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2014-2017高考真题 第五章 平面向量

2019 高考帮 第五章 平面向量

考点 1 平面向量的概念及坐标运算
→ → 1.(2015· 新课标全国Ⅰ,7)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则( 1→ 4 → → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1 → C.AD= AB+ AC 3 3 ) → 4→ 1 → D.AD= AB- AC 3 3

→ → → → → → → → → 1.A[∵BC=3CD,∴AC-AB=3(AD-AC),即 4AC-AB=3AD, 1→ 4→ → ∴AD=- AB+ AC.] 3 3 2.(2015· 湖南,8)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB⊥BC.若点 P 的坐标为(2,0), → → → 则|PA+PB+PC|的最大值为( A.6 2.B B.7 C.8 ) D.9

→ → → [由 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上,且 AB⊥BC,∴AC 为圆直径,故PA+PC=2PO=(-4, 0),

→ → → → → 设 B(x,y),则 x2+y2=1 且 x∈[-1,1],PB=(x-2,y),所以PA+PB+PC=(x-6,y).故|PA+ → → PB+PC|= -12x+37,∴x=-1 时有最大值 49=7,故选 B.]

3.(2014· 福建,8)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( A.e1=(0,0),e2=(1,2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 3.B B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

)

[法一 若 e1=(0,0),e2=(1,2),则 e1∥e2,而 a 不能由 e1,e2 表示,排除 A;若 e1

-1 2 =(-1,2),e2=(5,-2),因为 ≠ ,所以 e1,e2 不共线,根据共面向量的基本定理, 5 -2 可以把向量 a=(3,2)表示出来,故选 B. 法二 因为 a=(3,2),若 e1=(0,0),e2=(1,2),不存在实数 λ,μ ,使得 a=λe1+μe2, 排除 A;若 e1=(-1,2),e2=(5,-2),设存在实数 λ,μ ,使得 a=λe1+μe2,则(3,2)= (-λ+5μ,2λ -2μ),
?3=-λ+5μ, ?λ=2, ? ? 所以? 解得? 所以 a=2e1+e2,故选 B.] ?2=2λ-2μ, ?μ=1. ? ?

4.(2014· 安徽,10)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a|=|b|=1,a· b=0,点 Q 满 → → → 足OQ= 2(a+b).曲线 C={P|OP=acosθ+bcosθ, 0≤θ<2π}, 区域 Ω={P|0<r≤|PQ|≤R, r<R}. 若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( )

A.1<r<R<3 B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3 D.1<r<3<R

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→ → → 4.A [由已知可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),P(x,y),则OQ=( 2, 2),曲线 C= → → {P|OP=(cosθ ,sin θ ),0≤θ <2π },即 C:x2+y2=1,区域 Ω={P|0<r≤|PQ|≤R,r<R} 表示圆 P1:(x- 2)2+(y- 2)2=r2 与圆 P2:(x- 2)2+(y- 2)2=R2 所形成的圆环,如图所 示,要使 C∩Ω 为两段分离的曲线,只有 1<r<R<3.]

5.(2017?浙江,15)已知向量



满足|

|=1,|

|=2,则|

+

|+|



|的

最小值是________,最大值是________. 5. 4; | ﹣ |= 记∠AOB=α,则 0≤α≤π,如图,由余弦定理可得:|
2 2

+

|=



,则 x +y =10(x、y≥1) ,其图象为一段圆弧 MN,如图,

令 z=x+y,则 y=﹣x+z,则直线 y=﹣x+z 过 M、N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4, 当直线 y=﹣x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大,由平面几何知识易知 zmax 即为原点到切线的距离 的 倍,也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 + |+| ﹣ 倍,所以 zmax= × = . .

综上所述,|

|的最小值是 4,最大值是

.故答案为:4、

6. (2017?江苏,12) 如图, 在同一个平面内, 向量 与 的夹角为 α, 且 tanα=7, 与





的模分别为 1, 1, =m +n

, (m,

的夹角为 45°. 若

n∈R) ,则 m+n=________.

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6. 3

如图所示,建立直角坐标系.A(1,0) .由



的夹角为 α,且 tanα=7.

