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2016上海体育学院自主招生数学模拟试题及答案

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2016 上海体育学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1.定义 A ? B ? {x | x ? A且x ? B}, 若M ? {1,2,3,4,5}, N ? {2,3,6}, 是N ? M 等于 ( ) A.{1,2,3,4,5} C.{1,4,5} 2.复数 z ? B.{2,3} D.{6} ( )

(2 ? i ) 2 ? 1 ( i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.给出如下三个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题; ②命题“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y≥5” 的否命题为“若 x<2 且 y<3,则 x+y<5”; ③四个实数 a、b、c、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc; ④在△ ABC 中,“ A ? 45? ”是“ sin A ? 其中不正确的命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

2 ”的充分不必要条件. 2
( )

4.已知直线 l ? 平面?, 直线m ? 平面? ,有下面四个命题: (1) ? // ? ? l ? m ; (3) l // m ? ? ? ? ; 其中正确的命题是( ) (2) ? ? ? ? l // m ; (4) l ? m ? ? // ? .

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A.(1)与(2) B.(1) 与 (3) C.(2) 与 (4) D.(3) 与 (4)

5.在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时,有下列步骤: ①对所求出的回归直线方程作出解释; ②收集数据 ( xi , yi ),i ? 1,2,?, n; ③求线性回归方程; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图. 如果根据可形性要求能够作出变量 x,y 具有线性相关结论,则在下列操作顺序中 正确的 是 A.①②⑤③④ 6.若双曲线 B.③②④⑤① C.②④③①⑤ ( D.②⑤④③① ) ④求相关系数;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,线段 F1 F2 被抛物线 a2 b2
( D. )

y 2 ? 2bx 的焦点分成 7 : 5 的两段,则此双曲线的离心率为
A.

9 8

B.

6 37 37

C.

3 2 4

3 10 10

7.已知等差数列 ?an ? 中,有

a11 ? 1 ? 0 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 a10

Sn ? 0 的

n 的最大值为
A.11 B.19 C. 20 D.21





8.某服装加工厂某月生产 A 、 B 、 C 三种产品共 4000 件,为了保证产品质量,进行 抽样检 验,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量

A

B
2300

C

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(件) 样本容量 (件) 230

由于不小心,表格中 A 、 C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产 品的样 本容量比 C 产品的样本容量多 10 ,根据以上信息,可得 C 的产品数量是( A. 80 B. 800 C.90 D.900 )

9.已知直线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量 OA 、

OB 满
足 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,则实数 a 的值 A.2 B.-2 C. 6 或- 6 D.2 或-2 ( )

10.某班学生父母年龄的茎叶图如下图,左边是父亲年龄,右边是母亲年龄,则该班 同学父 亲的平均年龄比母亲的平均年龄多(
9 9 8 9 7 8 8 2 9 3 5 1 4 2 3 4 1 4 5 0 3 4 5

)岁

5 6 7 8 8 0 4 3 2 1 5 6 1 1 3 4 0 1 0 2

A. 2.7

B.3.1

C.3.2

D.4

11.如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空 白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为
a a 的圆孤,某人向 2

此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可 能性都一样,则它击中阴影部分的概率是 A.1( ) D.与 a 的取值有关

? 4

B.

? 4

C.1-

? 8

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12.已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,当 x ? 2 时, f ( x) 单 调递 增,若 x1 ? x2 ? 4 且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值 A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能等于 0 D.可正可负 ( )

开始

第Ⅱ卷

n=2
S ?0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在横线上. 13.如右图所示,这是计算




1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值的一 2 4 6 20

S?S?

1 n

输出S
结束

n ? n?2

个程序框图,其中判断框内应填入的条件是. 13 题 图

14.给出下列命题: ①存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ? 1 ; ②存在实数 ? ,使 sin ? ? cos ? ?

3 ; 2

③函数 y ? sin( ? ? x) 是偶函数; ④x ?

3 2

?
8

是函数 y ? sin( 2 x ?

