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2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修二《直线与圆、圆与圆的位置关系》提高训练及解析


2017-2018 学年(新课标)北师大版高中数学必修二 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 第 1 课时 学习目标 1.能够说出直线与圆的位置关系的种类. 重点难点 重点:直线与圆的位置关系的判断应用. 2.依据直线和圆的方程,能够熟练地写出 难点:通过方程组的解用代数法研究直线 它们的交点坐标, 学会用代数法判断直线和 和圆的位置关系;圆的几何性质在解题中 圆的位置关系; 能通过比较圆心到直线的距 的应用. 离和半径之间的大小用几何法判断直线和 疑点:根据直线与圆的位置关系如何建立 圆的位置关系. 关系式求解有关问题. 3.能够根据直线和圆的位置关系解决有关 问题. 1.直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 |Aa+Bb+C| 几何法: 圆心到直线的距离 d= A2+B2 判定方法 代数法:由 ? 相交 2个 d<r 相切 1个 d=r 相离 0个 d>r ? Ax ? By ? C ? 0 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r Δ>0 Δ=0 Δ<0 消元得到一元二次方程的判别式Δ 预习交流 1 判断直线与圆的位置关系时,代数法与几何法哪个更方便? 提示:已知直线及圆的方程,判断两者的位置关系时,几何法较简单,一般情况下,在 判断直线与圆的位置关系时,优先考虑使用几何法. 预习交流 2 直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( A.相切 C.直线过圆心 提示:B 2.怎样解决圆的切线方程与弦长问题? 提示:(1)涉及圆的切线方程,其解题思路是圆心到直线的距离等于半径,需注意考虑 直线斜率不存在的特殊情形(一般用数形结合的思想求解或验证). (2)对于圆的弦长问题求解常常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解. 预习交流 3 (1)若直线 y=x+b 与圆 x2+y2=2 相切,则 b 的值为( A.±4 B.±2 ). ). B.相交但直线不过圆心 D.相离 C.± 2 D.±2 2 ). (2)直线 x+ 3y-2=0 被圆(x-1)2+y2=1 所截得的线段的长为( A.1 B. 2 C. 3 D.2 提示:(1)B (2)C 1.直线与圆的位置关系的判断 已知直线方程 mx-y-m-1=0, 圆的方程为 x2+y2-4x-2y+1=0, 当 m 为何值时, 圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 思路分析: 直线与圆有两个公共点?直线与圆相交; 直线与圆只有一个公共点?直线与 圆相切;直线与圆没有公共点?直线与圆相离. 解: 方法一: 将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程并化简整理得: (1+m2)x2-2(m2 +2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 ∴当Δ>0 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,直线与圆有两个公共点; 3 4 当Δ=0 时,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,直线与圆只有一个公共点; 3 4 当Δ<0 时,即- <m<0 时,直线与圆相离,直线与圆没有公共点. 3 方法二:已知圆的方程可化为:(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = . 1+m2 1+m2 4 当 d<2 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交

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