∴cosα=

,sinα=

.∴C

.cos(α+45°)=

(cosα﹣sinα)=



sin(α+45°)= ∈R) ,∴ =m﹣

(sinα+cosα)= n, =0+

.∴B ,m=

.∵ .

=m

+n

(m,n

n,解得 n=

则 m+n=3.故答案为:3.

7.(2016· 全国Ⅰ,13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=________. 7.-2[由|a+b|2=|a|2+|b|2,得 a⊥b,所以 m× 1+1× 2=0,得 m=-2.]

8.(2015· 新课标全国Ⅱ,13)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ= ____________. 8. 1 [∵向量 a, b 不平行, ∴a+2b≠0, 又向量 λa+b 与 a+2b 平行, 则存在唯一的实数 μ, 2

?λ=μ, ? 1 使 λa+b=μ(a+2b)成立,即 λa+b=μa+2μb,则得? 解得 λ=μ= .] 2 ?1=2μ, ?

→ → → → → → → 9.(2015· 北京,13)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则 x =________;y=________. 9. 1 1 - 2 6 → → → 1 → 1 → 1 → 1 → → 1→ 1 → [MN=MC+CN= AC+ CB= AC+ (AB-AC)= AB- AC, 3 2 3 2 2 6

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1 1 ∴x= ,y=- .] 2 6

10.(2015· 江苏,6)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m -n 的值为________.
?2m+n=9, ? 10.-3 [∵a=(2,1),b=(1,-2),∴ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),即? 解得 ? ?m-2n=-8, ? ?m=2, ? 故 m-n=2-5=-3.] ?n=5, ?

→ 1 → → → → 11.(2014· 新课标全国Ⅰ,15)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC 2 的夹角为________. → 1 → → 11.90°[由AO= (AB+AC)可知 O 为 BC 的中点,即 BC 为圆 O 的直径,又因为直径所对的 2 → → 圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以AB与AC的夹角为 90.]

12.(2014· 湖南,16)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D → → → → 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. → → → → 12.1+ 7 [设 D(x, y), 由|CD|=1, 得(x-3)2+y2=1, 向量OA+OB+OD=(x-1, y+ 3), → → → 故|OA+OB+OD|= (x-1)2+(y+ 3)2的最大值为圆(x-3)2+y2=1 上的动点到点(1, - 3)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y2=1 的圆心(3,0)到点(1,- 3)的距离加上 圆的半径,即 (3-1)2+(0+ 3)2+1=1+ 7.]

考点 2 平面向量的数量积及其应用
1.(2017?北京,6)设 , 为非零向量,则“存在负数 λ,使得 =λ ”是 ? <0” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1. A , 为非零向量,存在负数 λ,使得 =λ ,则向量 , 共线且方向相 反,可得 ? <0.反之不成立,非零向量 , 的夹角为钝角,满足 ? <0,而 =λ 不成立.∴ , 为非零向量,则“存在负数 λ,使得 =λ ”是 ? <0”的 充分不必要条件.故选 A. 2.(2017?新课标Ⅲ,12)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相 切的圆上.若 =λ +μ ,则 λ+μ 的最大值为( )

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A.3 2. A B.2 C. D.2

如图:以 A 为原点,以 AB,AD 所在的直线为 x,y 轴建立如图所示的坐标系,

则 A(0,0) ,B(1,0) ,D(0,2) ,C(1,2) ,∵动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的 圆上,设圆的半径为 r,∵BC=2,CD=1,∴BD= = ,∴ BC?CD= BD?r,

∴r=

,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=

,设点 P 的坐标为(

cosθ+1,

sinθ+2) ,∵





,∴(

cosθ+1,

sinθ﹣2)=λ(1,0)+μ(0,2)

= (λ, 2μ) , ∴

cosθ+1=λ,

sinθ+2=2μ, ∴λ+μ=

cosθ+

sinθ+2=sin (θ+φ)

+2,其中 tanφ=2,∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,故 λ+μ 的最大值为 3,故选 A. 3.(2017?浙江,10)如图,已知平面四边形 ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O,记 I1= ? ,I2= ? ,I3= ? ,则( )

A.I1<I2<I3 3. C

B.I1<I3<I2

C.I3<I1<I2

D.I2<I1<I3

∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,∴AC=2 ? >

,∴∠AOB=∠COD>90°, ? , ? >0,

由图象知 OA<OC,OB<OD,∴0> 即 I3<I1<I2 , 故选 C.