5 ? ) 的一条对称轴方程; 4

⑤若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ;

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⑥若 ?、? ? (

?
2

, ? ) ,且 tan? ? cot ? ,则 ? ? ? ?

3? . 2

其中正确命题的序号是_______________.

?| x | ?2 ? 0 ? 15.设不等式组 ? y ? 3 ? 0 所表示的平面区域为 S,若 A、B 为 S 内的两个点,则 ?3x ? 2 y ? 2 ?
|AB|的 最大值为. 16 .定义在 ?? ?,??? 上的偶函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 1? ? ? f ?x ? ,且在 ?? 1,0? 上是增函数, 下 面是关于 f ?x ? 的判断: ① f ?x ? 是周期函数; ② f ?x ? 的图像关于直线 x=1 对称; ③ f ?x ? 在[0,1]上是增函数; ④ f ?2? ? f ?0? . 其中不 正确 的判断是 . .. .(把你认为不正确的判断都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 cos x ?

1 3 ( x ? R) . 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)求 f ( x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

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18.(本小题满分 12 分) 将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛 掷两次, 记第一次出现的点数为 x ,第二次出现的点数为 y . (1)求事件“ x ? y ? 3 ”的概率; (2)求事件“ x ? y ? 2 ”的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示, M , N 分别为 AF, BC 的中 点. (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求多面体 A ? CDEF 的体积.

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20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数, S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且

4Sn ? an ? 2an ? 3 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知bn ? 2n , 求Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ?a n bn 的值.

2

21.(本小题满分 13 分) 直线 y=kx+b 与曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S(O 是 坐 标原点). (1)求曲线的离心率; (2)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (3)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.
B O y

A

x

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22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 ax ? x ? cx ? d (a, c, d ? R)满足 f (0) ? 0, 3 4

f ' (1) ? 0, 且f ' ( x) ? 0在R 上恒成立.
(1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? , 解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0; 4 2 4

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ' ( x) ? mx在区间 [m, m ? 2] 上有最小值-5? 若 存在,请求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

参 考 答 案
一、选择题 1.解析: M ? {1 , 2, 3, 4, 5} ,又 N ? {2,3,6}, 所以N ? M ? {6},故选 D.

(2 ? i ) 2 3 7 ? 1 = ? ? i ,故选 B. 2.解析: z ? 2 2 1? i
3.解析:①②④不正确,故选 B. 4.解析:(2) 与 (4)不正确,故选 B.

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5.解析:选 D. 6.解析: y 2 ? 2bx 的焦点为( ,0 ),线段 F1 F2 被点( ,0 )分成 7 : 5 的两段,得

b 2

b 2

b ?c 7 2 ? , b 5 c? 2
可得双曲线的离心率为

3 2 ,故选 C. 4

7.解析:等差数列 ?an ? 中,有

a11 ? 1 ? 0 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,所以 a10

a10 ? 0, a11 ? a10 ? 0 ,所以 S19 ? 0,S 20 ? 0 ,选 B.
8.解析:因为分层抽样是按比抽取,由 B 产品知比为

1 ,再由 A 产品的样本容量比 10

C 产品
的样本容量多 10 ,易得 C 产品的样本容量为 80,故选 B. 9.解析:由向量 OA 、 OB 满足 | OA ? OB |?| OA ? OB | 得 OA ⊥ OB ,A、B 两点在坐 标轴 上,故选 D. 10.解析:分别求出父亲年龄和母亲年龄的平均值,可得父亲的平均年龄比母亲的平 均年龄 多 3.2 岁,故选 C.

a a2 ? ? ( )2 2 ? 1- ? ,故选 A. 11.解析:几何概型, P ? 2 4 a

12.解析:由函数 y ? f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) 得函数的图像关于点(2,0)对称, 由

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x1 ? x2 ? 4 且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 不妨设 x1 ? 2, x2 ? 2, 借助图像可得 f ( x1 ) ? f ( x2 )
的值恒小于 0,故选 B. 二.填空题 13. n ? 20 ; 14.③④⑥; 15. 65 ; 16 .③

13.解析: n ? 20 . 14.解析:① sin ? ? cos ? ? 大 值为 2 ;⑤取 ? ? 390? , ? ? 30? , 都是第一象限的角,且 ? ? ? ,但

1 1 ? sin 2? 最大值为 ;② sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 最 2 2 4

sin ? ? sin ? ;
正确命题是③④⑥. 15. 解析:画出不等式所表示的平面区域,观察图形可得|AB|的最大值为 65 . 16.解析:③ f ?x ? 在[0,1]上是减函数,所以不正确是③. 三、解答题 17.解: f ( x) ?

