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2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修二《直线与圆、圆与圆的位置关系》提高训练及解析

2017-2018 学年(新课标)北师大版高中数学必修二 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 第 1 课时 学习目标 1.能够说出直线与圆的位置关系的种类. 重点难点 重点:直线与圆的位置关系的判断应用. 2.依据直线和圆的方程,能够熟练地写出 难点:通过方程组的解用代数法研究直线 它们的交点坐标, 学会用代数法判断直线和 和圆的位置关系;圆的几何性质在解题中 圆的位置关系; 能通过比较圆心到直线的距 的应用. 离和半径之间的大小用几何法判断直线和 疑点:根据直线与圆的位置关系如何建立 圆的位置关系. 关系式求解有关问题. 3.能够根据直线和圆的位置关系解决有关 问题. 1.直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 |Aa+Bb+C| 几何法: 圆心到直线的距离 d= A2+B2 判定方法 代数法:由 ? 相交 2个 d<r 相切 1个 d=r 相离 0个 d>r ? Ax ? By ? C ? 0 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r Δ>0 Δ=0 Δ<0 消元得到一元二次方程的判别式Δ 预习交流 1 判断直线与圆的位置关系时,代数法与几何法哪个更方便? 提示:已知直线及圆的方程,判断两者的位置关系时,几何法较简单,一般情况下,在 判断直线与圆的位置关系时,优先考虑使用几何法. 预习交流 2 直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( A.相切 C.直线过圆心 提示:B 2.怎样解决圆的切线方程与弦长问题? 提示:(1)涉及圆的切线方程,其解题思路是圆心到直线的距离等于半径,需注意考虑 直线斜率不存在的特殊情形(一般用数形结合的思想求解或验证). (2)对于圆的弦长问题求解常常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解. 预习交流 3 (1)若直线 y=x+b 与圆 x2+y2=2 相切,则 b 的值为( A.±4 B.±2 ). ). B.相交但直线不过圆心 D.相离 C.± 2 D.±2 2 ). (2)直线 x+ 3y-2=0 被圆(x-1)2+y2=1 所截得的线段的长为( A.1 B. 2 C. 3 D.2 提示:(1)B (2)C 1.直线与圆的位置关系的判断 已知直线方程 mx-y-m-1=0, 圆的方程为 x2+y2-4x-2y+1=0, 当 m 为何值时, 圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 思路分析: 直线与圆有两个公共点?直线与圆相交; 直线与圆只有一个公共点?直线与 圆相切;直线与圆没有公共点?直线与圆相离. 解: 方法一: 将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程并化简整理得: (1+m2)x2-2(m2 +2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 ∴当Δ>0 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,直线与圆有两个公共点; 3 4 当Δ=0 时,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,直线与圆只有一个公共点; 3 4 当Δ<0 时,即- <m<0 时,直线与圆相离,直线与圆没有公共点. 3 方法二:已知圆的方程可化为:(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = . 1+m2 1+m2 4 当 d<2 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 3 4 当 d=2 时,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; 3 4 当 d>2 时,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 3 1.判断下列圆与直线的位置关系. (1)圆 x2+y2-8x+2y-8=0,直线 4x-3y+6=0; (2)圆 x2+y2-4x+3=0,直线 2x-y+5=0. 解:(1)圆 x2+y2-8x+2y-8=0 可化为(x-4)2+(y+1)2=25,∴圆心(4,-1),半 径 r=5. |16+3+6| 圆心(4,-1)到直线 4x-3y+6=0 的距离 d= =5=r,∴圆与直线相切. 16+9 (2)圆 x2+y2-4x+3=0 可化为(x-2)2+y2=1,圆心(2,0),半径 r=1,圆心到直线 |4+5| 9 9 5 2x-y+5=0 的距离 d= = = >1=r,∴圆与直线相离. 5 4+1 5 2.(1)已知 P(x0,y0)在圆 x2+y2=R2 内,试判断直线 x0x+y0y=R2 与圆的位置关系; (2)若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点,求 k 的取值范围. 2 2 解:(1)∵点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=R2 的内部,∴x2 0+y0<R .又圆心 O(0,0)到直线 x0x +y0y=R2 的距离为 d= |R2| R2 2 2 2 2 > 2 2=R,∴直线 x0x+y0y=R 与圆 x +y =R 相离. x2 + y R 0 0 |2k-3+2| ?0,4?. ? 2 <1,解得 k∈? ? 3? 1+k (2)由直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点可得直线与圆的位置 关系是相交,故圆心到直线的距离小于圆的半径,即 解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置关系和直线与圆的公共点 的个数间的等价关系.在处理直线与圆的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距 离和半径的大小,而联立方程的方法用得比较少. 2.直线与圆的相切问题 (1)已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2,求过点 P(2,3)的圆的切线方程; (2)过点 A(4,-3)作圆 C:(x-3)2+(y-1)2=1 的切线,求此切线的方程. 思路分析:(1)先判断

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