4. (2017?新课标Ⅱ,12) 已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点, 则 ?( A.﹣2 + B.﹣ )的最小值是( C.﹣ ) D.﹣1

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4. B 建立如图所示的坐标系,以 BC 中点为坐标原点,则 A(0, =(﹣x, ﹣y) , ) ,B(﹣1,0) ,C =(1﹣x,

(1,0) ,设 P(x,y) ,则

=(﹣1﹣x,﹣y) ,

﹣y) , 则

? (

+

) =2x2﹣2 )=﹣

y+2y2=2[x2+ (y﹣

2 ) ﹣

]∴当 x=0, y=

时,取得最小值 2×(﹣

,故选 B.

→ → → → → → → 5.(2016· 四川,10)在平面内,定点 A,B,C,D 满足|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC= → → → → → → DC·DA=-2,动点 P,M 满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2 的最大值是( 43 A. 4 49 B. 4 37+6 3 C. 4 37+2 33 D. 4 )

→ → → 5.B[由题意,|DA|=|DB|=|DC|,所以 D 到 A,B,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心; → → → → → → → → → → → → → → → DA· DB=DB· DC=DC· DA=-2?DA· DB-DB· DC=DB· (DA-DC)=DB· CA=0,所以 DB⊥AC, 同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,从而 D 是△ABC 的垂心, ∴△ABC 的外心与垂心重合,因此△ABC 是正三角形,且 D 是△ABC 的中心. 1? → → → → → → → DA· DB=|DA||DB|cos∠ADB=|DA||DB|×? ?-2?=-2?|DA|=2, 所以正三角形 ABC 的边长为 2 3; 我们以 A 为原点建立直角坐标系,B,C,D 三点坐标分别为 B(3,- 3),C(3, 3),D(2,0),

→ → → 由|AP|=1,设 P 点的坐标为(cos θ,sin θ),其中 θ∈[0,2π),而PM=MC,即 M 是 PC 的中 点, 可以写出 M 的坐标为 M?

?3+cos θ 3+sin θ? ? 2 ? 2 , ?

π θ- ? 37+12sin? 2 2 ? 6? 37+12 49 cos θ-3? → ?3 3+sin θ? = 则|BM|2=? ≤ = , ? 4 4 4 ? 2 ? +? 2 ? ? 2 49 当 θ= π 时,||2 取得最大值 .故选 B. 3 4 1 6.(2016· 山东,8)已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos〈m,n〉= .若 n⊥(tm+n),则实 3

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数 t 的值为( A.4 B.-4 ) 9 C. 4 9 D.- 4

6.B[∵n⊥(tm+n),∴n· (tm+n)=0,即 t· m· n+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0,由 3 1 已知得 t× |n|2× +|n|2=0,解得 t=-4,故选 B.] 4 3

1 3 3 1 → → 7.(2016· 全国Ⅲ,3)已知向量BA=? , ?,BC=? , ?,则∠ABC=( ?2 2 ? ? 2 2? A.30° B.45° C.60° D.120°

)

→ → BA·BC 3 → → 7.A [|BA|=1,|BC|=1,cos∠ABC= = .] 2 → → |BA|·|BC|

8.(2016· 全国Ⅱ,3)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m=( A.-8 B.-6 C.6 D.8

)

8.D[由题知 a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)· b=0, 即 4× 3+(-2)× (m-2)=0,解之得 m=8,故选 D.]