1 cos 2 x ? 1 1 sin 2 x ? 3 ? 3 2 2 2

? ? ? = ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? = sin(2 x ? ) ?2 ? 2 3 ? ?
(1)T=π; (2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? z )

可得单调增区间 [k? ? (3)由 2 x ?

?
12

, k? ?

5 ? ] ( k ? z) . 12
5? k? ? (k ? z ) , 12 2

?
3

?

?
2

? k? 得对称轴方程为 x ?

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由 2x ?

?
3

? k? 得对称中心坐标为 (

?
6

?

k? ,0)( k ? z ) . 2

18.解:设 ? x, y ? 表示一个基本事件,则掷两次骰子包括: ?1,1? , ?1, 2 ? , ?1,3? ,

?1, 4? , ?1,5? , ?1,6? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? ,……, ? 6,5? , ? 6, 6 ? ,共 36 个基本事件.
(1)用 A 表示事件“ x ? y ? 3 ”,则 A 的结果有 ?1,1? , ?1, 2 ? , ? 2,1? ,共 3 个基 本事 件. ∴ P ? A ? ?

3 1 ? . 36 12

( 2 )用 B 表示事件“ x ? y ? 2 ”,则 B 的结果有 ?1, 3? , ? 2, 4 ? , ? 3,5? , ? 4, 6 ? ,

? 6, 4 ? , ? 5,3? , ? 4, 2 ? , ?3,1? ,共 8 个基本事件.
是等腰
C 直角三角形, DA ? AE ? 2 , DA ? 平面 ABEF ,侧面 ABFE, ABCD 都是边长为 D

∴ P ? B? ?

8 2 ? . 36 9

19.(1)证明:由多面体 AEDBFC 的三视图知,三棱柱 AED ? BFC 中,底面 DAE

2的
H

正方形. 连结 EB ,则 M 是 EB 的中点,
A

N E M B F

在△ EBC 中, MN // EC , 且 EC ? 平面 CDEF , MN ? 平面 CDEF , ∴ MN ∥平面 CDEF . (2) 因为 DA ? 平面 ABEF , EF ? 平面 ABEF ,

? EF ? AD ,
又 EF ⊥ AE ,所以, EF ⊥平面 ADE ,

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∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面 CDEF ⊥平面 DAE 取 DE 的中点 H , ? DA ? AE, DA ? AE ? 2 ,? AH ? 2 , 且 AH ? 平面 CDEF . 所以多面体 A ? CDEF 的体积 V ?
1 1 8 S CDEF ? AH ? DE ? EF ? AH ? . 3 3 3

1 1 3 20.解(1)当 n = 1 时, a1 ? s1 ? a12 ? a1 ? , 解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) 4 2 4
又 4Sn = an + 2an-3
2

① ②

当n ? 2 时

2 4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3

2 2 2 2 ①-② 4an ? an ? an ?1 ? 2(an ? an ?1 ) , 即 an ? an?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 0 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,

? an ? an?1 ? 0 ? an ? an?1 ? 2 ( n ? 2 ), ? 数列 {an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, ? an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1.
(2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ③ 又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1)2n?1 ④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (2n ? 1)2n?1 ④

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n?1

? (2n ? 1)2 n?1 ? 2
x2 ? y2 ? 1, 21.解:(1)曲线的方程可化为: 4
∴此曲线为椭圆, a 2 ? 4, a ? 2, c 2 ? 4 ? 1 ? 3, c ? 3 ,

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∴此椭圆的离心率 e ?

c 3 . ? a 2

(2)设点 A 的坐标为 ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) , 由

x2 ? y 2 ? 1,解得 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 , 4
1 b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 2

所以 S ?

