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高中数学思想方法


§2 分类讨论思想 方法解读
1.分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 . 简单的基础性问题,通过对基础性问题的解答, 简单的基础性问题,通过对基础性问题的解答,解决原 问题的思维策略,实质上,分类讨论是“化整为零, 问题的思维策略,实质上,分类讨论是“化整为零,各 个击破,再积零为整”的数学策略,分类讨论可以优化 个击破,再积零为整”的数学策略, 解题思路,降低问题难度. 解题思路,降低问题难度. 分类的对象确定, 2.分类的原则是:(1)分类的对象确定,标准统一;(2)不重 .分类的原则是: 分类的对象确定 标准统一; 不重 分层次, 复,不遗漏;(3)分层次,不越级讨论. 不遗漏; 分层次 不越级讨论.

3.回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点,大致有: .回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点,大致有: ①绝对值概念的定义;②一元二次方程根的判别式与根 绝对值概念的定义; 的情况; 的情况;③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 k 方向; 方向;④反比例函数 y= (x≠0)的反比例系数 k,正比例 = ≠ 的反比例系数 , x 函数 y=kx 的比例系数 k,一次函数 y=kx+b 的斜率 k = , = + 与图象位置及函数单调性的关系; ⑤ 与图象位置及函数单调性的关系; 幂函数 y=xa 的幂指 = 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系; 数 a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系;⑥指 数函数 y=ax 及其反函数 y=logax 中底数 a>1 及 a<1 对 = = > < 函数单调性的影响; ⑦ 函数单调性的影响; 等比数列前 n 项和公式中 q=1 与 = q≠1 的区别;⑧不等式性质中两边同乘 除)以正数或负 ≠ 的区别; 不等式性质中两边同乘(除 以正数或负 数时对不等号方向的影响; 数时对不等号方向的影响;⑨直线与圆锥曲线位置关系 的讨论; 运用点斜式、 的讨论;⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否 存在. 存在.

4.分类讨论的一般流程: .分类讨论的一般流程: 明确讨论的对象 确定讨论的全体

选择分类的标准

逐类进行讨论 获得初步结果

归纳整合 写出结论

分类突破
一、根据概念分类 有两个零点, 例 1 若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则 = - > ≠ 有两个零点 的取值范围是________. 实数 a 的取值范围是 a>1 . 解析 设函数 y=ax(a>0 且 a≠1)和函数 y=x+a.则函 就是函数 y 数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点, =ax(a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x+a 的图象有两个

交点.由图象可知,当 0<a<1 时,两函数只有一个交 点,不符合;当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象 过点(0,1),而直线 y=x+a 的图象与 y 轴的交点一定在 点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取 值范围是 a>1. 归纳拓展 有许多核心的数学概念是分类的,比如:直 线斜率、指数函数、对数函数等,与这样的数学概念有 关的问题往往需要根据数学概念进行分类,从而全面完 整地解决问题.

- ? 变式训练 1 设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较?loga (1-x)?与 < < ,> ≠ , ?
? ? ?

?

?

loga (1+x)?的大小. + ?的大小. ?

解 ∵0<x<1,∴0<1-x<1,1+x>1,0<1-x2<1. ①当 0<a<1 时,loga (1-x)>0,loga (1+x)<0,
? ? ? loga (1-x)?-?loga (1+x)? 所以 ? ? ? ? ? ?

=loga (1-x)-[-loga (1+x)]=loga (1-x2)>0; ②当 a>1 时,loga (1-x)<0,loga (1+x)>0,
? ? ? loga (1-x)?-?loga (1+x)? 所以 ? ? ? ? ? ?

=-loga (1-x)-loga (1+x)=-loga (1-x2)>0.
? ? ? loga (1-x)?>?loga (1+x)?. 由①②可知, ? ? ? ? ? ?

二、根据运算需要分类 已知在等比数列{a 中 项和, 例 2 已知在等比数列 n}中,a1=1, Sn 是其前 n 项和, , 成等差数列. 且 ak+1,ak+3,ak+2(k∈N)成等差数列. ∈ 成等差数列 (1)求数列 n}的公比; 求数列{a 的公比 的公比; 求数列 (2)试判断 Sk+1,Sk+3,Sk+2(k∈N)是否也构成等差数列, 试判断 是否也构成等差数列, ∈ 是否也构成等差数列 并说明理由. 并说明理由.