→ → 9.(2015· 山东,4)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则BD· CD=( 3 3 3 3 A.- a2B.- a2C. a2D. a2 2 4 4 2 9.D [如图所示,由题意,得 BC=a,CD=a,∠BCD=120°. 1? 2 BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos 120°=a2+a2-2a· a×? ?-2?=3a , ∴BD= 3a. 3 3 → → → → ∴BD·CD=|BD|·|CD|cos 30°= 3a2× = a2.] 2 2

)

→ → 10.(2015· 安徽,8)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC=2a +b,则下列结论正确的是( A.|b|=1 B.a⊥b ) → D.(4a+b)⊥BC

C.a· b=1

→ → → → → → → 10.D [由于△ABC 是边长为 2 的等边三角形; ∴(AB+AC)· (AB-AC)=0, 即(AB+AC)· CB= → → 0,∴(4a+b)⊥CB,即(4a+b)⊥BC,故选 D.]

→ → → 11.(2015· 四川,7)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M,N 满足BM=

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→ → → → → 3MC,DN=2NC,则AM· NM=( A.20 B. 15 C.9 D.6 1 → 1→ → → 3→ → → → 11.C[AM=AB+ AD,NM=CM-CN=- AD+ AB 4 4 3 1 1 → → 1 → → 1 → → → → ∴AM·NM= (4AB+3AD)· (4AB-3AD)= (16AB2-9AD2)= (16×62-9×42)=9,选 4 12 48 48 C.] → → → 1 → 12.(2015· 福建,9)已知AB⊥AC,|AB|= ,|AC|=t,若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且 t → → → AB 4AC → → AP= + ,则PB· PC的最大值等于( → → |AB| |AC| A.13 B.15 C.19 D.21 ) )

1 ? → ?1 ? → 12.A [建立如图所示坐标系,则 B? ? t ,0?,C(0,t),AB=? t ,0?,AC= → → → AB 4AC ?1 ? 4 → → (0,t),AP= + =t? t ,0?+ (0,t)=(1,4),∴P(1,4),PB·PC t → → |AB| |AC| 1 ? ?1 ? =? ? t -1,-4?·(-1,t-4)=17-? t +4t?≤17-2 A.] 1 ·4t=13,故选 t

2 2 13.(2015· 重庆,6)若非零向量 a,b 满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角 3 为( π A. 4 ) π B. 2 3π C. 4 D.π

13.A [由题意(a-b)· (3a+2b)=3a2-a· b-2b2=0,即 3|a|2-|a|· |b|cos θ-2|b|2=0,

? 所以 3×

2 π 2 2?2 2 2 - cos θ-2=0,cos θ= ,θ= ,选 A.] 3 2 4 ? 3 ?

14.(2015· 陕西,7)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||

)

C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2

14.B [对于 A,由|a· b|=||a||b|cos<a,b>|≤|a||b|恒成立;对于 B,当 a,b 均为非零向量且方 向相反时不成立;对于 C、D 容易判断恒成立.故选 B.]

15.(2014· 新课标全国Ⅱ,3)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 B.2 C.3 D.5

)

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15.A [由向量的数量积运算可知,∵|a+b|= 10,∴(a+b)2=10,∴a2+b2+2a·b=10,① 同理 a2+b2-2a· b=6,② ① -②得 4a· b=4,∴a· b=1.]

16.(2014· 大纲全国,4)若向量 a、b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( A.2 B. 2 16.B C.1 D. 2 2

)

?(a+b)· a=a2+a· b=0, ? [由题意得? ?-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1, ?(2a+b)· b=2a· b+b2=0 ?

∴|b|= 2.故选 B.] 17.(2014· 天津,8)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° ,点 E,F 分别在边 BC,DC 2 → → → → 上,BE=λBC,DF=μDC.若AE· AF=1,CE· CF=- ,则 λ+μ=( 3 1 A. 2 2 B. 3 5 C. 6 7 D. 12 )

17.C [如图所示,以菱形 ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系 xOy, → → 不妨设 A(0,-1),B(- 3,0),C(0,1),D( 3,0),由题意得CE=(1-λ)· CB=( 3λ - 3, → → λ -1),CF=(1-μ)CD=( 3- 3μ ,μ -1).

