB+2OC=0, → → 所以OD=-OC,所以 O 为 CD 的中点. 又因为 D 为 AB 的中点, 2 1 1 所以 S△AOC=2S△ADC=4S△ABC, S△ABC 则S =4.] AOC 重点 2 平面向量数量积的综合应用 → → (2016· 杭州模拟)已知两定点 M(4,0),N(1,0),动点 P 满足|PM|=2|PN |. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若点 G(a,0)是轨迹 C 内部一点,过点 G 的直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点, → → 令 f(a)=GA· GB,求 f(a)的取值范围. [解] → → (1)设 P 的坐标为(x,y),则PM=(4-x,-y),PN=(1-x,-y). → → ∵动点 P 满足|PM|=2|PN|, ∴ ?4-x?2+y2=2 ?1-x?2+y2, 整理得 x2+y2=4.4 分 (2)(a)当直线 l 的斜率不存在时,直线的方程为 x=a,不妨设 A 在 B 的上方, 直线方程与 x2+y2=4 联立,可得 A(a, 4-a2),B(a,- 4-a2), → → ∴f(a)=GA· GB=(0, 4-a2)· (0,- 4-a2)=a2-4;6 分 (b)当直线 l 的斜率存在时,设直线的方程为 y=k(x-a), 代入 x2+y2=4, 整理可得(1+k2)x2-2ak2x+(k2a2-4)=0, 设 A(x1, y1), B(x2, y2), k2a2-4 2ak2 则 x1+x2= , x x = , 1+k2 1 2 1+k2 → → ∴f(a)=GA· GB=(x1-a,y1)· (x2-a,y2)=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1-a)(x2 -a)=a2-4. 3 由(a)(b)得 f(a)=a2-4.10 分 ∵点 G(a,0)是轨迹 C 内部一点, ∴-2<a<2,∴0≤a2<4, ∴-4≤a2-4<0,∴f(a)的取值范围是[-4,0).12 分 [规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用,将平面向量与解析几何有机 结合,通过平面向量数量积的坐标运算进行转化,使问题的条件明晰化. 2.利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题. [对点训练 2] 则|c|的最大值为( A. 2-1 C. 2+1 (1)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1, ) B. 2 D. 2+2 π (2)(2016· 四川成都模拟)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠B=3,点 P 满足 AP → → → =λAB,λ∈R,若BD· CP=-3,则 λ 的值为( 1 A.2 1 C.3 1 B.-2 1 D.-3 ) (1)C (2)A [(1)∵a,b 是单位向量,且 a· b=0, ∴|a|=|b|=1,∴|a+b|2=a2+2a· b+b2=2, ∴|a+b|= 2.又|c-a-b|=1, ∴|c|-|a+b|≤|c-a-b|=1. 从而|c|≤|a+b|+1= 2+1,∴|c|的最大值为 2+1. → → (2)法一:由题意可得BA· BC=2×2cos 60° =2, → → → → → → BD· CP=(BA+BC)· (BP-BC) → → → → → =(BA+BC)· [(AP-AB)-BC] → → → → =(BA+

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