解 (1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),则 ak+1=qk, ak+3=qk+2,ak+2=qk+1, 依题意得 2qk+2=qk+qk+1,由于 qk≠0,所以 2q2-q-1 1 =0,解得 q=1 或 q=- . 2 (2)当 q=1 时,Sk+1=(k+1)a1=k+1,Sk+3=k+3,Sk+2 =k+2,显然 Sk+1+Sk+2=k+1+k+2=2k+3≠2Sk+3, 故 Sk+1,Sk+3,Sk+2 不能构成等差数列;

? 1? 1-?- ?k+1 ? ? ? ? -? 2? 1 2? ? 1?k+1? ? ? 当 q=- 时,Sk+1= =- -- ?, ? 1? =3?1-? 2? 2 ? ? ? ? ? ? 1-?- ? - 2 ? ? 2? ? 1?k+2? 2? ? 1?k+3? ? ? ? ? 同理可得 Sk+2= ?1-?- ? ?,Sk+3= ?1-?- ? ?, - - 3? ? 2? ? 3? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? 1?k+1? 2? ? 1?k+2? 于是 Sk+1+Sk+2= ?1-?- ? ?+ ?1-?- ? ? - - 3? ? 2? ? 3? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 1?k+1 ? 1?k+ 2? 4? ? 1?k+ 3? = ?2-?-2? -?-2? ?= ?1-?-2? ?=2Sk+3, - ? ? ? 3? - ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

能构成等差数列. 所以 Sk+1,Sk+3,Sk+2 能构成等差数列. 综上所述: 不能构成等差数列; 综上所述:当 q=1 时,Sk+1,Sk+3,Sk+2 不能构成等差数列; = 1 能构成等差数列. 当 q=- 时,Sk+1,Sk+3,Sk+2 能构成等差数列. =- 2

分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的, 归纳拓展 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的, 比 如:除法运算中分母是否为 0;解方程、不等式中的恒等变 ;解方程、 形;用导数求函数单调性时导数正负的讨论;对数运算中底 用导数求函数单调性时导数正负的讨论; 数是否大于 1; 数列运算中对公差、 公比限制条件的讨论等, ; 数列运算中对公差、 公比限制条件的讨论等, 如果运算需要对不同情况作出解释,就要进行分类讨论. 如果运算需要对不同情况作出解释,就要进行分类讨论.

设等比数列{a 的公比为 , 变式训练 2 设等比数列 n}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n =1,2,3,…). , . (1)求 q 的取值范围; 求 的取值范围; 3 (2)设 bn=an+2- an+1,记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 设 的前 2 的大小. Sn 与 Tn 的大小.



(1)∵{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0,

当 q=1 时,Sn=na1>0; a1(1-qn) >0, 当 q≠1 时,Sn= 1-q 1-qn 即 >0(n=1,2,3,…), 1-q ?1-q<0 ? 上式等价于①? (n=1,2,3,…) n ?1-q <0 ?

?1-q>0 ? - > 或②? ?1-qn>0 ? -

(n=1,2,3,…) = ,

解①式得 q>1; > ; 可为奇数、可为偶数, 解②式,由于 n 可为奇数、可为偶数,故-1<q<1. < < 综上, 的取值范围是(- ,+∞ 综上,q 的取值范围是 -1,0)∪(0,+∞). ∪ ,+ . ? ? ? ? 3 ? 2 3 ? ? 2 3 ? (2)由 bn=an+2- an+1,得 bn=an?q - q?,Tn=?q - q?Sn, 由 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? 2 3 ? ? - + ? - . 于是 Tn-Sn=Sn?q -2q-1?=Sn?q+2?(q-2). ? ? ? ? 1 < < > ,所以当- < <- 又因为 Sn>0 且-1<q<0 或 q>0,所以当-1<q<- 或 2 q>2 时,Tn-Sn>0,即 Tn>Sn; > , 1 < ≠ , 当- <q<2 且 q≠0 时,Tn-Sn<0,即 Tn<Sn; 2 1 当 q=- 或 q=2 时,Tn-Sn=0,即 Tn=Sn. =- = , 2

三、根据图形形状位置变化分类 如图所示, 例 3 如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆 - 为圆 心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切, + + = 相切, 过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交 - 的动直线 的中点, 于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点,直 , 两点, 线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程; 求圆 的方程;
? (2)当?MN?=2 19时,求直线 l 的方程; 当? 的方程; 时 ? ?