2 1 → → 2 因为CE·CF=- ,所以 3(λ-1)· (1-μ)+(λ-1)(μ-1)=- ,即(λ-1)(μ-1)= . 3 3 3 → → → → → → 因为AE=AC+CE=( 3λ- 3,λ+1).AF=AC+CF=( 3- 3μ,μ+1), 1 ? ?(λ-1)(μ-1)=3. 5 → → 又AE·AF=1,所以(λ+1)(μ+1)=2.由? 整理得 λ+μ= .选 C.] 6 ? ?(λ+1)(μ+1)=2, 18.(2017?新课标Ⅰ,13)已知向量 |=________. 18. ∴
2



的夹角为 60°,|

|=2,|

|=1,则|

+2

∵向量 =

, +4
2

的夹角为 60°,且| ? +4

|=2,|

|=1,

=2 +4×2×1×cos60°+4×1 =12,

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∴| +2 |=2 .故答案为:2 .

19.(2017?山东,12)已知



是互相垂直的单位向量,若









夹角为 60°,则实数 λ 的值是________.

19. 又 |×| ﹣

, 与 +λ

是互相垂直的单位向量,∴| +λ 的夹角为 60°,∴( +(

|=| ﹣

|=1,且 )?( ﹣1)

? +λ ?

=0; )=| ﹣λ ﹣ λ= ﹣ = ×

|×cos60° , 即 ×

×

,化简得

×

,即

﹣λ=

,解得 λ=

.故答案为: =2

. , =λ ﹣

20.(2017· 天津,13)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若 (λ∈R) ,且 20. 如图所示, =﹣4,则 λ 的值为________.

△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2, =2 ∴ = = = 又 ∴ + + + =λ ( ﹣ , ﹣ =( (λ∈R) , + )?(λ ﹣ ) ) = , +

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=( =( ∴ λ﹣ λ﹣ λ=1, .故答案为: . ) ? ﹣ + ×3 +
2

λ λ×2 =﹣4,
2

)×3×2×cos60°﹣

解得 λ=

21.(2016· 浙江, 15)已知向量 a, b, |a|=1, |b|=2.若对任意单位向量 e, 均有|a· e|+|b· e|≤ 6, 则 a· b 的最大值是________. 1 21. 2 [由已知可得: 6≥|a· e|+|b· e|≥|a· e+b· e|=|(a+b)· e|

由于上式对任意单位向量 e 都成立.∴ 6≥|a+b|成立. 1 ∴6≥(a+b)2=a2+b2+2a· b=12+22+2a· b.即 6≥5+2a· b,∴a· b≤ .] 2

22.(2015· 天津,14)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60° ,动 → → → 1 → → → 点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上, 且BE=λBC, DF= DC, 则|AE|· |AF|的最小值为________. 9λ 29 22. 18 → → → → [在梯形 ABCD 中,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,可得 DC=1,AE=AB+λBC,AF

→ 1 → → → → → → 1 → → → → 1 → → → → 1 =AD+ DC,∴AE· AF=(AB+λBC)· (AD+ DC)=AB· AD+AB· DC+λBC· AD+λBC· 9λ 9λ 9λ 9λ 1 1 2 λ 17 → DC=2× 1× cos 60° +2× +λ× 1× cos 60° +λ × cos 120° = + + ≥2 9λ 9λ 9λ 2 18 2 λ 2 29 仅当 = ,即 λ= 时,取得最小值为 .] 9λ 2 3 18 1 5 23.(2015· 浙江, 15)已知 e1,e2 是空间单位向量,e1· e2= , 若空间向量 b 满足 b· e1=2, b· e2= , 2 2 且对于任意 x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则 x0=________,y0 =________,|b|=________. 23.1 2 1 π 1 3 2 2 [∵e1· e2=|e1|· |e2|cos〈e1,e2〉= ,∴〈e1,e2〉= .不妨设 e1=? , ,0?, 2 3 ?2 2 ? 2 λ 17 29 · + = ,当且 9λ 2 18 18

e2=(1,0,0),b=(m,n,t). 1 3 e = m+ n=2, ? 2 2 ?b· 3 5 5 3 由题意知? 解得 n= ,m= ,∴b=? , ,t?. 2 2 5 ?2 2 ? e =m= , ?b· 2 ?
1 2

