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2013年湖北高考理科数学试卷(word版含答案)


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数 学(理工类)
本试题卷共 5 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★ 祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答 在试题卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂黑。考生 应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、 草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

2i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2 2. 已知全集为 R,集合 A ? ? x ( ) ? 1? , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? ?R B ?

? ?

1 2

x

? ?

?

?

A. x x ? 0

?

?

B. x 2 ? x ? 4

?

?

C. x 0 ? x ? 2或 x ? 4

?

?
B. p ? (?q)

D. x 0 ? x ? 2或 x ? 4

?

?
D. p ? q

3. 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范围” 是“乙降落在 ,q 指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. (?p) ? (?q) C. (?p) ? (?q)

4. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后, 所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

? 12

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 6

5.已知 0 ? ? ?

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1与C2 : 2 ? 2 ? 1的 cos 2 ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ?

A.实轴长相等

B.虚轴长相等

C.焦距相等

D.离心率相等

? ??? ??? ? 6.已知点 A(-1,1) 、B(1,2) 、C(-2,1) 、D(3,4) ,则向量 AB 和 CD 方向上的投影为
A.

3 2 2

B.

3 15 2

C.

3 2 2

D.

3 15 2

7 . 一 辆 汽 车 在 高 速 公 路 上 行 驶 , 由 于 遇 到 紧 急 情 况 而 刹 车 , 以 速 度

v(t ) ? 7 ? 3t ?

25 (t的单位:s, v的单位:m / s) 行驶至停止, 在此期间汽车继续行驶的距离 (单位: 1? t

m )是
A. 1+25 ln 5 B. 8+25ln

11 3

C. 4+25ln 5

D. 4+50ln 2

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别为 这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 V1,V2,V3,V4,

AV1 ? V2 ? V4 ? V3 .

BV1 ? V3 ? V2 ? V4 .

C.V2 ? V1 ? V3 ? V4

D. V ? V ? V ? V 2 3 1 4

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽 取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

10. 已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡的 ..... 对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

(一)必考题(11—14 题) 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方 图如图所示。 (1)直方图中 x 的值为___________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。

12. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=___________。 13.设 x, y, z ? R ,且满足: x2 +y2 +z2 =1 则 ,x+2 y+3z = 14, x+y+z= ___________。 14.古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为

n(n+1) 1 2 1 = n + n ,记第 n 个 k 边形数为 N (n, k )(k ? 3) ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的 2 2 2
表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

1 1 N (n,3)= n 2 + n 2 2

N (n, 4)=n2
3 1 N ( n,5)= n 2 - n 2 2

N (n,6)=2n2 -n

…………………………………………………………….. 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=_________________。 (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号 后的方框图用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲)

如图,圆 O 上一点 C在直径AB上的射影为D, 点D在半径OC上的射影为E. 若

AB ? 3 AD,

CE 的值为 EO

.

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直线坐标系 xoy 中,椭圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? ??为参数, a ? b ? 0? . 在极坐标系(与直角 ? y ? b sin ?

坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴为正半轴 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极 坐标分别为 ? sin ?? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数? 与? =b. 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相 ?? 4? 2
.

切,则椭圆的离心率为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角A、B、C对应的边分别为a, b, c. 已知cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1. (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC的面积S ? 5 3, b ? 5, 求sin B sin C的值. 18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10, a1a2a3 ? 125. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m, 使得 由. 19.(本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C是圆 O 上异于 A、B 的点,直线 PC ? 平面ABC,

1 1 1 若不存在,说明理 ? ? ?????? ? ? 1? 若存在,求m的最小值; a1 a2 an

E, F分别为PA, PB的中点.

(I)记平面 BEF与平面ABC的交线为l,是判断l与平面PAC的位置关系, 并加以说明; (II)设(I)中的直线 l与圆O的另一个交点为D, 且点Q满足DQ ?

?

1 ? CP. 记直线 2

PQ与平面ABC所成的角为O, 异面直线所成的锐角为 o ,二面角

E ? l ? C的大小为?,求证: ? ? sin ? sin ? . sin

20.(本小题满分 12 分)
2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布N 800,50 的随机变量,

?

?

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 Pn . 求 Pn 的值;
2 (I) (参考数据:若 X ? N ? , ? , 有P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, )

?

?

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974.
(II)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往返一次, A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元 /辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于

P0 的 概 率 运 完 从 甲 地 去 乙 地 的 旅 客 , 且 使 公 司 从 甲 地 去 乙 地 的 营 运 成 本 最 小 , 那 么 应 配 备
A型车、B型车各多少辆?
21.(本小题满分 13 分) 如图, 已知椭圆 C1与C2的中心原点坐标O, 长轴均为 MN 且在x轴上,短轴长分别为 2m、n ? m ? n ?, 2 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1、C2的四个交点按纵坐标 从大到小依次为 A、B、C、D. 记

??

m , ?BDM 和?ABN的面积分别为S1、S2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 =? S2 , 求?的值;

(II)当 ? 变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 =? S2 , 并说明理由 .

22.(本小题满分 14 分) 设 n 为正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1? x ? ?1?的最小值;

nr ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?2

?n

r

? n ? 1? ?

? nr ?1 ; r ?1
? 3? ? ?

r ?1

(III)设 x ? R, ? x?为 不小于 x 的最小整数,例如 ? 2? =2, ? ? =4,? ? ? =-1. 记 ? ... 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ?????? ? 3 125, 求 ? S ?的值. (参考数据: 80 3 ? 344.7,813 ? 350.5,124 3 ? 618.3,126 3 ? 631.7. )
4 4 4 4


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