→ →是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是, (3)BQ·BP是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,
请说明理由. 请说明理由.



(1)设圆 A 的半径为 R. 设圆

∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, + + = 相切, ? ?- 1+4+7? + + ? ? ? ∴R= = =2 5. 5 的方程为(x+ ∴圆 A 的方程为 +1)2+(y-2)2=20. - (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=- 符合题意; 当直线 轴垂直时, =-2 =- 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 轴不垂直时, = + , 即 kx-y+2k=0.连结 AQ,则 AQ⊥MN. - + = 连结 , ⊥ ∵MN=2 19,∴AQ= 20-19=1. = , = - = ? ?k-2? - ? 3 ? ? 由 AQ= 2 =1,得 k= . = , = 4 k +1 ∴直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. - + = =-2 ∴所求直线 l 的方程为 x=- 或 3x-4y+6=0. =- - + =

(3)∵AQ⊥BP,∴AQ·BP=0. ∵ ⊥ , →→

→→ → → → →→ →→ →→ ∴BQ·BP=(BA+AQ)·BP=BA·BP+AQ·BP=BA·BP. ? 5? ? ,- ? 轴垂直时, 当直线 l 与 x 轴垂直时,得 P?-2,-2?. ? ? →=?0,-5?,又BA=(1,2), → 则BP ? ,-2? , ? ? ? ? → → → →=-5. ∴BQ·BP=BA·BP=-
当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2). 的斜率存在时, = + . ?y=k(x+2), ?-4k-7 + , -5k ? - ? = ? ? , . 由? 解得 P? ?x+2y+7=0, 1+2k 1+2k? + + ? ? ? + + = , →=? -5 , -5k ?. ? ∴BP ? ?1+2k 1+2k? + ? ? + → ·BP=BA·BP= -5 - 10k =- → →→ =-5. ∴BQ 1+2k 1+2k + + 综上所述, → →是定值, → →=-5. 综上所述,BQ·BP是定值,且BQ·BP=-

一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括: 归纳拓展 一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括: 二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动; 二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数 图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动; 图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由 焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动; 立体几何 焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动; 中点、 中点、线、面的位置变动等. 面的位置变动等.

x 2 y2 的两个焦点, 变式训练 3 设 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为 9 4 椭圆上一点, 椭圆上一点,已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个 、 PF1 顶点, 的值. 顶点,且 PF1>PF2.求 求 的值. PF2

解 若∠PF2F1=90°,则 PF12=PF22+F1F22, ∵PF1+PF2=6,F1F2=2 5, 14 4 PF1 7 解得 PF1= 3 ,PF2=3,∴ = . PF2 2 若∠F1PF2=90°, 则 F1F22=PF12+PF22=PF12+(6-PF1)2. PF1 ∴PF1=4,PF2=2,∴ =2. PF2 PF1 7 = 或 2. 综上知, PF2 2

规范演练
一、填空题 1.已知函数 .
?2x,x>0, > , ? f(x)=? = ?x+1,x≤0, ? + , ≤ ,

若 f(a)+f(1)=0,则实数 + = ,

a=________. = -3

解析

由题意可知 f(1)=21=2.

∴f(a)+f(1)=0,∴f(a)+2=0. ①当 a>0 时,f(a)=2a,2a+2=0 无解; ②当 a≤0 时,f(a)=a+1, ∴a+1+2=0,∴a=-3.

2.(2011·课标全国改编 已知角 θ 的顶点与原点重合,始边 . 课标全国改编)已知角 的顶点与原点重合, 课标全国改编 轴的正半轴重合, 与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ = 3 - =________. 5
解析 设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点, t 则 cos θ= . 5|t| 5 当 t>0 时,cos θ= ; 5 5 当 t<0 时,cos θ=- . 5 2 3 2 因此 cos 2θ=2cos θ-1= -1=- . 5 5

3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则 . 的矩形, 8 它的体积为____________. 它的体积为 4 3或3 3 .

解析 分侧面矩形长、宽分别为 6 和 4 或 4 和 6 两种 情况.