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5 1 3 3 ∵b-(xe1+ye2)=? - x-y, - x,t?, 2 2 2 2 ? ? 5 x ?2 ? 3 y-4? 2 3 ?2 2 2 2 2 ? - -y + ∴ |b - (xe1+ye2)|2 = ? + t = x + xy + y - 4 x - 5 y + t + 7 = x + ?2 2 ? ? 2 - 2 x? 2 ? ? y-4?2 3 3 + (y-2)2+t2.由题意知,当 x=x0=1,y=y0=2 时,?x+ + (y-2)2+t2 取到最小值. 4 2 ? 4 ? 此时 t2=1, 故|b|=
2 2 ?5? +? 3? +t2=2 2.] ?2? ? 2 ?

24.(2017?江苏,16)已知向量 (Ⅰ)若 ∥ ,求 x 的值;

=(cosx,sinx) ,

=(3,﹣

) ,x∈[0,π].

(Ⅱ)记 f(x)= 24.(Ⅰ)∵ ∴﹣ ∴tanx=

,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. =(3,﹣ ) , ∥ ,

=(cosx,sinx) ,

cosx+3sinx=0, ,

∵x∈[0,π], ∴x= ,

(Ⅱ) f (x) =

=3cosx﹣

sinx=2



cosx﹣

sinx) =2

cos (x+

) ,

∵x∈[0,π],∴x+

∈[



],∴﹣1≤cos(x+

)≤



当 x=0 时,f(x)有最大值,最大值 3,当 x=

时,f(x)有最小值,最大值﹣2 2 2? ,n=(sin x,cos x), ,- 2 2 ? ?

25.(2015· 广东,16)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=? π? x∈? ?0,2?. (1)若 m⊥n,求 tan x 的值. π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 25.解 (1)因为 m=? 所以 m· n=0,即 2 2? ,n=(sin x,cos x),m⊥n. ? 2 ,- 2 ?

2 2 sin x- cos x=0,所以 sin x=cos x,所以 tan x=1. 2 2

2019 高考帮
π? 1 π 1 2 2 1 (2)因为|m|=|n|=1,所以 m· n=cos = ,即 sin x- cos x= ,所以 sin? ?x-4?=2, 3 2 2 2 2 π π π π π π 5π 因为 0<x< ,所以- <x- < ,所以 x- = ,即 x= . 2 4 4 4 4 6 12

26.(2014· 北京, 10)已知向量 a, b 满足|a|=1, b=(2,1), 且 λa+b=0(λ∈R), 则|λ|=________. 26. 5 [∵|a|=1,∴可令 a=(cos θ,sin θ),∵λa+b=0,

?λcos θ+2=0, ? ∴? 即 ? ?λsin θ+1=0,

?cos θ=-λ, 由 sin θ +cos θ =1 得 λ =5,得|λ|= ? 1 ?sin θ=-λ,
2 2 2

2

5.]

1 27.(2014· 江西,14)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α= ,向量 a=3e1-2e2 与 b= 3 3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β=________. 2 2 27. 3 [因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2× 3× 2× cos α+4=9,所以|a|=3,b2=(3e1-e2)2=9-2× 3× 1× cos α

1 +1=8,所以|b|=2 2,a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9e2 e2+2e2 1× 1× +2=8, 1-9e1· 2=9-9× 3 a· b 8 2 2 所以 cos β= = = .] |a|· |b| 3× 3 2 2

28.(2014· 湖北,11)设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数 λ=________. 28.±3 [(a+λb)⊥(a-λb)?(a+λb)· (a-λb)=a2-λ2b2=0?18-2λ2=0?λ =±3.] → 29.(2014· 江苏, 12)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, CP → → → → → =3PD,AP· BP=2,则AB· AD的值是________. 29.22 → → → → 1→ → → → → 3→ → → → 1 [因为AP=AD+DP=AD+ AB,BP=BC+CP=AD- AB,所以AP·BP=(AD+ 4 4 4

3 → 1→ → → → 3→ → → → AB)· (AD- AB)=|AD|2- |AB|2- AD·AB=2,将 AB=8,AD=5 代入解得AB·AD=22.] 4 16 2


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