当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1. 2

? y ? kx ? b ? (3)由 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4

? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1)
|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2



16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
? 2S ? 1,所以 b2 ? k 2 ? 1 | AB |

② ③

又因为 O 到 AB 的距离 d ?

|b| 1? k
2

③代入②并整理,得 4k 4 ? 4k 2 ? 1 ? 0 解得, k 2 ?

1 2 3 , b ? ,代入①式检验,△>0 , 2 2

故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? 或y?? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

22.解:(1)? f (0) ? 0, ? d ? 0

? f ' ( x) ? ax 2 ?

1 1 x ? c及f ' (1) ? 0, 有a ? c ? 2 2
1 x ? c ? 0 恒成立 2

? f ' ( x) ? 0在R上恒成立 , 即ax 2 ?

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即 ax 2 ?

1 1 x ? ? a ? 0 恒成立 2 2

显然 a ? 0 时,上式不能恒成立

? a ? 0, 函数 f ?( x) ? ax 2 ?

1 1 x ? ? a 是二次函数 2 2

由于对一切 x ? R, 都有f ?( x) ? 0, 于是由二次函数的性质可得

?a ? 0, ? ? 1 2 1 (? ) ? 4a( ? a) ? 0. ? 2 ? 2

a ? 0, ? ? 1 即? 2 1 , a ? a? ?0 ? 2 16 ?
a?c? 1 . 4

? ?a ? 0, 1 2 即? , ( a ? ) ?0 ? 4 ?

解得 : a ?

1 4

(2)? a ? c ?

1 1 1 1 . ? f ?( x) ? x 2 ? x ? . 4 4 2 4

1 1 1 3 b 1 ?由f ?( x) ? h( x) ? 0, 即 x 2 ? x ? ? x 2 ? bx ? ? ? 0 4 2 4 4 2 4
2 即 x ? (b ? ) x ?

1 2

b 1 ? 0,即( x ? b)( x ? ) ? 0 2 2

当b ?

1 1 1 1 1 时, 解集为 ( , b), 当b ? 时, 解集为 (b, ) ,当 b ? 时, 解集为 ? . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , ? f ?( x) ? x 2 ? x ? 4 4 2 4 1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? . 4 2 4

(3)? a ? c ?

? g ( x) ? f ?( x) ? mx ?

该函数图象开口向上,且对称轴为 x ? 2m ? 1. 假设存在实数 m 使函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx ? 上有

1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? 区间 [m.m ? 2] 4 2 4

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最小值-5. ①当 m ? ?1 时,2m ? 1 ? m,函数g ( x)在区间 [m, n ? 2] 上是递增的.

1 1 1 ? g (m) ? ?5,即 m 2 ? ( ? m)m ? ? ?5. 4 2 4
解得 m ? ?3或m ?

7 7 7 . ? ? ?1, ? m ? 舍去 3 3 3

②当 ? 1 ? m ? 1 时, m ? 2m ? 1 ? m ? 2,函数g ( x)在区间 [m,2m ? 1] 上是递减的,而 在 区间 [2m ? 1, m ? 2] 上是递增的, 即

? g (2m ? 1) ? ?5.

1 1 1 (2m ? 1) 2 ? ( ? m)( 2m ? 1) ? ? ?5 4 2 4 1 1 1 1 ? 21或m ? ? ? 21, 均应舍去 2 2 2 2

解得 m ? ?

③当 m ? 1 时, 2m ? 1 ? m ? 2,函数g ( x)在区间 [m, m ? 2] 上递减的

? g (m ? 2) ? ?5



1 1 1 (m ? 2) 2 ? ( ? m)( m ? 2) ? ? ?5. 4 2 4

解得 m ? ?1 ? 2 2或m ? 1 ? 2 2.其中m ? 1 ? 2 2 应舍去. 综上可得,当 m ? ?3或m ? ?1 ? 2 2 时, 函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx在区间 [m, m ? 2]上有最小值? 5.


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