3 4.已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率 . = , 4 5 5 或 3 4 . 为______. b 3 解析 当双曲线焦点,在 x 轴上时, = , a 4 2 2 9 b2 c -a 2 ∴ 2= 2 =e -1= , a a 16 25 5 2 ∴e = ,∴e= ; 16 4 b 4 当双曲线焦点在 y 轴上时, = , a 3 2 2 b2 c -a 16 2 ∴ 2= 2 =e -1= , a a 9 25 5 2 ∴e = ,∴e= . 9 3

5.若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m . ,+∞ 上是增函数, = + - ,+ 上是增函数 1 的取值范围是_________. 的取值范围是 0≤m≤4 .

解析 当 m=0 时,y=x+5 在[-2,+∞)上是增函数; 当 m≠0 时,y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数, ?m>0 ? 1 必须满足? 1 ?0<m≤ , 4 ?-2m≤-2 ? ? 1? ? ? ?m|0≤m≤ ?. 综上所述,m 的取值范围应为? 4? ? ?

6.函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域为一切实数,则实数 . 的定义域为一切实数, = + 的定义域为一切实数 m 的取值范围是 [0,4] . 的取值范围是________.

解析 因为函数 f(x)的定义域为一切实数, 所以 mx2+mx+1≥0 对一切实数恒成立, 当 m=0 时,原不等式即 1≥0 对一切实数恒成立, ?m>0 ? 当 m≠0 时,则需? ,解得 0<m≤4. 2 ??=m -4m≤0 ? 综上,实数 m 的取值范围是[0,4].

7.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立, . 不等式 - - - ∈ 恒成立, 的取值范围是________. 则 a 的取值范围是(-2,2] .

解析 当 a-2=0 即 a=2 时, 不等式为-4<0, 恒成立, ?a-2<0 ? 所以 a=2;当 a-2≠0 时,则 a 满足? ,解得 ??<0 ? -2<a<2,所以 a 的范围是{a|-2<a≤2}.

a 8. . 函数 y=ax(a>0, a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 , = , ≠ 在 且 上的最大值比最小值大 2 1 3 或 的值是________. 则 a 的值是 2 2 . a x 2 解析 当 a>1 时,y=a 在[1,2]上递增,故 a -a= , 2 3 得 a= ; 2 a x 2 当 0<a<1 时,y=a 在[1,2]上单调递减,故 a-a = , 2 1 1 3 得 a= .故 a= 或 a= . 2 2 2

二、解答题

→ → 9.在△ABC 中,设AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC 是 . , , ,
直角三角形, 的值. 直角三角形,求 k 的值.

解 因为△ABC 是直角三角形,所以

→ → 当∠A=90°,则AB⊥AC,
2 于是 2×1+3×k=0,得 k=- . 3

→ → → → → 当∠B=90°,则AB⊥BC,又BC=AC-AB=(-1,k-3), 11 故 2×(-1)+3(k-3)=0,得 k= . 3 → → 当∠C=90°,则AC⊥BC,
3± 13 故 1×(-1)+k(k-3)=0 得 k= . 2 2 11 3± 13 综上所求 k 的值为- 或 或 . 3 3 2

10.(2010·辽宁 已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1. . 辽宁)已知函数 = + + 辽宁 (1)讨论函数 f(x)的单调性; 讨论函数 的单调性; 的单调性 (2)设 a≤-2,证明:对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)- 设 ≤ ,证明: ,+∞ ,+ , - f(x2)|≥4|x1-x2|. ≥
(1)解 由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), 2ax2+a+1 a+1 f′(x)= +2ax= . x x ①当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减. a+1 ③当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= - , 2a a+1 a+1 则当 x∈(0, - )时,f′(x)>0;当 x∈( - , 2a 2a a+1 )上单调递增, +∞)时,f′(x)<0.故 f(x)在(0, - 2a a+1 - ,+∞)上单调递减. 在( 2a

(2)证明 不妨设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+∞) 证明 ,+∞ 由于 ≤ , 在 ,+ 上单调递减.所以 上单调递减.所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于 f(x2)- - ≥ 等价于 - f(x1)≥4x1-4x2, ≥ 即 f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1. + + 令 g(x)=f(x)+4x,则 = + , a+1 2ax2+4x+a+1 + + + g′(x)= . ′ = +2ax+4= + = x x - -4x2+4x-1 -(2x-1)2 - 于是 g′(x)≤ ′ ≤ = ≤0. x x ,+∞ 上单调递减, 从而 g(x)在(0,+∞)上单调递减,故 在 ,+ 上单调递减 g(x1)≤g(x2),即 f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2, ≤ , + + ,+∞ 故对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|. ,+ , - ≥
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